2021-2022学年广东省肇庆市高二下学期期末数学试题含解析

2021-2022学年广东省肇庆市高二下学期期末数学试题

一、单选题

1．（       ）

A．0 B．6 C．12 D．18

【答案】C

【分析】利用排列数公式和组合数公式直接计算即可

【详解】因为，，

所以，

故选：C.

2．已知函数，是函数的导函数，则（       ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】先求出函数的导函数，进而将代入导函数即可求得答案.

【详解】因为，所以.

故选：A.

3．在等差数列中，，则（       ）

A．14 B．16 C．18 D．28

【答案】A

【分析】利用等差数列等差中项求解即可.

【详解】因为等差数列中，，

，

故选：A.

4．已知，且，则（       ）

A．0. 8 B．0. 05 C．0. 1 D．0. 9

【答案】D

【分析】根据题意可知：正态分布的对称轴为：，根据对称性可得，再结合对立事件的概率．

【详解】，所以，所以

故选：D.

5．3名学生和2名老师站成一排合影，则3名学生相邻的排法共有（       ）

A．48种 B．36种 C．20种 D．24种

【答案】B

【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解.

【详解】3名学生相邻,故将3名学生捆绑看成一个整体再与两名老师进行全排列,则共有排法，

故选:B.

6．在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为. 事件表示小明第一关闯关成功，事件表示小明第二关闯关成功，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】依题意，

则，

故选：C.

7．等比数列中的项，是函数的极值点，则（       ）

A．3 B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.

【详解】由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以.

故选：D.

8．当时，恒成立，则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先分离参数得到，进而通过导数方法求出函数的最大值，最后求得答案.

【详解】由，

设，则，

当时，，当时，，

所以函数在区间上递增，在区间上递减，故，故.

故选：A.

二、多选题

9．下列选项中关于以下4幅散点图的说法正确的有（       ）

A．图①中的和相关程度很强 B．图②中的和成正相关关系

C．图③中的和成负相关关系 D．图④中的和成非线性相关关系

【答案】BCD

【分析】根据散点图的分布逐个分析判断即可

【详解】对于图①中的散点杂乱，无规律，所以和相关程度极弱，所以A错误，

对于图②中，散点分布在某条直线的附近，且呈上升趋势，所以和成正相关关系，所以正确，

对于图③中，散点分布在某条直线的附近，且呈下降趋势，所以和成负相关关系，所以正确，

对于图④中，散点分布在某条曲线附近，所以和成非线性相关关系，所以正确，

故选：BCD

10．已知数列满足，，记，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】代入前几项即可判断出A,B，然后分奇偶可点数列的通项公式，从而判断出C，D.

【详解】由题意可得，

所以，所以A错误，B正确；

又，

故，即，

所以为等差数列，故，所以C正确，D错误，

故选：BC.

11．已知，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用赋值处理问题，令，整理可判断ABC的正误；利用求导可得，再令，代入运算判断D正误．

【详解】令，则，所以A正确；

令，则，

又，

所以，，所以B正确，C错误；，

令，则，故D正确；

故选：ABD．

12．设，则下列选项正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】分别构造函数，利用导数确定单调性，进而可比较大小.

【详解】，

设记，则，所以函数单调递减，

当时，，

所以函数单调递减，所以，故，

所以，故B错误，C正确.

设，

当时，，所以，

所以，

所以函数单调递减，所以，所以，

所以，故D正确.

设，当时，，所以函数单调递增，

所以，所以，故，得，

所以，即，故A正确，

故选：ACD.

三、填空题

13．在的展开式中，的系数为_________. （用数字作答）

【答案】

【分析】由二项式展开式的通项即可求得答案.

【详解】因为展开式的通项为，当时，，所以的系数为.

故答案为：-10.

14．已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有2个红球和1个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为_________.

【答案】

【分析】设从乙盒中取到两个红球为事件，从乙盒中取到一红一白两个小球为事件，最终取到的球是白球为事件，利用全概率公式求解即可.

【详解】设从乙盒中取到两个红球为事件，从乙盒中取到一红一白两个小球为事件，最终取到的球是白球为事件，由题意得和是互斥事件，则由全概率公式得.

故答案为：.

15．某学校有，两家餐厅，通过调查发现：开学第一天的中午，有一半的学生到餐厅就餐，另一半的学生到餐厅就餐；从第二天起，在前一天选择餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择餐厅，在前一天选择餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择餐厅. 该学校共有学生3500人，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到餐厅就餐的学生人数为_________人. （用整数作答）

【答案】1400

【分析】设第天选择餐厅就餐的学生比例为，得出递推公式，进而得到是以为首项，为公比的等比数列，从而解得，再代入求得即可

【详解】设第天选择餐厅就餐的学生比例为，由题意得，，，所以，故，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，则，经过一个学期（约150天）后，估计该学校到厅就餐的学生人数为（人）.

故答案为：1400

四、双空题

16．已知随机变量的分布列为

则随机变量的数学期望_________，方差_________.

【答案】         

【分析】利用方差和期望的公式可求得结果.

【详解】，

.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，

(2)最小值为，最大值为40

【分析】（1）对函数求导，然后通过导数的正负可求出函数的单调区间，

（2）由（1）可得在上递减，在上递增，然后求出，进行比较可求出函数的最值

【详解】(1)的定义域为，，

令，解得，

当时，，当时，，当时，，

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减，

故的单调递减区间为，单调递增区间为，.

(2)由（1）得，当在区间上变化时，的变化情况如下表所示.

所以函数在区间上的最小值为，最大值为40.

18．某市统计了该市近五年的环保投资额（万元）得下表：

以为解释变量，为响应变量，若用作为经验回归方程，则决定系数，若用作为经验回归方程，则决定系数.

(1)判断与哪一个更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程，并说明理由；

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，求出关于年份代号的经验回归方程.

参考公式：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

参考数据：，，.

【答案】(1)更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程，理由见解析

(2)

【分析】（1）由，可知的拟合效果更好，从而判断出结果；（2）先求得，，代入公式求得，，从而求得回归直线方程.

【详解】(1)由，可知的拟合效果更好，所以更适合作为年环保投资额关于年份代号的经验回归方程.

(2)由表格数据，得，

，

，，

由公式，得，

，

所以关于的经验回归方程为.

19．已知有4名医生和2名护士要到疫区支援两所医院的工作，每名医生只能到一所医院工作，每名护士也只能到一所医院工作.

(1)求两所医院都既有医生又有护士的分配方案的种数；

(2)在这6人中随机抽取3人，记其中医生的人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】(1)28；

(2)分布列见解析，2.

【分析】（1）先分配两名护士，然后4名医生分为1人、3人和2人、2人两种情况进行分配，最后求得答案；

（2）根据超几何分布求概率的方法求出概率，进而根据期望公式求出期望.

【详解】(1)先分2名护士到两所医院有种分法，4名医生可分为1人、3人两组或2人、2人两组，再分到两所医院，1人，3人两组共有种分法，2人、2人两组共有种分法，所以两所医院都要求既有医生又有护士的分配方案的种数为.

(2)由题意，，， ，

.

的分布列为：

.

20．已知等差数列的公差，且是与的等比中项，.

(1)求数列的前项和；

(2)设数列的前项和为，且，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用等差数列的性质求得数列的通项，然后利用裂项求和即可；（2）先利用求得数列的通项公式，好利用错位相减法求得结果.

【详解】(1)由题意得，所以

又，所以解得

又，故，

故，

所以

设数列|的前项和为，

则

(2)当时，，所以

由，①

得，②

①—②得

所以，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以，故.

设数列的前项和为，

则，③

，④

③—④，得，

所以，

所以.

21．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.

(1)请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；

(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.

附表：

附：，其中.

【答案】(1)表格见解析，有关联

(2)分布列见解析，数学期望为1，方差为

【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；

（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可

【详解】(1)零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：

，

根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0. 05

(2)由题意得，经常进行体育活动者的频率为，

所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，

随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，

所以，

，

，

，

，

，

的分布列为：

的数学期望为，的方差为.

22．已知.

(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求，的值；

(2)当时，函数有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）当时，，再分，和三种情况，求导分析函数的单调性与最值，进而分析零点的个数即可

【详解】(1)，又，所以.

因为，

所以，故，

综上.

(2)当时，，

当时，只有一个零点，故，

当时，，

i. 当时，，令，

当时，；当时，.

所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

又，

又，所以，

故，

所以时函数有两个零点

ii. 当时，今，解得.

若，所以，所以函数在上单调递增，不可能有两个零点.

 若，即时，当时，，当时，， 当时，.

所以函数在上单调递增，上单调递减，在上单调递增. 又，

，

故函数至多有一个零点，不符合题意.

若时，即，当时，，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

又，，故函数至多有一个零点，不符合题意.

综上，的取值范围是.