高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直练习题

专题8.6空间直线平面的垂直

知识储备

1.直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

2.直线和平面所成的角

(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.

(2)范围：.

3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(3)二面角的范围：[0，π].

4.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

5.平行关系中的三个重要结论

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.

6平行关系中的两个重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).

7.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·湖北武汉市·高二期中）在正四面体中，，，侧棱，，的中点，下列说法不正确的是（    ）

A．面 B．面面

C．面面 D．面

【答案】B

【解析】对于A，如图，分别是，的中点，，平面，平面，平面，故A正确，不符合题意；

对于B，如图，连接交于，连接，则可得，假设平面平面，平面平面，则需满足平面，即，

在中，是中点，但，故和不垂直，矛盾，故B错误，符合题意；

对于CD，如图，在，，是的中点，，

，平面，是中点，，平面，平面，平面平面，故CD正确，不符合题意.

故选：B.

2．（2020·山西高二期中）如图，在三棱锥中，不能证明的条件是（    ）

A．平面 B．，

C．， D．，平面平面

【答案】B

【解析】A. 因为平面，平面，所以，故正确；

B. 因为，，则PC为BC，AP的公垂线，若，则平面，所以，不一定成立，故错误；

C. 因为，且 ，所以平面，所以，故正确；

D. ，平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，故正确；

3．（2020·宁夏银川市·银川一中高三月考（文））如图所示，在长方体，若，、分别是、 的中点，则下列结论中不成立的是（    ）

A．与垂直

B．平面

C．与所成的角为

D．平面

【答案】C

【解析】连接、、，则为的中点，

对于A选项，平面，平面，，

、分别为、的中点，则，

，A选项正确；

对于B选项，四边形为正方形，则，

又，，平面，

，平面，B选项正确；

对于C选项，易知为等腰三角形，

，则与所成的角为，

∵，∴始终是锐角，而，

∴不可能成立．C选项错误；

对于D选项，，平面，平面，

平面，D选项正确.

故选：C．

4．（2020·广东佛山市·佛山一中高二月考）如图所示，在正方体中，点E是棱上的一个动点，平面交棱于点则下列结论中错误的是（    ）

A．存在点E，使得平面

B．存在点E，使得平面

C．对于任意的点E，平面平面

D．对于任意的点E，四棱锥的体积均不变

【答案】B

【解析】当E为的中点时，则F也为的中点，，平面；故A为真命题；

假设平面，则在平面和平面上的射影，

分别与BE，BF垂直，可得E与重合，F与重合，而B，，，四点不共面，不存在这样的点E，故B为假命题
平面，平面，平面平面，故C是真命题；，平面，

四棱锥的体积为定值，故D是真命题故选：B

5．（2020·上海黄浦区·格致中学高三期中）已知平面，直线，满足，且互为异面直线，则“且”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】充分性：互为异面直线，且，

则内必存在两条相交直线，使得，

若且，则且，，故充分性成立；

必要性：互为异面直线，且，

则内必存在两条相交直线，使得，

若，则且，且，故必要性成立，

“且”是“”的充要条件.故选：C.

6．（2020·陕西咸阳市实验中学高二月考（文））下列命题错误的序号是（    ）

①如果平面内存在一条直线和平面外的一条直线平行，则 ；②如果平面内存在一条直线和平面垂直，则；③如果一条直线和平面内的任意一条直线垂直，则；④如果平面内存在一条直线和平面平行，则

A．①② B．①④ C．④ D．①③

【答案】C

【解析】命题①是线面平行的判定定理，正确；

命题②是面面垂直的判定定理，正确；

命题③是线面垂直的定义，正确；

命题④错误，平面内两条相交直线都和平面平行，则；故选：C.

二、多选题

7．（2020·河北唐山市·开滦第二中学高二期中）如图，在三棱锥中，，且是斜边的等腰直角三角形，给出下列结论中，正确的是（ ）

A． B．平面

C．平面平面 D．点到平面的距离为

【答案】ABC

【解析】由于，平面,，所以平面，所以，故选项正确；

前面已经证明平面，平面，所以平面平面，所以选项正确；

因为，平面，，所以平面，故选项正确；

取的中点，连接，则，因为平面,,故平面，则的长度即为点到平面的距离，而，故选项错误.

故选：ABC

8．（2020·福建龙岩市·高二期中）设，，表示三条不同的直线，，，表示三个不同的平面，给出下列四个选项中正确的是（    ）

A．若，，，则；

B．若，，则；

C．若，为异面直线，，，，，则；

D．若，，则．

【答案】AC

【解析】对于A，若，由空间线面的性质定理可知，正确；

对于B，若，因为有可能在平面内，故错误；

对于C，若为异面直线，，，根据面面平行的判定定理可得，故正确；对于D，若，则可能，故错误.故选：AC.

三、填空题

9．（2020·全国高三专题练习（文））如图所示，正方体的棱长为，线段上有两个动点.，且，则下列结论中正确的序号是_________.

①；

②平面；

③三棱锥的体积为定值；

④的面积与的面积相等.

【答案】①②③

【解析】对于①，由题意及图形知，平面，故可得出，故①正确，

对于②，由正方体的两个底面平行，在其一面上，

故与平面无公共点，故有EF∥平面ABCD，故②正确，

对于③，由几何体的性质及图形知，三角形的面积是定值，点到面的距离等于 BD的一半，故可得三棱锥的体积为定值，故③正确，

对于④，由图形可以看出，到线段的距离与到的距离不相等，

故的面积与的面积相等不正确，故④错误，

∴正确命题的序号是①②③.故答案为：①②③

10．（2020·浙江杭州市·高一期末）一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥，取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是__________．（填正确判断的序号）

①直线BC面OFM；

②AC与面OFM所成的角为定值；

③设面面MOF，则∥AB；

④三棱锥的体积为定值．

【答案】①②③

【解析】由OM为△ABC的中位线可得OM∥AB，则，且OM∩OF=O，可得BC面OFM，故①正确；

由BC面OFM，可得AC与平面OFM所成角为CMO，而，故②正确;

如图，

可过F在平面OMF内作直线，而，所以 ∥AB ，l为平面OMF和平面ABF的交线，故③正确；

在三棱锥中，平面OMF，由于CO为定值，△OMF的面积不为定值，所以三棱锥 体积不为定值，故④错误.故选：①②③

11．（2020·云南省玉溪第一中学高二期中（理））《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵中，，且.下述四个结论正确结论的编号是______________.

①四棱锥为“阳马”

②四面体为“鳖臑”

③过点分别作于点，于点，则

④四棱锥体积最大为

【答案】①②③

【解析】对于①：因为为堑堵，

所以侧棱平面，

所以，又，

所以平面，满足“阳马”的定义：一条侧棱垂直于底面的四棱锥，

所以四棱锥为“阳马”，故①正确；

对于②：因为底面，所以，即为直角三角形，

同理也为直角三角形，

由①可得平面，所以，即为直角三角形，

因为底面，所以

又因为，

所以平面，

所以，即为直角三角形，

所以四面体的四个面全为直角三角形，即四面体为“鳖臑”，故②正确；

对于③：由①可得平面，平面,

所以，又，

所以平面，所以，

又，所以平面AEF，

所以，故③正确；

对于④：设，则矩形的面积为，

在中，，

所以四棱锥体积，故④错误，

故答案为：①②③

四、双空题

12．（2020·浙江宁波市·宁波诺丁汉附中高二月考）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面，是线段的中点，则________（用“>，<，=”填空），直线与直线的位置关系是________．

【答案】>    相交   

【解析】

（1）设正方形的边长为2，如图，过作，由为正三角形得，为中点，连接，过作于，连接，故有，由为中点，可得，，故，，因为平面平面，由，面，所以，面，面，所以，和为直角三角形，又由为正三角形，所以，，所以，，

由为中点，为中点，所以，，所以，在中，，而中，，

，故；

故答题空1为：>

（2）如图，连接，因为点为正方形的中心，故、、三点共线，所以，为中点，是线段的中点，所以，在中，与共面，故由已知条件可得，与在面内相交

故答题空2为：相交

五、解答题

13．（2020·云南省砚山县第一中学高二月考）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，平面，是棱PD的中点，且，．

（1）求证：面； 

（2）求二面角的大小；

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】（1）因为平面，平面，所以；

又，，所以，则；

又底面为平行四边形，所以，则，

又，平面，平面，

所以面；

（2）由（1）可得：，，两两垂直；以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如下，

因为，，

所以，，，，，

因为是棱PD的中点，所以，

则，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，所以，

不妨令，则，

又平面，不妨取为平面的一个法向量，

所以，

因为二面角显然为锐角，记作，

则，所以，即二面角的大小为.

14．（2020·河南新乡市·高三一模（文））如图，在四棱柱中，底面是以，为底边的等腰梯形，且，，.

（1）证明：.

（2）若，求四棱柱的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）证明：在中，，，，

由余弦定理得，

则，即，

而，，

故平面，

又平面，

.

（2）解：如图所示：

取的中点，连接，

由（1）可知：平面，

平面，

平面平面，

由于，

，

故平面，

即为四棱柱的高，

又，，

，

由知：梯形的高，

梯形的面积为，

故.

15．（2020·全国高三其他模拟（文））四面体中，平面平面，是边长为1的等边三角形，，且长为，设中点为，关于的对称点为，且､分别为，的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求四面体的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）证明：因为平面平面，平面平面，，

所以平面，

因为平面，平面，所以，，

又，分别为，的中点，所以，

所以，同理可得，

因为，所以平面，因为平面，

所以平面平面.

（2）由（1）可知，，

因为平面，平面，

所以平面，

故到平面的距离，

即为到平面的距离，

由（1）可知，

即为到平面的距离，

取中点，则，，三点共线，

连结，，，，

所以，

因为为的中点，所以，

故.

16．（2020·山西吕梁市·高二期中）如图，在三棱锥中，，底面．

（1）求证：；

（2）是的中点，，求将三棱锥分成上下两部分的体积比．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）因为，所以，

又因为底面，平面，所以，

因为，所以平面，

又平面，故；

（2）因为点是的中点，所以，

又因为，所以，

设点到平面的距离为，点到平面的距离为，则，

因为，，所以，

故， 

则将三棱锥分成上下两部分的体积比为．