九年级上册第二十四章 圆24.3 正多边形和圆测试题

2022-2023学年度人教版九年级数学章节培优训练试卷

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第二十四章　圆

24.3　正多边形和圆

一、选择题

1. 如图,☉O与正五边形ABCDE的两边AE,CD相切于A,C两点,则∠AOC的度数是(　　)

A.144°　　B.130°　　C.129°　　D.108°

2. 一个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为(　　)

A.3∶2　　B.1∶　　C.1∶　　D.∶

3. 10个大小相同的正六边形按如图所示的方式紧密排列在同一平面内,A、B、C、D、E、O均是正六边形的顶点,则点O是下列哪个三角形的外心(　　)

A.△AED　　B.△ABD　　C.△BCD　　D.△ACD

4.如图所示,在正六边形ABCDEF内,以AB为边作正五边形ABGHI,则∠FAI=(　　)

A.10°　　B.12°　　C.14°　　D.15°

5.如图,☉O是正五边形ABCDE的内切圆,点M,N,F分别是边AE,AB,CD与☉O的切点,则∠MFN的度数为(　　)

A.25°　　B.36°　　C.35°　　D.40°

6.如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽,现测得扳手的开口宽度b=3 cm,则螺帽边长a等于(　　)

A. cm　　B.2 cm　　C.2 cm　　D. cm

7.如图,已知正六边形ABCDEF的边长为2,G,H分别是AF和CD的中点,P是GH上的动点,连接AP,BP,当AP+BP的值最小时,BP与HG的夹角(锐角)度数为(　　)

A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.75°

8.如图,点O为正六边形ABCDEF对角线FD上一点,

S△AFO=8,S△CDO=2,则的值是(　　)

A.20　　　　B.30

C.40　　　　D.随点O位置而变化

二、填空题

9.如图,在圆内接五边形ABCDE中,

∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°,则∠CDA=　　　　度. 

10.如图,正六边形ABCDEF的中心为原点O,顶点A、D在x轴上,半径为2,则顶点E的坐标为　　　　. 

11.如图,正六边形ABCDEF的周长是24 cm,连接这个六边形的各边中点G,H,K,L,M,N,则六边形GHKLMN的周长是　　　　cm. 

12. 如图,△PQR是☉O的内接正三角形,四边形ABCD是☉O的内接正方形,BC∥QR,则∠BOQ=　　　　. 

13. 如图,在边长为2 cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为　　　　cm2. 

三、解答题

14.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在劣弧上(不与C点重合).

(1)求∠BPC的度数;

(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.

15.如图,已知正五边形ABCDE中,BF与CM相交于点P,CF=DM.

(1)求证:△BCF≌△CDM;

(2)求∠BPM的度数.

答案全解全析

一、选择题

1.答案　A　∵正五边形的一个内角=(5-2)×180°÷5=108°,

∴∠E=∠D=108°,∵AE、CD分别与☉O相切于A、C两点,

∴∠OAE=∠OCD=90°,∴∠AOC=(5-2)×180°-90°-90°-108°-108°=144°.故选A.

2.答案　C　设此圆的半径为R,则它的内接正六边形的边长为R,它的内接正方形的边长为R,所以这个圆的内接正六边形与内接正方形的边长之比为R∶R=1∶.故选C.

3.答案　D　连接OA、OB、OC、OD、OE,有OA=OC=OD,∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,∴点O是△ACD的外心.故选D.

4. 答案　B　在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI中,∠FAB=120°,∠IAB=108°,

∴∠FAI=∠FAB-∠IAB=120°-108°=12°.

5. 答案　B　如图,连接OM,ON.∵M,N分别是AE,AB与☉O的切点,∴OM⊥AE,ON⊥AB,∴∠OMA=∠ONA=90°.∵∠A=108°,

∴∠MON=180°-108°=72°,∴∠MFN=∠MON=36°.

6. 答案　A　如图,连接AC,过点B作BD⊥AC于D,由题意得∠ABC=120°,AB=BC=a,

∴∠BCD=∠BAC=30°,由AC=3,得AD=CD=1.5,∵Rt△ABD中,∠BAD=30°,∴BD=AB=a,∴AD==a,即a=1.5,∴a=(cm).故选A.

7. 答案　C　如图,连接PF,BF,BF交GH于点P',连接AP'.∵正六边形ABCDEF中,G,H分别是AF和CD的中点,∴直线GH是正六边形的对称轴,

∴PA=PF,∴PA+PB=PF+PB.∵PB+PF≥BF,

∴当点P与点P'重合时,PA+PB的值最小.

∵∠BAF=120°,AB=AF,∴∠ABF=∠AFB=30°.

∵∠FGP'=90°,∴∠FP'G=60°,即∠BP'H=60°.故选C.

8. 答案　B　如图,设正六边形ABCDEF的中心为G,连接GC,GD,GE,GF,AC.易得△EFG,△DEG和△CDG都是等边三角形,且大小相同,点C,G,F在同一条直线上,则S△CDG=S△DFG=S正六边形ABCDEF.易得四边形ACDF是矩形,

∵S△AFO=8,S△CDO=2,∴=2×(8+2)=20,∴S△CDG=S矩形ACDF=5,

∴S正六边形ABCDEF=6S△CDG=30.

二、填空题

9.答案　70

解析　∵五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,

∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°.∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°,

∴∠B=540°-430°=110°.∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,

∴∠B+∠CDA=180°,∴∠CDA=180°-110°=70°.

10.答案　(1,)

解析　如图,连接OE,由正六边形是轴对称图形知,在Rt△OEG中,

∠GOE=30°,∵OE=2,∴GE=1,OG=.∴E(1,).

11.答案　12

解析　如图,设正六边形ABCDEF的中心为O,连接OG,OA,OB.∵正六边形ABCDEF的周长是24 cm,∴OA=OB=AB=×24=4(cm).∵点G是AB的中点,

∴∠AGO=90°,AG=2 cm,由勾股定理得OG=2(cm).

∵顺次连接正六边形ABCDEF各边的中点G、H、K、L、M、N得到的六边形为正六边形,O为正六边形GHKLMN的中心,∴NG=OG=2 cm,∴六边形GHKLMN的周长是2×6=12(cm).

12. 答案　15°

解析　如图,连接OA,OD,OP,∵△PQR是☉O的内接正三角形,∴PQ=PR=QR,

∴∠POQ=×360°=120°.∵BC∥QR,OP⊥QR,∴OP⊥BC.

∵四边形ABCD是☉O的内接正方形,

∴OP⊥AD,∠AOD=90°,

∴=,∴∠AOP=∠DOP,∴∠AOP=×90°=45°,

∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°.∵∠AOB=90°,∴∠QOB=15°.

13. 答案　2

解析　如图,连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T,

∵六边形ABCDEF是正六边形,

∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°,

∴S△PEF=S△BEF.∵AT⊥BF,AB=AF,

∴BT=FT,∠BAT=∠FAT=60°,∴∠ABT=30°,

∴AT=AB=1 cm,∴BT= cm.

∴BF=2BT=2 cm,

∵∠AFE=120°,∠AFB=∠ABF=30°,

∴∠BFE=90°,

∴S△PEF=S△BEF=EF·BF=×2×2=2(cm2).

三、解答题

14.解析　(1)如图,连接OB,OC.

∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,

∴∠BPC=∠BOC=45°.

(2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,

∵OB=OC,∠BOC=90°,

∴∠OBE=45°,∵OE⊥BC,∴OE=BE,

∵OE2+BE2=OB2,∴BE===4,

∴BC=2BE=2×4=8,即正方形ABCD的边长为8.

15.解析　(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,

∴BC=CD,∠BCF=∠CDM.

在△BCF和△CDM中,

∴△BCF≌△CDM.

(2)∵五边形ABCDE是正五边形,

∴∠BCF==108°,

∴∠CBF+∠CFB=180°-∠BCF=72°,

∵△BCF≌△CDM,∴∠MCD=∠CBF,

∴∠MCD+∠CFB=72°,

∴∠BPM=∠CPF=180°-(∠MCD+∠CFB)=108°.