人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试学案设计

第4讲  整式的加减

1代数式

一．  代数式

1．   代数式的概念：用基本的运算符号（包括加、减、乘、除、乘方与开方等）把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式．例如：，，等．

单独的一个数或一个字母也是代数式．例如：，等．

2．代数式书写规范：

（1）  数与字母、字母与字母相乘时常省略“”号或用“”．

           如：，，

（2）  数字通常写在字母前面．

           如：，

（3）  带分数与字母相乘时要化成假分数．

    如：，切勿错误写成“ ”

（4）  当字母前面的数字为或时，把数字省略．

           如：，

（5）  除法常写成分数的形式．

           如：

【例】（2017秋•兴城市校级期中）下列代数式中整式有（　　）

，2x+y，a2b，，，0.5，a．

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个

【解答】解：2x+y，a2b，，0.5，a是整式，

故选：B．

【例】（2017春•南岗区校级期中）在代数式﹣7，﹣x2，﹣，，，，中，整式有（　　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【解答】解：在代数式﹣7，﹣x2，﹣，，，，中，整式有﹣7，﹣x2，﹣，，

故选：B．

2单项式

一．  单项式

1. 概念：数或字母的积叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
2. 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

             字母是圆周率，当做数字来看待．

3. 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．

     对于单独一个非零的数，规定它的次数为．

二．  单项式系数易错点

1．   圆周率π是常数，如的系数是，次数是1；的系数是，次数是．

2．   当一个单项式的系数是或时，通常省略不写数字“”，如，等．

3．  代数式的系数是带分数时，通常写成假分数，如写成．

【例】（2018•金山区二模）单项式2a3b的次数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：该单项式的次数为：4

故选：C．

【例】（2017秋•中山区期末）单项式﹣2xy3的系数和次数分别是（　　）

A．﹣2，4 B．4，﹣2 C．﹣2，3 D．3，﹣2

【解答】解：单项式﹣2xy3的系数和次数分别是：﹣2、4．

故选：A．

【练习】（2017秋•工业园区期末）下列关于单项式的说法中，正确的是（　　）

A．系数是2，次数是2 B．系数是﹣2，次数是3

C．系数是，次数是2 D．系数是，次数是3

【解答】解：单项式的系数是，次数是3．

故选：D．

【例】（2017秋•牡丹区期末）下列说法正确的是（　　）

A．的系数是﹣2 B．32ab3的次数是6次

C．是多项式 D．x2+x﹣1的常数项为1

【解答】解：A、的系数是﹣；故A错误．

B、32ab3的次数是1+3=4；故B错误．

C、根据多项式的定义知，是多项式；故C正确．

D、x2+x﹣1的常数项为﹣1，而不是1；故D错误．

故选：C．

【例】（2017秋•民勤县校级期中）单项式﹣ 与﹣ 是次数相同的单项式，求m的值．

【解答】解：∵单项式﹣ 与﹣ 是次数相同的单项式，

∴2+m=7，

解得：m=5．

3多项式与整式

一．  多项式

1. 概念：几个单项式的和叫做多项式．
2. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

其中，不含字母的项叫做常数项．

3. 多项式的次数：一般地，多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
4. 降幂升幂排列：通常我们把一个多项式的各个项按照某个字母的指数从大到小

（降幂）或者从小到大（升幂）的顺序排列．

二．  整式：单项式与多项式统称整式．

【例】（2017秋•双城市期末）多项式x2﹣2xy3﹣y﹣1是（　　）

A．三次四项式 B．三次三项式 C．四次四项式 D．四次三项式

【解答】解：多项式x2﹣2xy3﹣y﹣1有四项，最高次项﹣2xy3的次数为四，是四次四项式．

故选：C．

【练习】（2017秋•滨海新区期末）如果整式xn﹣3﹣5x2+2是关于x的三次三项式，那么n等于（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：∵整式xn﹣3﹣5x2+2是关于x的三次三项式，

∴n﹣3=3，

解得：n=6．

故选：D．

【例】（2017秋•越秀区期末）多项式﹣x2+2x+3中的二次项系数是（　　）

A．﹣1 B．1 C．2 D．3

【解答】解：多项式﹣x2+2x+3中的二次项系数是：﹣1．

故选：A．

【练习】（2017秋•定陶区期末）若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A+B一定是（　　）

A．三次多项式 B．四次多项式或单项式

C．七次多项式 D．四次七项式

【解答】解：多项式相加，也就是合并同类项，合并同类项时只是把系数相加减，字母和字母的指数不变，由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，B是一个四次多项式，因此A+B一定是四次多项式或单项式．

故选：B．

4同类项

一．  同类项

1. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项．
2. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项．
3. 合并同类项的法则：所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变．

二．  去括号合并同类项

1. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
2. 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

【例】（2018•罗平县一模）若代数式2xay3zc与是同类项，则（　　）

A．a=4，b=2，c=3 B．a=4，b=4，c=3 C．a=4，b=3，c=2 D．a=4，b=3，c=4

【解答】解：∵代数式2xay3zc与是同类项，

∴a=4，b=3，c=2，

故选：C．

【练习】（2018•鱼台县三模）已知﹣0.5xa+bya﹣b与是同类项，那么（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由﹣0.5xa+bya﹣b与是同类项，得

，

解得．

故选：D．

【例】（2018•怀化一模）若单项式2x2ya+b与﹣xa﹣by4是同类项，则a，b的值分别为（　　）

A．a=3，b=1 B．a=﹣3，b=1 C．a=3，b=﹣1 D．a=﹣3，b=﹣1

【解答】解：由2x2ya﹣b与﹣xaby4是同类项，得

a﹣b=2，a+b=4．

解得：a=3，b=1，

故选：A．

5整式的加减

一．  整式加减的法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．

二．  整体代入思想，整式加减法，去括号和添括号的综合应用．

【例】（2018•高碑店市一模）若m﹣x=2，n+y=3，则（m﹣n）﹣（x+y）=（　　）

A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5

【解答】解：∵m﹣x=2，n+y=3，

∴原式=m﹣n﹣x﹣y=（m﹣x）﹣（n+y）=2﹣3=﹣1，

故选：A．

【练习】（2017秋•红桥区期末）化简的结果是（　　）

A．﹣7x+ B．﹣5x+ C．﹣5x+ D．﹣5x﹣

【解答】解：原式=x+﹣6x+

=﹣5x+

故选：C．

【例】（2017秋•黄梅县期末）化简

（1）﹣3x2y+2x2y+3xy2﹣xy2

（2）4x2﹣（2x2+x﹣1）+（2﹣x2+3x）

【解答】解：（1）原式=﹣x2y+2xy2

（2）原式=4x2﹣2x2﹣x+1+2﹣x2+3x

=x2+2x+3

综合练习

一．选择题（共5小题）

1．若2x﹣3y2＝3，则1﹣x+y2的值是（　　）

A．﹣2 B．﹣ C． D．4

【解答】解：∵2x﹣3y2＝3，

∴x﹣y2＝，

则原式＝1﹣（x﹣y2）

＝1﹣

＝﹣，

故选：B．

2．已知式子﹣3xm+1y3与xnym+n是同类项，则m，n的值分别是（　　）

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可知：

∴解得：，

故选：D．

3．当x＝1时，代数式x3+x+m的值是9，则当x＝﹣1时，这个代数式的值是（　　）

A．7 B．5 C．3 D．1

【解答】解：由题意知1+1+m＝9，

则m＝7，

∴当x＝﹣1时，x3+x+m

＝﹣1﹣1+7

＝5，

故选：B．

4．给出下列结论：①单项式﹣的系数为﹣；②x与y的差的平方可表示为x2﹣y2；③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，则m+n＝5．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【解答】解：①单项式﹣的系数为﹣，故正确；②x与y的差的平方可表示为（x﹣y）2，原说法错误；

③化简（x+）﹣2（x﹣）的结果是﹣x+，故正确；④若单项式ax2yn+1与﹣axmy4的差是同类项，n+1＝4，m＝2，故n＝3，m＝2，m+n＝5，故正确．

故选：C．

5．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　　）

A．a＝ B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b

【解答】解：由图形可知，

，

，

∵S2＝2S1，

∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），

∴a2﹣4ab+4b2＝0，

即（a﹣2b）2＝0，

∴a＝2b，

故选：B．

二．填空题（共2小题）

6．已知2a﹣3b＝4，则3+6b﹣4a的值为　﹣5　．

【解答】解：∵2a﹣3b＝4，

∴3+6b﹣4a＝3﹣2（2a+3b）＝3﹣2×4＝﹣5．

故答案为：﹣5．

7．若M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7），则M与N的大小关系为：M　＜　N．

【解答】解：∵M＝（x﹣2）（x﹣8），N＝（x﹣3）（x﹣7）

分别展开得，M＝x2﹣10x+16，N＝x2﹣10x+21．

M﹣N＝（x2﹣10x+16）﹣（x2﹣10x+21）＝16﹣21＝﹣5

∴x2﹣10x+16＜x2﹣10x+21．

即M＜N．

故答案为M＜N．

三．解答题（共3小题）

8．先化简，再求值：4x2y﹣[6xy﹣3（4xy﹣2）﹣x2y﹣1]，其中x＝2，y＝﹣．

【解答】解：原式＝4x2y﹣（6xy﹣12xy+6﹣x2y﹣1）

＝4x2y﹣（﹣6xy﹣x2y+5）

＝4x2y+6xy+x2y﹣5

＝5x2y+6xy﹣5

当x＝2，y＝时，

原式＝5×4×（）+6×2×（）﹣5

＝﹣10﹣6﹣5

＝﹣21；

9．先化简，再求值：（4a2﹣2ab+b2）﹣3（a2﹣ab+b2），其中a＝﹣1，b＝﹣．

【解答】解：原式＝4a2﹣2ab+b2﹣3a2+3ab﹣3b2

＝a2+ab﹣2b2，

当a＝﹣1，b＝时，

原式＝1+﹣

＝1．

10．长春市发起了“保护伊通河”行动，某学校七年级两个班的115名学生积极参与，踊跃捐款．已知甲班有的学生每人捐了10元，乙班有的学生每人捐了10元，两个班其余学生每人捐了5元，设甲班有学生x人．

（1）用含x的代数式表示乙班人数：　115﹣x　；

（2）用含x的代数式表示两班捐款的总额；

（3）若x＝60，则两班共捐款多少元？

【解答】解：（1）由题意可得，

乙班人数为：115﹣x，

故答案为：115﹣x；

（2）

＝

＝+805，

即两班捐款的总额是（+805）元；

（3）当x＝60时，

+805＝﹣×60+805＝﹣20+805＝785（元），

答：x＝60时，两班共捐款785元