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初中数学8下2017-2018学年河南省安阳六十三中八年级（上）期中数学试卷含答案含答案
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这是一份初中数学8下2017-2018学年河南省安阳六十三中八年级（上）期中数学试卷含答案含答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年河南省安阳六十三中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如下图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，5cm，8cm C．4cm，5cm，10cm D．3cm，4cm，5cm
3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
6．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，则还需条件（ ）
A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
7．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，DA=DB=5，△ABD的面积为10，则CD长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图所示，∠1=∠2，AC=DF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．BC=CE B．∠ACE=∠DFB C．AB=DE D．∠A=∠D
9．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
10．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
二、填空题（每题3分，共27分）
11．等腰三角形的一个内角是100°，那么另外两个内角的度数分别为 ．
12．已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n= ．
13．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为 边形．
14．如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线交AB，BC于点E、D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为 ．
15．如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为 ．
16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，则点D到AB的距离为 cm．
18．如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是 度．
19．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题（本题共9个小题，满分63分）
20．如图，
（1）画出△ABC关于Y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请计算△ABC的面积；
（3）直接写出△ABC关于X轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
21．如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥DF．求证：AB=DE，AC=DF．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数．
24．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
25．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．
求证：AD平分∠BAC．
26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
2017-2018学年河南省安阳六十三中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如下图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称的定义，结合所给图形的特点进行判断即可．
【解答】解：信封是轴对称图形；
飞机是轴对称图形；
裤子是轴对称图形；
褂子不是轴对称图形；
综上可得轴对称图形共3个．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，5cm，8cm C．4cm，5cm，10cm D．3cm，4cm，5cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+5＜8，不能组成三角形，故此选项错误；
C、4+5＜10，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+4＞5，能组成三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是D．
故选D．
【点评】三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A=∠B﹣∠C，所以∠C+∠A=∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，2∠B=180°，解得∠B=90°，△ABC是直角三角形；
能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个．
故选：D．
【点评】解答此题要用到三角形的内角和为180°，以及三角形的形状判定：若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．
5．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．
【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．
∴AB垂直平分CD．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键．
6．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，则还需条件（ ）
A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据题目中给出的条件AB=AD，AC=AE，要用“SAS”还缺少条件是夹角：∠BAC=∠DAE，筛选答案可选出C．
【解答】解：还需条件∠1=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中：
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA．
7．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，DA=DB=5，△ABD的面积为10，则CD长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理．
【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
∴DA•BC=10，
∴BC=4，
∴CD==3．
故选A．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．
8．如图所示，∠1=∠2，AC=DF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．BC=CE B．∠ACE=∠DFB C．AB=DE D．∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】可再补充一对对应角角相等，或再补∠1和∠2的另一边相等，可得出答案．
【解答】解：A、BC=CE，不是对应边，所以A不可以；
B、∠ACE=∠DBF和∠1=∠2是等价的条件，所以B也不可以；
C、AB=DE，AC=DF，∠1=∠2，满足SSA，所以C也不能判定全等；
D、当∠A=∠D时，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故选D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
9．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
【考点】全等三角形的应用．
【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
10．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；
B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；
C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
二、填空题（每题3分，共27分）
11．等腰三角形的一个内角是100°，那么另外两个内角的度数分别为 40°，40° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】应用题．
【分析】因为等腰三角形中必有两个角相等和三角形内角和为180°，由其等腰三角形的另一个底角不能为100°，所以剩下两个角为底角为40°，40°．
【解答】解：∵三角形内角和为180°，
∴100°只能为顶角，
∴剩下两个角为底角，且他们之和为80°，
∴另外两个内角的度数分别为40°，40°．
故答案为：40°，40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n= ﹣1 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而求出即可．
【解答】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，
∴m﹣1=2，n+1=﹣3，
解得：m=3，n=﹣4，
则m+n=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出是解题关键．
13．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为 八 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
14．如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线交AB，BC于点E、D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为 22 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由BC边的垂直平分线交AB，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由△ACE的周长为12，即可得AB+AC=12，继而求得答案．
【解答】解：∵BC边的垂直平分线交AB，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为12，
∴AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=12，
∵BC=10，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=22．
故答案为：22．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为 24 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA，求证△AON和△BOM为等腰三角形，再根据AC+BC=24，利用等量代换即可求出△CMN的周长
【解答】解：AO、BO分别是角平分线，
∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，
∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，
∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，
∵MN=MO+ON，AC+BC=24，
∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证△AON和△BOM为等腰三角形，难度不大，是一道基础题．
16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】结合图形根据三角形的外角和定理进行计算，要求的角的和显然是一个三角形的三个外角的和．
【解答】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°
【点评】本题考查了三角形的外角性质，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F转化为一个三角形的三个外角的和是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，则点D到AB的距离为 3 cm．
【考点】角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD=3．
【解答】解：∵BC=10，BD=7，
∴CD=3．
由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．
18．如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是 44 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由DE垂直平分AC可得∠DAC=∠DCA；∠ADB是△ACD的外角，故∠DAC+∠DCA=∠ADB又因为∠B=70°⇒∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BAD，由此可求得角度数．
【解答】解：设∠BAD为x，则∠BAC=3x，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x，
根据题意得：180°﹣（x+70°）=2x+2x，
解得x=22°，
∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．
故填44°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．考生需要注意的是角的比例关系的设法，应用列方程求解是正确解答本题的关键．
19．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ①②③⑤ ．（把你认为正确的序号都填上）
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型．
【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．
【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；
②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；
③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD﹣DP=BE﹣QE，
∴AP=BQ，（故③正确）；
④∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
三、解答题（本题共9个小题，满分63分）
20．如图，
（1）画出△ABC关于Y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请计算△ABC的面积；
（3）直接写出△ABC关于X轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）先求出三角形各边的长，得出这是一个直角三角形，再根据面积公式计算；
（3）利用轴对称图形的性质可得．
【解答】解：（1）如图
（2）根据勾股定理得AC==，
BC=，AB=，
再根据勾股定理可知此三角形为直角三角形，
则s△ABC=；
（3）根据轴对称图形的性质得：A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）．
【点评】做轴对称图形的关键是找出各点的对应点，然后顺次连接．
21．如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥DF．求证：AB=DE，AC=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】结合已知条件可由ASA得出△ABC≌△DEF，进而可得出结论．
【解答】证明：∵FB=EC，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥DF，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，AC=DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用已知条件即可求出∠BDC的度数；
（2）利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=60°；
（2）在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质等几何知识．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】作图题．
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．
又∵AE=BD，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
∴AD=CE；
（2）解：
∵（1）△AEC≌△BDA，
∴∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【点评】本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．
24．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．
25．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．
求证：AD平分∠BAC．
【考点】角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】连接BC，先证明△BCF≌△CBE，则BF=CE，则Rt△BFD≌Rt△CED（AAS），所以DF=DE，由角平分线的逆定理可得AD平分∠BAC．
【解答】解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB=∠BEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF=CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，
∠OAD==120°﹣，
∴190°﹣α=120°﹣，
解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
2017-2018学年河南省安阳六十三中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如下图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，5cm，8cm C．4cm，5cm，10cm D．3cm，4cm，5cm
3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
6．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，则还需条件（ ）
A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
7．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，DA=DB=5，△ABD的面积为10，则CD长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图所示，∠1=∠2，AC=DF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．BC=CE B．∠ACE=∠DFB C．AB=DE D．∠A=∠D
9．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
10．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
二、填空题（每题3分，共27分）
11．等腰三角形的一个内角是100°，那么另外两个内角的度数分别为 ．
12．已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n= ．
13．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为 边形．
14．如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线交AB，BC于点E、D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为 ．
15．如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为 ．
16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，则点D到AB的距离为 cm．
18．如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是 度．
19．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题（本题共9个小题，满分63分）
20．如图，
（1）画出△ABC关于Y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请计算△ABC的面积；
（3）直接写出△ABC关于X轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
21．如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥DF．求证：AB=DE，AC=DF．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数．
24．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
25．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．
求证：AD平分∠BAC．
26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
2017-2018学年河南省安阳六十三中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如下图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称的定义，结合所给图形的特点进行判断即可．
【解答】解：信封是轴对称图形；
飞机是轴对称图形；
裤子是轴对称图形；
褂子不是轴对称图形；
综上可得轴对称图形共3个．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm B．2cm，5cm，8cm C．4cm，5cm，10cm D．3cm，4cm，5cm
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
【解答】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+5＜8，不能组成三角形，故此选项错误；
C、4+5＜10，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+4＞5，能组成三角形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】根据高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是D．
故选D．
【点评】三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
4．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】三角形内角和定理．
【分析】根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形；
④因为∠A=∠B﹣∠C，所以∠C+∠A=∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，2∠B=180°，解得∠B=90°，△ABC是直角三角形；
能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个．
故选：D．
【点评】解答此题要用到三角形的内角和为180°，以及三角形的形状判定：若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．
5．如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】由已知条件AC=AD，利用线段的垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的，答案可得．
【解答】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．
∴AB垂直平分CD．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．分别应用垂直平分线性质定理的逆定理是解答本题的关键．
6．如图，要用“SAS”证△ABC≌△ADE，若已知AB=AD，AC=AE，则还需条件（ ）
A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1=∠2 D．∠3=∠4
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据题目中给出的条件AB=AD，AC=AE，要用“SAS”还缺少条件是夹角：∠BAC=∠DAE，筛选答案可选出C．
【解答】解：还需条件∠1=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即：∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中：
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA．
7．如图，直角三角形ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，DA=DB=5，△ABD的面积为10，则CD长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】勾股定理．
【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，可证BC是△DAB的高，然后利用三角形面积公式求出BC的长，再利用勾股定理即可求出DC的长．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴BC⊥AC，即BC是△DAB的高，
∵△DAB的面积为10，DA=5，
∴DA•BC=10，
∴BC=4，
∴CD==3．
故选A．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的理解和掌握，此题的突破点是利用三角形面积公式求出BC的长．
8．如图所示，∠1=∠2，AC=DF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A．BC=CE B．∠ACE=∠DFB C．AB=DE D．∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】可再补充一对对应角角相等，或再补∠1和∠2的另一边相等，可得出答案．
【解答】解：A、BC=CE，不是对应边，所以A不可以；
B、∠ACE=∠DBF和∠1=∠2是等价的条件，所以B也不可以；
C、AB=DE，AC=DF，∠1=∠2，满足SSA，所以C也不能判定全等；
D、当∠A=∠D时，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
故选D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．
9．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去
【考点】全等三角形的应用．
【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
10．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC
C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】解：A、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；
B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；
C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
二、填空题（每题3分，共27分）
11．等腰三角形的一个内角是100°，那么另外两个内角的度数分别为 40°，40° ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】应用题．
【分析】因为等腰三角形中必有两个角相等和三角形内角和为180°，由其等腰三角形的另一个底角不能为100°，所以剩下两个角为底角为40°，40°．
【解答】解：∵三角形内角和为180°，
∴100°只能为顶角，
∴剩下两个角为底角，且他们之和为80°，
∴另外两个内角的度数分别为40°，40°．
故答案为：40°，40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和知识；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．已知点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，则m+n= ﹣1 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】利用关于x轴对称点的性质得出m，n的值，进而求出即可．
【解答】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n+1）关于x轴对称，
∴m﹣1=2，n+1=﹣3，
解得：m=3，n=﹣4，
则m+n=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出是解题关键．
13．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形为 八 边形．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．
14．如图，已知△ABC，BC=10，BC边的垂直平分线交AB，BC于点E、D．若△ACE的周长为12，则△ABC的周长为 22 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由BC边的垂直平分线交AB，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE，又由△ACE的周长为12，即可得AB+AC=12，继而求得答案．
【解答】解：∵BC边的垂直平分线交AB，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为12，
∴AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=12，
∵BC=10，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=22．
故答案为：22．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
15．如图，已知△ABC中，AC+BC=24，AO、BO分别是角平分线，且MN∥BA，分别交AC于N、BC于M，则△CMN的周长为 24 ．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据AO、BO分别是角平分线和MN∥BA，求证△AON和△BOM为等腰三角形，再根据AC+BC=24，利用等量代换即可求出△CMN的周长
【解答】解：AO、BO分别是角平分线，
∴∠OAN=∠BAO，∠ABO=∠OBM，
∵MN∥BA，∴∠AON=∠BAO，∠MOB=∠ABO，
∴AN=ON，BM=OM，即△AON和△BOM为等腰三角形，
∵MN=MO+ON，AC+BC=24，
∴△CMN的周长=MN+MC+NC=AC+BC=24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题关键是求证△AON和△BOM为等腰三角形，难度不大，是一道基础题．
16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 360° ．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】结合图形根据三角形的外角和定理进行计算，要求的角的和显然是一个三角形的三个外角的和．
【解答】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠E+∠F，∠3=∠C+∠D，
∵∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°
【点评】本题考查了三角形的外角性质，把∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F转化为一个三角形的三个外角的和是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm，BD=7cm，则点D到AB的距离为 3 cm．
【考点】角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离=CD=3．
【解答】解：∵BC=10，BD=7，
∴CD=3．
由角平分线的性质，得点D到AB的距离等于CD=3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知能够注意到D到AB的距离即为CD长是解决的关键．
18．如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是 44 度．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】由DE垂直平分AC可得∠DAC=∠DCA；∠ADB是△ACD的外角，故∠DAC+∠DCA=∠ADB又因为∠B=70°⇒∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BAD，由此可求得角度数．
【解答】解：设∠BAD为x，则∠BAC=3x，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x，
根据题意得：180°﹣（x+70°）=2x+2x，
解得x=22°，
∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．
故填44°．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．考生需要注意的是角的比例关系的设法，应用列方程求解是正确解答本题的关键．
19．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ①②③⑤ ．（把你认为正确的序号都填上）
【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】动点型．
【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．
【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；
②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；
③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD﹣DP=BE﹣QE，
∴AP=BQ，（故③正确）；
④∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；
⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
三、解答题（本题共9个小题，满分63分）
20．如图，
（1）画出△ABC关于Y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请计算△ABC的面积；
（3）直接写出△ABC关于X轴对称的三角形△A2B2C2的各点坐标．
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）先求出三角形各边的长，得出这是一个直角三角形，再根据面积公式计算；
（3）利用轴对称图形的性质可得．
【解答】解：（1）如图
（2）根据勾股定理得AC==，
BC=，AB=，
再根据勾股定理可知此三角形为直角三角形，
则s△ABC=；
（3）根据轴对称图形的性质得：A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）．
【点评】做轴对称图形的关键是找出各点的对应点，然后顺次连接．
21．如图：点B，E，C，F在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥DF．求证：AB=DE，AC=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】结合已知条件可由ASA得出△ABC≌△DEF，进而可得出结论．
【解答】证明：∵FB=EC，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥DF，
∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，
在△ABC与△DEF中，
∵
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，AC=DF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于点D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．
（1）求∠BDC的度数；
（2）求BD的长．
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）由于AB的垂直平分线交AC于点D，根据线段的垂直平方的性质得到DA=DB，然后根据等腰三角形的性质推出∠DBE=∠A，然后利用已知条件即可求出∠BDC的度数；
（2）利用已知条件和30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求出BD的长．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DBE=∠A=30°，
∴∠BDC=60°；
（2）在Rt△BDC中，∵∠BDC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和30°的角所对的直角边等于斜边的一半的性质等几何知识．
23．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠DFC的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】作图题．
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．
又∵AE=BD，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
∴AD=CE；
（2）解：
∵（1）△AEC≌△BDA，
∴∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【点评】本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．
24．如图，E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，求证：△ABC是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】利用平行线的性质得出∠GDF=∠CEF进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：过点D作DG∥AE于点G，
∵DG∥AC
∴∠GDF=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
在△GDF和△CEF中
，
∴△GDF≌△CEF（ASA），
∴DG=CE
又∵BD=CE，
∴BD=DG，
∴∠DBG=∠DGB，
∵DG∥AC，
∴∠DGB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，比较简单，判定两三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，需要熟练掌握．
25．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．
求证：AD平分∠BAC．
【考点】角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】连接BC，先证明△BCF≌△CBE，则BF=CE，则Rt△BFD≌Rt△CED（AAS），所以DF=DE，由角平分线的逆定理可得AD平分∠BAC．
【解答】解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB=∠BEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF=CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF=DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．
【点评】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，难度中等，作辅助线很关键．
26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根据旋转的性质可得出OC=OD，结合题意即可证得结论；
（2）结合（1）的结论可作出判断；
（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．
【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等边三角形．
（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．
理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=∠BOC=150°，
又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，
∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，
∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．
（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO．
∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD．
∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，
∠OAD==120°﹣，
∴190°﹣α=120°﹣，
解得α=140°．
综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．
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