2021-2022学年湖南省岳阳市华容县高二上学期期末教学质量监测数学试题含答案

华容县2021-2022学年度第一学期期末教学质量监测试卷

高二数学

注意事项：

1、本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页。时量120分钟，满分150分。答题前，考生要将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并且用2B铅笔在答题卡信息码上，将自己的考号对应的数字涂黑。

2、回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷和草稿纸上无效。

3、回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案按题号写在答题卡上。写在本试卷和草稿纸上无效。

4、考试结束时，将答题卡交回。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)

1． 倾斜角为45°，在y轴上的截距是-2的直线方程为(　　)
A. x   B. x
C. x  D. x

2． 已知向量，，则等于(　　)
A． B． C． D．

3． 已知等差数列中，，则(　　)
A．15 B．30 C．45 D．60

4． 已知抛物线E：，焦点为F，若过F的直线交抛物线于A、B两点，A、B到抛物线准线的距离分别为3、7，则AB长为(　　)
A．3 B．4 C．7 D．10

5． 在等比数列中，，则的公比为(   )
A． B． C． D．

6． 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为(　　)
A． B． C． D．

7． 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．或 B．或 C．或 D．或

8． 第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)国家．根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，(如图)，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为(　　)
       
A． B． C． D．

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)

9． 下列说法中正确的是(　　)
A．若直线的斜率存在，则必有一个倾斜角与之对应
B．每一条直线都有且仅有一个倾斜角与之对应
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0或90
D．若直线的倾斜角为a，则直线的斜率为tana

10． 已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是(　　)
A．  B．为递减数列
C．是和的等比中项 D．的最小值为

11． 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是(　　)
A．
B．平面ABCD
C．三棱锥的体积为定值
D．的面积与的面积相等

12．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是(　　)
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)
C．是“最远距离直线”
D．不是“最远距离直线”

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13． 设等差数列的前项和为，若，，则______．

14． 已知点P是抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A(，4)，则
|PA|+|PM|的最小值是_________．

15．数列的前项和为，则_________________.

16．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．

四、解答题(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本题10分)已知等差数列的前n项和为Sn，S9=81，a7=13，求：
(1)Sn；
(2)若S3、S17-S16、Sk成等比数列，求k.



 

18．(本题12分)已知抛物线上一点到其焦点F的距离为2.
(1)求拋物线方程；
(2)直线与拋物线相交于两点，求的长.

 

19．(本题12分)已知直线和的交点为．
(1)若直线经过点且与直线平行，求直线的方程；
(2)若直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线的方程．



 

20． (本题12分)小张在2020年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，要求从贷款开始到2030年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢(保留两位小数)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)


 

21． (本题12分)如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，和分别是和的中点，点在直线上，且.
(1)证明：无论取何值，总有；
(2)是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.
 

22．(本题12分)已知椭圆的离心率为，且其左顶点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点、在椭圆上，以线段为直径的圆过原点，试问是否存在定点，使得到直线的距离为定值？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说理由.

华容县2021-2022学年度第一学期期末教学质量监测试卷

高二数学参考答案及评分标准

一、单项选择题(每小题5分，满分40分。)
1．B 2．C 3．D 4．D 5．D
6．B 7．D 8．B

二、多项选择题(每小题5分，共20分。每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。)
9．ABC 10．AD 11．AD 12．BCD

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．77 14． 15． 16．． 

四、解答题(本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(1)解：由S9=9a5=81，解得a5=9，
又∵a7=13，∴d==2，a1=a54d=1，
∴Sn=n2……………………5分
(2)解：∵S3，S17S16，Sk成.等比数列，
∴S3Sk=(S1716)2=a，即9k2=332，
解得：k=11………………10分

18．(1)由题：抛物线上一点到其焦点F的距离为2，
即，所以抛物线方程：……………………6分
(2)联立直线和得，解得，
，……………………12分

19．(1)解：联立的方程，解得，即
设直线的方程为：，将带入可得
所以的方程为：；……………………6分
(2)解：法①：易知直线在两坐标轴上的截距均不为，设直线方程为：，
则直线与两坐标轴交点为，由题意得，
解得：或
所以直线的方程为：或，
即：或.……………………12分
法②：设直线的斜率为，则的方程为，
当时，
当时，
所以，解得：或
所以m的方程为或
即：或.……………………12分

20． 50万元10年产生本息和与每年还x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50(1＋4%)10，………………………………………3分
每年还x万元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，…6分
从而有50(1＋4%)10＝，……………………9分
解得x≈6.17，即每年至少要还6.17万元.……………………12分

21．(1)因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
 
则、、、，，，
所以，，则，
因此，无论取何值，总有；……………………6分
(2)，设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，……………………9分
由题意可得，
整理可得，，此方程无解，
因此，不存在点，使得平面与平面所成的角为.……………12分

22．(1)；(2)存在，.
(1)由题设可知解得，，，
所以椭圆的方程为：；……………………4分
(2)设，，
①若直线与轴垂直，由对称性可知，
将点代入椭圆方程，解得，……………………6分
原点到该直线的距离；
②若直线不与轴垂直，设直线的方程为，
由消去得，
则由条件，即，……………………8分
由韦达定理得，
整理得，则原点到该直线的距离；
故存在定点，使得到直线的距离为定值.……………………12分