2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一下学期6月月考数学试题含解析

2021-2022学年黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．下列说法中正确的是（       ）

A．棱柱的侧面可以是三角形 B．正方体和长方体都是特殊的四棱柱

C．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D．棱柱的各条棱都相等

【答案】B

【分析】从棱柱的定义出发判断A,B,D的正误，找出反例否定C，即可得答案；

【详解】对A，棱柱的侧面都是四边形，故A错误；

对B，正方体和长方体都是特殊的四棱柱，故B正确；

对C，所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展成平面图形，故C错误；

对D，棱柱的各条棱都相等，应该为侧棱相等，故D错误；

故选：B.

【点睛】本题考查棱柱的结构特征，属于基础题.

2．若复数，则z的共轭复数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算化简复数，进而求出.

【详解】

故选：C.

3．设，为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，，既不在内，也不在内，则下列结论正确的是

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】B

【详解】分析：利用线线平行、线线垂直、面面垂直的判定定理，用排除法．

详解：若，，可能相交，故A错；

若，，则平行，故C错

若，，则，故D错．所以选B．

点睛：已知，都不在内，若，，则．这个结论我们可以记住．本题考查平行和垂直的判定，我们可以把命题放入正方体模型中找反例．

4．在正方体中，E，F分别是，BC的中点，则直线与直线EF的位置关系是（       ）

A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定

【答案】A

【分析】根据，得到直线共面，再由判断.

【详解】解：如图所示：

连接，由题意得，

因为，

所以共面，

所以直线共面，

因为，

所以直线与直线EF的位置关系是相交，

故选：A

5．在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

【详解】

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

6．设长方体的长、宽、高分别为2，1，1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求出长方体的对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积得解.

【详解】由题得长方体外接球的直径.

故选：B

【点睛】本题主要考查长方体的外接球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

7．在中，已知，，，则的值为（       ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】B

【解析】利用余弦定理直接求解即可

【详解】解：因为在中，已知，，，

所以由余弦定理得，，即，

得，解得或（舍去），

故选：B

【点睛】此题考查余弦定理的应用，属于基础题

8．在四棱锥中，底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，且，则PC与平面ABCD所成角的大小为　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】连接AC，则为PC与平面ABCD所成的角求出AC即可得出，从而得出答案．

【详解】连接AC，平面ABCD，

为PC与平面ABCD所成的角．

底面ABCD是边长为3的正方形，．

．

．

故选A．

【点睛】本题考查了线面角的定义与计算，属于基础题．

二、多选题

9．如图所示，平面平面，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】对于A，由面面平行的定义以及线面平行的定义知显然成立，对于B，利用平行线分线段成比例定理即可求解，对于C，的长度不确定，对于D，，而由，但与长度关系不确定

【详解】对于A，因为平面平面，平面，所以平面，故A正确

对于B，设由与所确定的平面为

因为平面平面，平面平面，平面平面

所以，所以即，解之得

对于C，若，则，这与三角形三边关系定理相矛盾，故C错误

对于D，，

而由，

但与长度关系不确定，故D错误

故选：AB

10．等腰直角三角形直角边长为1 ，现将该三角形绕其某一边旋转一周 ，则所形成的几何体的表面积可以为（     ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.

【详解】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，

所以所形成的几何体的表面积是.

如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，

所以写成的几何体的表面积.

综上可知形成几何体的表面积是或.

故选：AB

【点睛】本题考查旋转体的表面积，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型.

11．在中，角A､B､C所对应的边分别为a､b､c，，则（       ）

A． B．

C． D．不可能为锐角三角形

【答案】AC

【分析】由正弦定理即可判断A选项；由余弦定理即可判断B选项；由B选项得，再结合正弦定理及三角恒等变换即可判断C选项；取特殊值说明存在锐角三角形即可判断D选项.

【详解】对于A，由正弦定理可得，即，故A正确；

对于B，，故B错误；

对于C，由上知：，即，结合正弦定理可得

，整理得，

则或，即或（舍），故C正确；

对于D，，取，满足，

此时角最大，且，即为锐角，即为锐角三角形，故D错误.

故选：AC.

12．如图，在棱长均相等的四棱锥中, 为底面正方形的中心, 分别为侧棱，的中点，下列结论正确的有（       ）

A．∥平面 B．平面∥平面

C．直线与直线所成角的大小为 D．

【答案】ABD

【分析】连接，由∥易证∥平面；证明出∥平面，结合∥平面可知平面∥平面；利用边长关系结合勾股定理证明.

【详解】对于选项A，连接，显然为的中点，

又为的中点，所以平面，

平面，所以∥平面，选项A正确；

对于选项B，由分别为侧棱的中点，得∥，

又底面为正方形，所以∥，同理可得∥平面,

又由选项得∥平面，，

所以平面∥平面，选项B正确；

对于选项C，因为∥，

所以（或补角）为直线与直线所成的角，

又因为所有棱长都相等，所以，

故直线与直线所成角的大小为，选项C不正确；

对于选项D，因底面为正方形，所以,

又所有棱长都相等，所以，故，

又∥，所以，选项D正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查空间平行关系垂直关系的判断，难度一般.解答时要注意图中的几何关系，根据线面平行、面面平行及线面垂直等的判定定理判断.

三、填空题

13．已知单位向量，的夹角为120°，向量，，则______．

【答案】

【分析】利用平面向量的数量积的运算律求解.

【详解】解：因为单位向量，的夹角为120°，且，，

所以，

，

，

，

故答案为：

14．已知a，b表示两条不同的直线，表示平面，给出下列四个命题：①若，，则，②若，，则，③若a和相交，，则b和相交，④若，，则a不可能和b互为异面直线，命题正确的序号是______．

【答案】③④

【分析】①利用线面的位置关系判断；②利用直线与直线的位置关系判断；③利用反证法判断；④利用异面直线的定义判断.

【详解】①若，，则或，故错误；

②若，，则，相交或异面，故错误；

③因为，假设b与平行，则a与平行或a在内，与a和相交矛盾，故b与不平行；

若b在内，则a与平行或a在内，与a和相交矛盾，故b不在内，所以b和相交，故正确；

④若，，由异面直线的定义知，a不可能和b互为异面直线，故正确.

故答案为：③④

15．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于______________．

【答案】

【分析】先由异面直线夹角的定义确定和所成的角，再通过解三角形求夹角的大小.

【详解】取的中点，连接，

因为E，F分别是棱，的中点，

所以，,，,

又，且，

所以，,

因为，所以为异面直线和的夹角，

在中，，

所以，

故和所成的角等于，

故答案为：.

16．在三棱锥中，，，则二面角的平面角的余弦值为______．

【答案】

【分析】取AB的中点O，连接VO，CO，根据，得到是二面角的平面角求解.

【详解】解：如图所示：

取AB的中点O，连接VO，CO，

因为，

所以，

所以是二面角的平面角，

又，

在中，由余弦定理得,

故答案为：

四、解答题

17．实数分别取什么数值时，复数满足下列条件：

（1）纯虚数；     

（2）对应的点在第一象限内．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据纯虚数的概念列出式子即可求解；

（2）得出对应的点，根据第一象限点的特征列出不等式即可求解.

【详解】（1）若为纯虚数，则，解得．

（2）对应的点为在第一象限，则，解得．

18．已知，，与夹角是．

（1）求的值及的值；

（2）当为何值时，？

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；

（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．

【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，

.

（2）因为，所以，

整理得，解得．

即当值时，．

【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

19．已知四棱锥的底面是正方形，平面ABCD．求证：

(1)平面SAD；

(2)平面SAC

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由四边形ABCD为正方形，得到，再利用线面平行的判定定理证明；

（2）由平面ABCD，得到 ，再由，利用线面垂直的判定定理证明.

【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴，

又∵平面SAD，平面SAD，

∴平面SAD；

(2)∵平面ABCD，平面ABCD，

∴，

又∵四边形ABCD为正方形，

∴，

又∵，

平面SAC，平面SAC，

∴平面SAC；

20．甲船在岛B的正南A处，，甲船以每小时4km的速度向正北航行，同时，乙船自B出发以每小时6km的速度向北偏东60°的方向驶去．当航行时间为多少时，甲、乙两船相距最近？最近距离是多少？

【答案】当航行时间为时，甲乙两船距离最近，最近距离为

【分析】假设t小时后后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，得到，，，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】解：依题意，如图，

假设t小时后后甲船行驶到D处，乙船行驶到C处，

则有，，，

所以在中，由余弦定理可得：

，

，

（当且仅当时取到等号），

所以．

即当航行时间为时，甲乙两船距离最近，最近距离为．

21．如图，在三棱锥中，，底面ABC

(1)证明：平面平面PAC

(2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；

（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC，

则即为AM与平面PBC所成的角求解.

【详解】(1)证明：因为，

所以，又底面ABC，

所以，又，

所以平面PAC，

因为平面PBC，

所以平面平面PAC；

(2)如图所示：

作，连接OM，

因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，

 所以平面PBC，

则即为AM与平面PBC所成的角，

设，则，

所以，又，

所以，

所以AM与平面PBC所成角的正切值为.

22．已知函数.

（1）求的最小正周期，并求其单调递减区间；

（2）的内角，，所对的边分别为，，，若，且为钝角，，求面积的最大值.

【答案】（1）最小正周期；单调递减区间为；（2）

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为；利用可求得最小正周期；令解出的范围即可得到单调递减区间；（2）由可得，根据的范围可求出的取值；利用余弦定理和基本不等式可求出的最大值，代入三角形面积公式求得结果.

【详解】（1）

最小正周期：

令得：

的单调递减区间为：

单调递减区间.

（2）由得：

              ，解得：

由余弦定理得：（当且仅当时取等号）

即面积的最大值为：

【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期和单调区间的求解、解三角形中三角形面积最值的求解问题；涉及到二倍角公式和辅助角公式的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识；求解正弦型函数单调区间的常用解法为整体代入的方式，通过与正弦函数图象的对应关系来进行求解.