北师大版 (2019)必修 第二册3.2 复数乘除运算的几何意义复习练习题

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册3.2 复数乘除运算的几何意义复习练习题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
5.2复数的四则运算北师大版（   2019）高中数学必修第二册第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）已知复数满足，则复数在复平面内对应的点在(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，他将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论中占有非常重要的地位，特别是当时，被称为数学上的优美公式．根据欧拉公式，表示复数，则(    )A.  B.  C.  D. 复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则(    )A. ， B. ，
C. ， D. ，已知，分别是复数，在复平面内对应的点，是坐标原点．若，则一定是(    )A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形已知方程有两个虚根，若，则的值是(    )A. 或 B.  C.  D. 在复数范围内，实系数一元二次方程一定有根．已知方程的一个根为为虚数单位，则(    )A.  B.  C.  D. 已知复数，则(    )A.  B.  C.  D. 已知复数满足且，则的值为(    )A.  B.  C.  D.  二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）已知与是共轭复数，以下个命题一定正确的是(    )A.  B.  C.  D. 下列命题正确的是．(    )A. 若复数的模相等，则是共轭复数
B. 都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数
C. 复数是实数的充要条件是是的共轭复数
D. 已知复数，，是虚数单位，它们对应的点分别为，，，为坐标原点，若，则已知复数，，其中，则下列结论正确的是(    )A. 的虚部为
B. 的共轭复数
C. 是关于的方程的一个根
D. 若，则在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆任何一个复数其中，，为虚数单位都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说法正确的是(    )A.
B. 当，时，
C. 当，时，
D. 当，时，若为偶数，则复数为纯虚数第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知，，，则          ．计算：          ．已知，则          ．计算          ． 四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分计算．本小题分
求的值；
若关于的一元二次方程的一个根是，其中，，是虚数单位，求的值．本小题分已知为虚数单位．计算：；若，求复数．本小题分
已知关于的方程的两个根是，．
若为虚数且，求实数的值；
若，求实数的值．本小题分
已知复数其中为虚数单位，若复数的共轭复数为，且．
求复数；若是关于的方程的一个根，求实数，的值，并求出方程的另一个复数根．本小题分
已知复数是关于的方程的一个根，求的值；
已知复数，，，求．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的运算，虚数单位的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
根据虚数单位的幂运算性质和复数的运算法则化简式子，求得，再根据复数与复平面内对应点之间的关系就求得结果．【解答】解：由，得，，
在复平面内的对应点的坐标为，
显然位于第三象限，
故选C．  2.【答案】 【解析】【分析】本题考查了复数的欧拉公式、特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
，再由复数运算法则以及复数的求模公式求解即可．【解答】解：因为，
所以，
则．
故选B．  3.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查复数的概念，以及复数的加减计算．
根据题意计算与，可得且，从而的得结果．【解答】解：根据题意得，为实数，为纯虚数，所以且，解得，，故选A．  4.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查复数几何意义，根据条件转化为向量是解决本题的关键．
利用复数的几何意义，结合向量的性质进行判断即可．【解答】解：，
由复数加减运算的几何意义知：以、为邻边的平行四边形是矩形．
是直角三角形．
故选B．  5.【答案】 【解析】【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、以及复数范围内的方程的根，分类讨论的思想，考查数学运算能力，属于基础题．
根据给定条件可得 与 互为共轭复数，即 ，设 由韦达定理可知 ，即可求解．

 【解答】解：因方程 有两个虚根 ，则 与 互为共轭复数，
因此方程判别式小于，即 ，设由韦达定理可知所以，即，  即，  所以所以故选：．  6.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了复数的四则运算，熟练掌握相关知识点和运算法则是解决此类问题的关键，属于中档题．
先将根代入方程中求出，再利用四则运算求出结果即可．【解答】解：方程的一个根为，
，
则，
解得，，
则
，
故选B．  7.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的除法运算及共轭复数，是基础题．【解答】解：，故．  8.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数乘法运算的三角表示及其几何意义、共轭复数、复数的模及其几何意义、复数的乘法运算，属于中档题．
设，代入条件求得复数，利用复数乘法运算的三角表示，即可求出的值．【解答】解：设，故，
，将其代入，得，
所以，即，
因为，所以，
当时，，
则，
当时，，
则．
故选：．  9.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的概念，考查共轭复数的概念，考查复数的模，考查复数的四则运算，是基础题．
根据题意设，则，代入选项计算一一验证即可．【解答】解：根据题意设，则，
对于，，，
当时，是虚数，
不能与比较大小，所以A错误；
对于，，，
所以，即B正确；
对于，，所以C正确；
对于，当时，显然错误．
故选BC．  10.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的概念，共轭复数，几何意义，本题的关键是正确理解复数的有关概念，属于中等题．
对于选项根据共轭复数的定义，举例判断；对于选项根据是虚数，判断两个复数的虚部的关系，判断选项；对于选项分别判断充分和必要条件；对于选项利用向量，复数，坐标的关系，利用向量相等求得，的值．【解答】解：对于选项模相等的复数不一定是共轭复数，比如：，，这两个复数的模相等，但不是共轭复数，故A不正确；
对于选项设， ，，，，，若是虚数，，两个复数的虚部不互为相反数，所以不是的共轭复数，故B正确；
对于选项设，，若，则，所以复数是实数若是实数，则 且，故C正确；
对于选项由条件可知，，，，则，所以 ，解得：，所以，故D不正确．
故选：．  11.【答案】 【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则，虚部的定义，方程的根，几何意义，属于中档题
利用复数的定义判断，利用共轭复数的定义判断，利用复数的四则运算判断，利用复数的几何意义判断．【解答】解：，复数的虚部为，A错误
的共轭复数为，B正确
当时，，C正确
设，由，得到，
在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆，D正确．
故选：．  12.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了复数的三角表示式，涉及了复数的模、共轭复数、复数的分类等知识，属中档题．
根据复数的三角表示结合运算规律，再根据相关概念即可得解．【解答】解：对于选项，，则，可得
，，选项正确
对于选项，当，时，，则，选项错误
对于选项，当，时，，选项
正确
对于选项，，
取，则为偶数，则不是纯虚数，选项错误．  13.【答案】 【解析】【分析】本题考查复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．
利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：，
可设，，，，
，
．



故答案为．  14.【答案】 【解析】【分析】本题考查了复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性，属于基础题．
由虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算计算即可．【解答】解：由，


，
故答案为．  15.【答案】 【解析】【分析】本题考查虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算与幂运算的周期性求解即可．【解答】解：，
，，
，
故答案为．  16.【答案】 【解析】【分析】本题考查了虚数单位的幂的运算，复数的四则运算，属于中等题．
利用复数的运算公式，利用，，，即可化简求值．【解答】解：原式



．
故答案为．  17.【答案】解：． 【解析】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．
利用复数的乘除法运算法则以及的幂运算的周期性进行计算．
 18.【答案】解：
；由题得
，
因为，所以，解得
所以． 【解析】本题考查复数相等的充要条件，虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算，复数范围内方程的根与分解因式，考查运算化简的能力，属于中档题．
根据虚数单位的幂运算的周期性，复数的四则运算化简可得；
将代入方程，利用复数的四则运算，复数相等的充要条件，解得，可得结论．
 19.【答案】解：
；
设，则由得，
，即或故或． 【解析】本题考查复数的运算，共轭复数，复数的模及其几何意义，属于中档题．
利用复数的四则运算，虚数单位的幂运算的周期性化简运算可得；
设，由可得，利用复数相等列方程组解得即可．
 20.【答案】解：，
，
又，，
，
，，
 若方程的判别式，即时，则方程的有两个实数根，．
则，
解得，
若方程的判别式，即时，则方程有一对共轭虚根，
则，解得． 【解析】根据复数的定义可得，解得即可，
根据判别式分类讨论，即可求出的值．
本题考查了方程的实根和虚根的问题，属于中等题．
 21.【答案】解：因为，
所以，
，
；
若是关于的方程的一个根，则，
即，

得，，
设方程另一复数根为，
得，
即，
得
解得，或，，
所以方程另一根为． 【解析】本题考查复数的运算以及复数相等的条件，属于中档题．
利用复数的运算法则求出，再由复数的运算求出
把复数代入方程，由复数相等的条件解方程组求得，，设方程的另一个根，代入方程，利用复数相等求得，即可．
 22.【答案】解：解法一：因为是方程的一个根，
，
，；解法二：因为是方程的一个根，也是方程的一个根，；解法一：，，又，，；解法二：，，所以，所以，，，
由，所以，所以． 【解析】本题考查复数范围内方程的根的问题，复数的四则运算，复数的模，属于中档题．
解法一：将代入方程求解即可；
解法二：由复数范围内方程的根的关系可得和均为方程的根，再由根与系数的关系求解即可；
解法一：由进行四则运算再求解复数的模即可；
解法二：先求，，，再由计算即可．