初中数学8下2017-2018学年辽宁省抚顺市房申中学八年级（上）期中数学试卷含答案含答案

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2017-2018学年辽宁省抚顺市房申中学八年级（上）期中数学试卷
　
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
　
2．（﹣xy3）2的计算结果是（　　）
A．xy5 B．x2y6 C．﹣x2y6 D．x2y5
　
3．下列计算错误的是（　　）
A．（a2）3•（﹣a3）2=a12 B．（﹣ab2）2•（﹣a2b3）=a4b7
C．（2xyn）•（﹣3xny）2=18x2n+1yn+2 D．（﹣xy2）（﹣yz2）（﹣zx2）=﹣x3y3z3
　
4．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．10°
　
5．如图，∠A=60°，∠B=80°，则∠1+∠2=（　　）

A．100° B．120° C．140° D．150°
　
6．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）

A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
　
7．若2m=3，2n=5，则2m+2n=（　　）
A．15 B．30 C．45 D．75
　
8．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（　　）

A．90° B．135° C．270° D．315°
　
9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°
　
10．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
　
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则∠C等于　　　　　　度．
　
12．三角形的两边长分别为4和5，那么第三边a的取值范围是　　　　　　．
　
13．（﹣）•x2y2=　　　　　　．
　
14．等腰三角形的两边分别为5cm和8cm，则它的周长为　　　　　　．
　
15．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部A′处，已知∠A=40°，则∠1+∠2=　　　　　　度．

　
16．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是　　　　　　．

　
17．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=　　　　　　度．

　
18．在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB+BC=12cm，AB=　　　　　　．
　
　
三、（第19题8分，第20题8分，共计16分）
19．如图：画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各点的坐标．

　
20．如图，已知△ABC，用尺规作图作出BC边上的高AD（保留作图痕迹，不写作法），
若∠B=∠BAC=30°，求∠CAD的度数．

　
　
四、（第21题6分，第22题8分，共计14分）
21．计算：（2x）2+x（x﹣1）+（1+x）（6﹣5x）
　
22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥AB交BC于D，AD=3cm，求BC的长．

　
　
五、（8分）
23．如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DE=BD﹣CE．

　
　
六、（8分）
24．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．
（1）如图1，∠A=90°，则∠BOC=　　　　　　；
（2）如图2，∠A=80°，求∠BOC的度数；
（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．

　
　
七、（8分）
25．已知：如图，AC=AB，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE=AD．

　
　
八、（10分）
26．如图，△ABC为等边三角形，P是直线AB左侧一点，连接PA、PB、PC，PC与AB相交于点D，∠BPC=60°．
（1）求证：∠PBA=∠PCA；
（2）求证：PC=PA+PB．

　
　

2017-2018学年辽宁省抚顺市房申中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．下列图案是几种名车的标志，在这几个图案中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：根据轴对称图形定义可知：
A、不是轴对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
　
2．（﹣xy3）2的计算结果是（　　）
A．xy5 B．x2y6 C．﹣x2y6 D．x2y5
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：原式=x2y6．
故选B．
【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方的简单应用．
　
3．下列计算错误的是（　　）
A．（a2）3•（﹣a3）2=a12 B．（﹣ab2）2•（﹣a2b3）=a4b7
C．（2xyn）•（﹣3xny）2=18x2n+1yn+2 D．（﹣xy2）（﹣yz2）（﹣zx2）=﹣x3y3z3
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】计算题．
【分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（a2）3•（﹣a3）2=a12，故本选项正确；
B、（﹣ab2）2•（﹣a2b3）=﹣a4b7，故本选项错误；
C、（2xyn）•（﹣3xny）2=18x2n+1yn+2，故本选项正确；
D、（﹣xy2）（﹣yz2）（﹣zx2）=﹣x3y3z3，故本选项正确．
故选B．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键，特别注意符号的变化．
　
4．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（　　）

A．15° B．25° C．30° D．10°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】探究型．
【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
故选A．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
　
5．如图，∠A=60°，∠B=80°，则∠1+∠2=（　　）

A．100° B．120° C．140° D．150°
【考点】三角形内角和定理．
【分析】在四边形ABCD中，根据四边形的内角和定理和邻补角的定义就可以得到∠1+∠2的度数．
【解答】解：∵∠A=60°，∠B=80°，
∴∠ADC+∠BCD=220°，
∴∠1+∠2=360°﹣220°=140°．
故选C．
【点评】本题主要考查了四边形的内角和定理，以及邻补角的定义．四边形的内角和等于360°．
　
6．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）

A．2对 B．4对 C．6对 D．8对
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据平行线的性质得出∠ADB=∠CBD，∠DAO=∠BCO，∠ABD=∠CDB，∠BAO=∠DCO，根据ASA即可推出△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA，根据全等三角形的性质得出AD=BC，AB=CD，根据ASA推出△AOD≌△COB，△AOB≌△COD即可．
【解答】解：图中全等三角形有4对，是△ADB≌△CBD，△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，
理由是：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，∠DAO=∠BCO，∠ABD=∠CDB，∠BAO=∠DCO，
在△ADB和△CBD中，
，
∴△ADB≌△CBD（ASA），
同理△ABC≌△CDA，
∴AD=BC，AB=DC，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
同理△AOB≌△COD．
故选B．
【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
　
7．若2m=3，2n=5，则2m+2n=（　　）
A．15 B．30 C．45 D．75
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：原式=（2m）（2n）2
=3×25
=75．
故选D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．
　
8．如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2=（　　）

A．90° B．135° C．270° D．315°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】先根据直角三角形的性质求得两个锐角和是90度，再根据四边形的内角和是360度，即可求得∠1+∠2的值．
【解答】解：∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∵∠A+∠B+∠1+∠2=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣90°=270°．
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和定理．知道剪去直角三角形的这个直角后得到一个四边形，根据四边形的内角和定理求解是解题的关键．
　
9．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　）

A．15° B．22.5° C．30° D．45°
【考点】轴对称-最短路线问题；等边三角形的性质．
【分析】过E作EM∥BC，交AD于N，连接CM交AD于F，连接EF，推出M为AB中点，求出E和M关于AD对称，根据等边三角形性质求出∠ACM，即可求出答案．
【解答】解：
过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用．
　
10．如图，AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE=DF，连接BF，CE、下列说法：①CE=BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意，结合已知条件与全等的判定方法对选项一一进行分析论证，排除错误答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，又∠CDE=∠BDF，DE=DF，
∴△BDF≌△CDE，故④正确；
由△BDF≌△CDE，可知CE=BF，故①正确；
∵AD是△ABC的中线，
∴△ABD和△ACD等底等高，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确；
由△BDF≌△CDE，可知∠FBD=∠ECD
∴BF∥CE，故③正确．
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
二、填空题（每小题2分，共16分）
11．在△ABC中，∠A=∠B=2∠C，则∠C等于　36　度．
【考点】三角形内角和定理；解一元一次方程．
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，把∠A=∠B=2∠C代入得出5∠C=180°，求出即可．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B=2∠C，
∴5∠C=180°，
∴∠C=36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查了解一元一次方程，三角形内角和定理的应用，能得出关于∠C的方程是解此题的关键．
　
12．三角形的两边长分别为4和5，那么第三边a的取值范围是　1＜a＜9　．
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边a的取值范围．
【解答】解：∵三角形的两边长分别为4和5，第三边的长为a，
∴根据三角形的三边关系，得：5﹣4＜a＜5+4，即：1＜a＜9．
故答案为：1＜a＜9．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．
　
13．（﹣）•x2y2=　x3y3z　．
【考点】单项式乘单项式．
【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：原式=﹣x1+2y1+2z=x3y3z，
故答案为： x3y3z．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
　
14．等腰三角形的两边分别为5cm和8cm，则它的周长为　18cm或21cm　．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】等腰三角形两边的长为5cm和8cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是5cm，底边是8cm时，能构成三角形，
则其周长=5+5+8=18cm；
②当底边是5cm，腰长是8cm时，能构成三角形，
则其周长=5+8+8=21cm．
故答案为：18cm或21cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．应向学生特别强调．
　
15．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，把△ADE沿DE折叠，使点A落在四边形BCED内部A′处，已知∠A=40°，则∠1+∠2=　80°　度．

【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2=360°﹣2（∠ADE+∠AED），再利用三角形的内角和定理进行转换，得∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A．
【解答】解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2=360°﹣2（∠ADE+∠AED），
又∵∠ADE+∠AED=180°﹣∠A，
∴∠1+∠2=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A=80°．
故答案为：80°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的定义、折叠的性质，综合运用各定理是解答此题的关键．
　
16．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是　360°　．

【考点】多边形内角与外角；三角形的外角性质．
【分析】先根据三角形外角的性质得出∠A+∠B=∠1，∠E+∠F=∠2，∠C+∠D=∠3，再根据三角形的外角和是360°进行解答．
【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，
∴∠1=∠A+∠B，
∵∠2是△EFH的外角，
∴∠2=∠E+∠F，
∵∠3是△CDI的外角，
∴∠3=∠C+∠D，
∵∠1、∠3、∠3是△GIH的外角，
∴∠1+∠2+∠3=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：360°．

【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．
　
17．如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=　180　度．

【考点】角的计算．
【专题】计算题．
【分析】先利用∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠BOC=90°，可得∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°，而∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，于是有∠AOB+∠COD=180°．
【解答】解：如右图所示，
∵∠AOD+∠COD=90°，∠COD+∠BOC=90°，
∠BOD=∠COD+∠BOC，∠AOD+∠BOD=∠AOB，
∴∠AOD+∠COD+∠COD+∠BOC=180°，
∴∠AOD+2∠COD+∠BOC=180°，
∴∠AOB+∠COD=180°．
故答案是180．

【点评】本题考查了角的计算、三角板的度数，注意分清角之间的关系．
　
18．在Rt△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB+BC=12cm，AB=　8cm　．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=AB，然后代入求解即可．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=AB，
∵BC+AB=12cm，
∴AB+AB=12，
解得AB=8cm．
故答案为：8cm．

【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
　
三、（第19题8分，第20题8分，共计16分）
19．如图：画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各点的坐标．

【考点】作图-轴对称变换．
【分析】利用关于y轴对称点的性质进而得出各点坐标，进而画出图形即可．
【解答】解：如图所示：△A1B1C1各点的坐标分别为：A1（3，2），B1（4，﹣3），C1（1，﹣1）．

【点评】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点位置是解题关键．
　
20．如图，已知△ABC，用尺规作图作出BC边上的高AD（保留作图痕迹，不写作法），
若∠B=∠BAC=30°，求∠CAD的度数．

【考点】作图—基本作图．
【分析】先过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD为△ABC的高线，再依据三角形外角的性质求得∠ACD=60°，从而可求得∠CAD=30°．
【解答】解：如图所示：

∵∠ACD=∠B+∠BAC，
∴∠ACD=30°+30°=60°．
∵AD是△ABC的高线，
∴∠BDA=90°．
∴∠ACD=90°﹣60°=30°．
【点评】本题主要考查的是尺规作图，掌握五种基本作图是解题的关键．
　
四、（第21题6分，第22题8分，共计14分）
21．计算：（2x）2+x（x﹣1）+（1+x）（6﹣5x）
【考点】整式的混合运算．
【分析】先算乘法，再合并同类项，即可得出答案．
【解答】解：（2x）2+x（x﹣1）+（1+x）（6﹣5x）
=4x2+x2﹣x+6﹣5x+6x﹣5x2
=6．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
　
22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AD⊥AB交BC于D，AD=3cm，求BC的长．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】由等腰三角形的性质得出∠B=∠C=30°，∠BAD=90°；易证得∠DAC=∠C=30°，即CD=AD=3cm．Rt△ABD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得BD=2AD=6cm；由此可求得BC的长．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵AB⊥AD，
∴BD=2AD=2×3=6（cm），
∠B+∠ADB=90°，
∴∠ADB=60°，
∵∠ADB=∠DAC+∠C=60°，
∴∠DAC=30°，
∴∠DAC=∠C，
∴DC=AD=3cm
∴BC=BD+DC=6+3=9（cm）．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出BD和CD的长度是解决问题的关键．
　
五、（8分）
23．如图，在△ABC中，已知∠ABC和△ABC的外角∠ACG的平分线交于点F，过点F作FD∥BC，FD分别交AB、AC于点D、E，求证：DE=BD﹣CE．

【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【专题】证明题．
【分析】证明BD=FD，CE=FE，即可解决问题．
【解答】证明：∵∠ABC的平分线和外角∠ACF的平分线交于点F，
∴∠DBF=∠CBF，∠ECF=∠GCF；
∵FD∥BC，
∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠GCF，
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，
∴BD=FD，EC=EF；
∴DE=BD﹣CE
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点的应用问题；牢固掌握等腰三角形的判定、平行线的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础和关键．
　
六、（8分）
24．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O．
（1）如图1，∠A=90°，则∠BOC=　135°　；
（2）如图2，∠A=80°，求∠BOC的度数；
（3）从上述计算中，你能发现∠BOC与∠A的关系吗？请直接写出∠B0C与∠A的关系．

【考点】三角形内角和定理．
【分析】（1）求出∠ABC+∠ACB的度数，根据平分线的定义得出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）与（1）同理可得结果；
（3）由（1）结论可得，（2）同理可得，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠A=90°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=90°，
∵BO、CO分别是△ABC的角∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=45°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣45°=135°，
故答案为：135；

（2）∵在△ABC中，∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，
∵∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣50°=130°；

（3）∠BOC=90°+∠A，
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A，
即：∠BOC=90°+∠A．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
　
七、（8分）
25．已知：如图，AC=AB，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AE=AD．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据∠1=∠2求出∠EAC=∠DAB，根据ASA推出△EAC≌△DAB即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAC=∠2+∠BAC，
∴∠EAC=∠DAB，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（ASA），
∴AE=AD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的对应边相等，对应角相等．
　
八、（10分）
26．如图，△ABC为等边三角形，P是直线AB左侧一点，连接PA、PB、PC，PC与AB相交于点D，∠BPC=60°．
（1）求证：∠PBA=∠PCA；
（2）求证：PC=PA+PB．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）首先根据三角形的内角和求得∠PBC+∠PCB=120°，再根据等边三角形的内角为60°，得到∠PBA+∠PCB=60°，∠ACB=∠PCB+∠PCA=60°，即可得到∠PBA=∠PCA．
（2）如图，延长BP至E，使PE=PA，连接AE，证明△PAE为等边三角形，得到AE=AP=PE，∠PAE=60°，由△ABC为等边三角形，证明△AEB≌△APC（SAS），得到EB=PC，即可解答．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠BPC=60°，
∴∠PBC+∠PCB=180°﹣60°=120°，
∴∠PBA+∠ABC+∠PCB=120°，
∴∠PBA+∠PCB=60°，
∵∠ACB=∠PCB+∠PCA=60°，
∴∠PBA=∠PCA．
（2）如图，延长BP至E，使PE=PA，连接AE，

∵∠PBA=∠PCA，
∴点A，P，B，C四点共圆，
∴∠APC=∠ABC=60°，
∴∠APE=180°∠BPC﹣∠APC=60°，
又∵PE=PA，
∴△PAE为等边三角形，
∴AE=AP=PE，∠PAE=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，∠BCA=60°，
∴∠BAC=∠PAE，
∴∠BAC+∠PAD=∠PAE+∠PAD，
即：∠EAB=∠PAC，
在△AEB和△APC中，
，
∴△AEB≌△APC（SAS），
∴EB=PC，
∵BE=BP+PE=PB+PA，
∴PC=PB+PA．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是正确作出辅助线．