2021-2022学年广东省珠海市高二下学期期末数学试题（A卷）含解析

2021-2022学年广东省珠海市高二下学期期末数学试题（A卷）

一、单选题

1．书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，共有（       ）种取法.

A．8 B．7 C．12 D．5

【答案】A

【分析】由分类加法计数原理计算．

【详解】任取1本可分三类：第一类取的是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物理书，

由此可得取法为．

故选：A．

2．在正项等比数列中，已知，，则（       ）

A．1 B．2 C．4 D．8

【答案】B

【分析】利用等比数列的基本量运算求出公比，进而化简求值即可．

【详解】设等比数列的公比为

，或（舍）

则

故选：B

3．已知数列，，点在直线上，则（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】由题意可得，从而可得数列是以为公差，1为首项的等差数列，从而可求出

【详解】因点在直线上，

所以，

所以数列是以为公差，1为首项的等差数列，

所以，

故选：D

4．下列函数的求导正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算直接求出，再一一判断.

【详解】对于A：.故A错误；

对于B：.故B错误；

对于C：.故C错误；

对于D：.故D正确.

故选：D

5．已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前6项和为（       ）

A．6 B．11 C．36 D．51

【答案】C

【分析】由，，成等比数列，求出，由等差数列的前项和即可求出答案.

【详解】等差数列的首项为1，所以，

，，成等比数列，所以，

所以

解得：，

所以数列的前6项和为：.

故选：C.

6．已知某离散型随机变量的分布列为：

则（       ）A．和 B． C． D．

【答案】B

【分析】由分布列的性质可得，且，从而可求出的值

【详解】由题意可得，且，

即，且，

解得，

故选：B

7．已知点在曲线：的图像上，在点处的曲线的切线与直线：垂直，则点横坐标为（       ）

A．或1 B．1或3 C．或 D．或3

【答案】A

【分析】求出导函数，由切线斜率与已知直线斜率乘积为可得．

【详解】，，

因为切线与直线：垂直，所以，解得或．

故选：A．

8．函数 的图象大致是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数符号，单调性即可判断.

【详解】对于 ，当 时， ，故A，B错误；

，显然在定义域内 ，

即在 和 都是增函数，C正确，D错误；

故选：D.

9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分别求出所有的安排情况，再求甲乙两人安排在同一个舱内的情况，最后用古典概率公式可求解.

【详解】从甲，乙，丙，丁4名航天员中任选两人去天和核心舱，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能，

要使得甲乙在同一个舱内，由题意，甲乙只能同时在天和核心舱，在这种安排下，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能.

所以甲乙两人安排在同一个舱内的概率.

故选：A

10．已知关于变量的非常值函数在上成立，且；在上的图像关于对称，则下列不等式一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据式子结构构造函数，利用导数判断出函数在上单调递减，在上单调递减.

对于A：利用单调性比较出，即可判断；对于B：利用单调性比较出，即可判断；对于C：利用单调性比较出，即可判断；对于D：先得到.由，转化得到.

【详解】因为，所以，

即.

因为，所以，所以.

令，则，所以函数在上单调递减.

任取，且.

因为在上的图像关于对称，所以

因为的图像关于对称，所以

所以，即.

所以的图像关于对称.所以在上单调递减.

对于A：因为在上单调递减.

所以，即，即.故A错误；

对于B：因为在上单调递减.

所以，即，即，解得：.故B错误；

对于C：因为在上单调递减.

所以，即，即，解得：,即.故C错误；

对于D：因为在上的图像关于对称，所以.

因为在上单调递减.

所以，即，即，解得：,所以.

故D正确

故选：D

【点睛】函数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.

二、多选题

11．下列结论正确的是（       ）

A．若随机变量的方差，则

B．若随机变量服从二项分布，且，则

C．若随机变量服从正态分布，，则

D．掷一枚均匀的硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，则

【答案】BC

【分析】对于A：直接利用方差的性质进行计算；对于B：根据二项分布中数学期望的计算公式列方程，解出；对于C：由正态分布的性质，直接求得；对于D：由事件A、B不互斥，即可判断.

【详解】对于A：若随机变量的方差，则.故A错误；

对于B：因为随机变量服从二项分布，且，所以，解得：.故B正确；

对于C：由正态分布的性质，由，则，所以.故C正确；

对于D：掷一枚均匀的硬币两次，记事件“第一次出现正面”，“第二次出现反面”，因为事件A、B不互斥，所以.故D错误.

故选：BC

12．现安排高二年级、、三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（       ）

A．共有不同的安排方法有种

B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种

C．若同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种

D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种

【答案】ABD

【分析】按照分步乘法计数原理一一计算可得；

【详解】解：根据题意，

对于A：，，三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，

每个学生有4种选法，则三个学生有种选法，故A正确；

对于B：三人到4个工厂，有种情况，其中甲工厂没有人去，

即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有种，

则工厂甲必须有同学去的安排方法有种，故B正确；

对于C：若同学必须去工厂甲，剩下2名同学安排到4个工厂即可，

有种安排方法，故C错误；

对于D：若三名同学所选工厂各不相同，有种安排方法，故D正确；

故选：ABD．

三、填空题

13．计算_______.

【答案】15

【分析】直接利用排列数和组合数公式计算即可

【详解】，

故答案为：15

14．已知函数在x＝1处取得极值，则a＝_________．

【答案】2

【分析】由已知可得，可求出的值，然后再检验即可

【详解】由，得，

因为函数在x＝1处取得极值，

所以，即，得，

所以，

当时，，当时，，

所以为函数的极小值点，

所以，

故答案为：2

15．已知数列，满足，则_______.

【答案】

【分析】类比于求解．

【详解】由题意，，

两式相减得，．

故答案为：．

16．定义方程的实根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为_______.

【答案】

【分析】先根据函数的新定义分别求出，，，然后再比较大小

【详解】由，得，

所以由题意得，解得，

由，得，

所以由题意得，

令，（），则，

所以在上递增，

因为，，

所以存在，使，所以，

由，得，

所以由题意得，

令，则，

令，则或，

当或时，，当，，

所以在和上递增，在上递减，

所以的极大值为，极小值为，

因为，，

所以存在唯一零点，所以，

所以，

故答案为：

四、解答题

17．在等差数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差数列通项公式可构造方程求得公差，进而得到；

（2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可得.

【详解】(1)设等差数列的公差为，

由得：，又，，

.

(2)由（1）得：，

.

18．已知函数.

(1)求函数的极值；

(2)求函数在区间上的值域.

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）利用函数的极值定义求解；

（2）利用导数法求解.

【详解】(1)解：因为，

所以，

令得，

当或时，，

当时，，

所以当时，取得极大值，

当时，取得极小值，

(2)由（1）知：当时，取得极小值，

又，

所以函数在区间上的值域是.

19．已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比是，按要求完成以下问题：

(1)求的值；

(2)求展开式中的系数；

(3)计算式子的值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由二项式系数以及组合数公式可得出关于的等式，即可解得的值；

（2）写出展开式通项，令的指数为，求出的值，代入通项后即可得解；

（3）在二项式中令可求得所求代数式的值.

【详解】(1)解：由题意可得，解得.

(2)解：的展开式通项为，

令，可得，因此，展开式中的系数为.

(3)解：令可得.

20．已知甲袋中有4个白球2个黑球，乙袋中有3个白球2个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取1个球.

(1)求甲袋中任取出的2个球为同色球的概率；

(2)求乙袋中任取出1球为白球的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分甲袋中任取出的2个球均为白色和均为黑色两种情况求解即可；

（2）分甲袋中任取出的2个球均为白色和均为黑色，以及一黑一白三种情况，再分别求解对应情况从乙袋中任取出1球为白球的概率即可

【详解】(1)由题意，从甲袋中任取出的2个球均为白色的概率为，任取出的2个球均为黑色的概率为，故从甲袋中任取出的2个球为同色球的概率为

(2)由题意，从甲袋中任取出的2个球均为白色和均为黑色，或一黑一白三种情况.

当甲袋中任取出的2个球均为白色时，从乙袋中任取出1球为白球的概率为；当甲袋中任取出的2个球均为黑色时，从乙袋中任取出1球为白球的概率为；

当甲袋中任取出的2个球为一黑一白时，概率为，故再从乙袋中任取出1球为白球的概率为.

故乙袋中任取出1球为白球的概率为

21．在一次购物抽奖活动中，共有10张奖券.其中一等奖200元券一张，二等奖150元券二张，三等奖100元券三张，其余四张没有奖.

(1)某顾客从十张奖券中任意抽取一张，求恰好中奖的概率；

(2)某顾客从十张奖券中任意抽取二张，设所中奖金数为元

①求所中奖金数元的概率分布列（结果保留最简分数）；

②求所中奖金数元的数学期望（结果保留最简分数）.

【答案】(1)

(2)①分布列见解析；②

【分析】（1）根据古典概型的方法求解即可；

（2）根据题意可得，的可能取值有，再分别分情况列出分布列求得数学期望即可

【详解】(1)由题意，十张奖券中有6张能中奖，故某顾客从十张奖券中任意抽取一张，恰好中奖的概率为

(2)由题意，的可能取值有.

；；；；；；，故求所中奖金数元的概率分布列：

所中奖金数元的数学期望

22．已知，函数

(1)讨论函数在上的单调性；

(2)讨论函数在上值是否存在最小？若存在，求出的值域；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)函数在上单调递增.

(2)函数在上存在最小值，且的值域为.

【分析】（1）对求导，即可得出在上的单调性；

（2）对求导整理得，令，对求导，可求出的单调性，即可进一步得出在的单调性，进而求出函数在上的最小值，求的单调性即可求出答案.

【详解】(1)

因为，，所以，

所以函数在上单调递增.

(2),

令，

，

在上单调递增，又因为，

所以存在使得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

又因为，则，

，，

令，，

所以在上单调递增，

而故的值域为.

所以的值域为.