北京市楼梓庄中学2022年中考数学全真模拟试题含解析
展开2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1.如图,在下列条件中,不能判定直线a与b平行的是( )
A.∠1=∠2 B.∠2=∠3 C.∠3=∠5 D.∠3+∠4=180°
2.如图是由三个相同小正方体组成的几何体的主视图,那么这个几何体可以是( )
A. B. C. D.
3.如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的中位数为( )
A.5 B.6 C.7 D.9
4.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交,其顶点坐标为(,1),下列结论:①ac<1;②a+b=1;③4ac﹣b2=4a;④a+b+c<1.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.下列计算正确的是
A. B. C. D.
6.如果,那么代数式的值是( )
A.6 B.2 C.-2 D.-6
7.如图,O为坐标原点,四边彤OACB是菱形,OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB=,反比例函数在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,删△AOF的面积等于( )
A.10 B.9 C.8 D.6
8.如图,由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上,重叠部分(阴影)的面积是4m2,广告牌所占的面积是 30m2(厚度忽略不计),除重叠部分外,矩形剩余部分的面积比三角形剩余部分的面积多2m2,设矩形面积是xm2,三角形面积是ym2,则根据题意,可列出二元一次方程组为( )
A. B. C. D.
9.下列计算正确的是( )
A.a2+a2=a4 B.a5•a2=a7 C.(a2)3=a5 D.2a2﹣a2=2
10.若矩形的长和宽是方程x2-7x+12=0的两根,则矩形的对角线长度为( )
A.5 B.7 C.8 D.10
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11.如图,在等腰中,,点在以斜边为直径的半圆上,为的中点.当点沿半圆从点运动至点时,点运动的路径长是________.
12.如图,已知l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰直角三角形ABC的直角顶点C在l1上,另两个顶点A,B分别在l3,l2上,则sinα的值是_____.
13.规定一种新运算“*”:a*b=a-b,则方程x*2=1*x的解为________.
14.因式分解:4ax2﹣4ay2=_____.
15.已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上,且函数值y随x的增大而减小,则k所能取到的整数值为________.
16.两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示,则∠AOB等于 ______ 度.
17.在函数中,自变量x的取值范围是 .
三、解答题(共7小题,满分69分)
18.(10分)某市扶贫办在精准扶贫工作中,组织30辆汽车装运花椒、核桃、甘蓝向外地销售.按计划30辆车都要装运,每辆汽车只能装运同一种产品,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:
产品名称
核桃
花椒
甘蓝
每辆汽车运载量(吨)
10
6
4
每吨土特产利润(万元)
0.7
0.8
0.5
若装运核桃的汽车为x辆,装运甘蓝的车辆数是装运核桃车辆数的2倍多1,假设30辆车装运的三种产品的总利润为y万元.求y与x之间的函数关系式;若装花椒的汽车不超过8辆,求总利润最大时,装运各种产品的车辆数及总利润最大值.
19.(5分)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=1.点P是斜边AB上一点,过点P作PM⊥AB交边AC或BC于点M.又过点P作AC的平行线,与过点M的PM的垂线交于点N.设边AP=x,△PMN与△ABC重合部分图形的周长为y.
(1)AB= .
(2)当点N在边BC上时,x= .
(1)求y与x之间的函数关系式.
(4)在点N位于BC上方的条件下,直接写出过点N与△ABC一个顶点的直线平分△ABC面积时x的值.
20.(8分)如图,圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F,∠AEB、∠AFD的平分线交于P点.
求证:PE⊥PF.
21.(10分)如图,▱ABCD中,点E,F分别是BC和AD边上的点,AE垂直平分BF,交BF于点P,连接EF,PD.求证:平行四边形ABEF是菱形;若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.
22.(10分)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,△ABO的边AB垂直于x轴,垂足为点B,反比例函数y=(x>0)的图象经过AO的中点C,交AB于点D,且AD=1.设点A的坐标为(4,4)则点C的坐标为 ;若点D的坐标为(4,n).
①求反比例函数y=的表达式;
②求经过C,D两点的直线所对应的函数解析式;在(2)的条件下,设点E是线段CD上的动点(不与点C,D重合),过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F,求△OEF面积的最大值.
23.(12分)如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转 270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.
求证:AP=BQ;当BQ= 时,求的长(结果保留 );若△APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.
24.(14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴交于点A,与双曲线的一个交点为B(-1,4).求直线与双曲线的表达式;过点B作BC⊥x轴于点C,若点P在双曲线上,且△PAC的面积为4,求点P的坐标.
参考答案
一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
1、C
【解析】
解:A.∵∠1与∠2是直线a,b被c所截的一组同位角,∴∠1=∠2,可以得到a∥b,∴不符合题意
B.∵∠2与∠3是直线a,b被c所截的一组内错角,∴∠2=∠3,可以得到a∥b,∴不符合题意,
C.∵∠3与∠5既不是直线a,b被任何一条直线所截的一组同位角,内错角,∴∠3=∠5,不能得到a∥b,∴符合题意,
D.∵∠3与∠4是直线a,b被c所截的一组同旁内角,∴∠3+∠4=180°,可以得到a∥b,∴不符合题意,
故选C.
【点睛】
本题考查平行线的判定,难度不大.
2、A
【解析】
试题分析:主视图是从正面看到的图形,只有选项A符合要求,故选A.
考点:简单几何体的三视图.
3、B
【解析】
直接利用平均数的求法进而得出x的值,再利用中位数的定义求出答案.
【详解】
∵一组数据1,7,x,9,5的平均数是2x,
∴,
解得:,
则从大到小排列为:3,5,1,7,9,
故这组数据的中位数为:1.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了中位数以及平均数,正确得出x的值是解题关键.
4、C
【解析】
①根据图象知道:a<1,c>1,∴ac<1,故①正确;
②∵顶点坐标为(1/2 ,1),∴x="-b/2a" ="1/2" ,∴a+b=1,故②正确;
③根据图象知道:x=1时,y=a++b+c>1,故③错误;
④∵顶点坐标为(1/2 ,1),∴=1,∴4ac-b2=4a,故④正确.
其中正确的是①②④.故选C
5、B
【解析】
试题分析:根据合并同类项的法则,可知,故A不正确;
根据同底数幂的除法,知,故B正确;
根据幂的乘方,知,故C不正确;
根据完全平方公式,知,故D不正确.
故选B.
点睛:此题主要考查了整式的混合运算,解题关键是灵活应用合并同类项法则,同底数幂的乘除法法则,幂的乘方,乘法公式进行计算.
6、A
【解析】
【分析】将所求代数式先利用单项式乘多项式法则、平方差公式进行展开,然后合并同类项,最后利用整体代入思想进行求值即可.
【详解】∵3a2+5a-1=0,
∴3a2+5a=1,
∴5a(3a+2)-(3a+2)(3a-2)=15a2+10a-9a2+4=6a2+10a+4=2(3a2+5a)+4=6,
故选A.
【点睛】本题考查了代数式求值,涉及到单项式乘多项式、平方差公式、合并同类项等,利用整体代入思想进行解题是关键.
7、A
【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M,过点F作FN⊥x轴于点N,设OA=a,BF=b,通过解直角三角形分别找出点A、F的坐标,结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a、b的值,通过分割图形求面积,最终找出△AOF的面积等于梯形AMNF的面积,利用梯形的面积公式即可得出结论.
解:过点A作AM⊥x轴于点M,过点F作FN⊥x轴于点N,如图所示.
设OA=a,BF=b,
在Rt△OAM中,∠AMO=90°,OA=a,sin∠AOB=,
∴AM=OA•sin∠AOB=a,OM==a,
∴点A的坐标为(a, a).
∵点A在反比例函数y=的图象上,
∴a×a=a2=12,
解得:a=5,或a=﹣5(舍去).
∴AM=8,OM=1.
∵四边形OACB是菱形,
∴OA=OB=10,BC∥OA,
∴∠FBN=∠AOB.
在Rt△BNF中,BF=b,sin∠FBN=,∠BNF=90°,
∴FN=BF•sin∠FBN=b,BN==b,
∴点F的坐标为(10+b,b).
∵点F在反比例函数y=的图象上,
∴(10+b)×b=12,
S△AOF=S△AOM+S梯形AMNF﹣S△OFN=S梯形AMNF=10
故选A.
“点睛”本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA.
8、A
【解析】
根据题意找到等量关系:①矩形面积+三角形面积﹣阴影面积=30;②(矩形面积﹣阴影面积)﹣(三角形面积﹣阴影面积)=4,据此列出方程组.
【详解】
依题意得:
.
故选A.
【点睛】
考查了由实际问题抽象出二元一次方程组.根据实际问题中的条件列方程组时,要注意抓住题目中的一些关键性词语,找出等量关系,列出方程组.
9、B
【解析】
根据整式的加减乘除乘方运算法则逐一运算即可。
【详解】
A. ,故A选项错误。
B. ,故B选项正确。
C.,故C选项错误。
D. ,故D选项错误。
故答案选B.
【点睛】
本题考查整式加减乘除运算法则,只需熟记法则与公式即可。
10、A
【解析】
解:设矩形的长和宽分别为a、b,则a+b=7,ab=12,所以矩形的对角线长====1.故选A.
二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
11、π
【解析】
取的中点,取的中点,连接,,,则,故的轨迹为以为圆心,为半径的半圆弧,根据弧长公式即可得轨迹长.
【详解】
解:如图,取的中点,取的中点,连接,,,
∵在等腰中,,点在以斜边为直径的半圆上,
∴,
∵为的中位线,
∴,
∴当点沿半圆从点运动至点时,点的轨迹为以为圆心,为半径的半圆弧,
∴弧长,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了点的轨迹与等腰三角形的性质.解决动点问题的关键是在运动中,把握不变的等量关系(或函数关系),通过固定的等量关系(或函数关系),解决动点的轨迹或坐标问题.
12、
【解析】
过点A作AD⊥l1于D,过点B作BE⊥l1于E,根据同角的余角相等求出∠CAD=∠BCE,然后利用“角角边”证明△ACD和△CBE全等,根据全等三角形对应边相等可得CD=BE,然后利用勾股定理列式求出AC,然后利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.
【详解】
如图,过点A作AD⊥l1于D,过点B作BE⊥l1于E,设l1,l2,l3间的距离为1,
∵∠CAD+∠ACD=90°,
∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
在等腰直角△ABC中,AC=BC,
在△ACD和△CBE中,
,
∴△ACD≌△CBE(AAS),
∴CD=BE=1,
∴AD=2,
∴AC=,
∴AB=AC=,
∴sinα=,
故答案为.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,锐角三角函数的定义,正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
13、
【解析】
根据题中的新定义化简所求方程,求出方程的解即可.
【详解】
根据题意得:x-×2=×1-,
x=,
解得:x=,
故答案为x=.
【点睛】
此题的关键是掌握新运算规则,转化成一元一元一次方程,再解这个一元一次方程即可.
14、4a(x﹣y)(x+y)
【解析】
首先提取公因式4a,再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】
4ax2-4ay2=4a(x2-y2)
=4a(x-y)(x+y).
故答案为4a(x-y)(x+y).
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式,正确运用公式是解题关键.
15、-2
【解析】
试题分析:根据题意可得2k+3>2,k<2,解得﹣<k<2.因k为整数,所以k=﹣2.
考点:一次函数图象与系数的关系.
16、108°
【解析】
如图,易得△OCD为等腰三角形,根据正五边形内角度数可求出∠OCD,然后求出顶角∠COD,再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
【详解】
∵五边形是正五边形,
∴每一个内角都是108°,
∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°,
∴∠COD=36°,
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为108°
【点睛】
本题考查正多边形的内角计算,分析出△OCD是等腰三角形,然后求出顶角是关键.
17、。
【解析】
求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据分式分母不为0的条件,要使在实数范围内有意义,必须。
三、解答题(共7小题,满分69分)
18、 (1)y=﹣3.4x+141.1;(1)当装运核桃的汽车为2辆、装运甘蓝的汽车为12辆、装运花椒的汽车为1辆时,总利润最大,最大利润为117.4万元.
【解析】
(1)根据题意可以得装运甘蓝的汽车为(1x+1)辆,装运花椒的汽车为30﹣x﹣(1x+1)=(12﹣3x)辆,从而可以得到y与x的函数关系式;
(1)根据装花椒的汽车不超过8辆,可以求得x的取值范围,从而可以得到y的最大值,从而可以得到总利润最大时,装运各种产品的车辆数.
【详解】
(1)若装运核桃的汽车为x辆,则装运甘蓝的汽车为(1x+1)辆,装运花椒的汽车为30﹣x﹣(1x+1)=(12﹣3x)辆,
根据题意得:y=10×0.7x+4×0.5(1x+1)+6×0.8(12﹣3x)=﹣3.4x+141.1.
(1)根据题意得:,
解得:7≤x≤,
∵x为整数,
∴7≤x≤2.
∵10.6>0,
∴y随x增大而减小,
∴当x=7时,y取最大值,最大值=﹣3.4×7+141.1=117.4,此时:1x+1=12,12﹣3x=1.
答:当装运核桃的汽车为2辆、装运甘蓝的汽车为12辆、装运花椒的汽车为1辆时,总利润最大,最大利润为117.4万元.
【点睛】
本题考查了一次函数的应用,解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.
19、(1)2;(2);(1)详见解析;(4)满足条件的x的值为.
【解析】
(1)根据勾股定理可以直接求出(2)先证明四边形PAMN是平行四边形,再根据三角函数值求解(1)分情况根据t的大小求出不同的函数关系式(4)不同条件下:当点G是AC中点时和当点D是AB中点时,根据相似三角形的性质求解.
【详解】
解:(1)在中,,
故答案为2.
(2)如图1中,
∴四边形PAMN是平行四边形,
当点在上时,,
.
(1)①当时,如图1,
.
②当时,如图2,
y
③当时,如图1,
(4)如图4中,当点是中点时,满足条件
.
如图2中,当点是中点时,满足条件.
.
综上所述,满足条件的x的值为或.
【点睛】
此题重点考查学生对一次函数的应用,勾股定理,平行四边形的判定,相似三角形的性质和三角函数值的综合应用能力,熟练掌握勾股定理和三角函数值的解法是解题的关键.
20、证明见解析.
【解析】
由圆内接四边形ABCD的两组对边延长线分别交于E、F,∠AEB、∠AFD的平分线交于P点,继而可得EM=EN,即可证得:PE⊥PF.
【详解】
∵四边形内接于圆,
∴,
∵平分,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∵平分,
∴.
【点睛】
此题考查了圆的内接多边形的性质以及圆周角定理.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
21、(1)详见解析;(2)tan∠ADP=.
【解析】
(1)根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论;
(2)作PH⊥AD于H,根据四边形ABEF是菱形,∠ABC=60°,AB=4,得到AB=AF=4,∠ABF=∠ADB=30°,AP⊥BF,从而得到PH=,DH=5,然后利用锐角三角函数的定义求解即可.
【详解】
(1)证明:∵AE垂直平分BF,
∴AB=AF,
∴∠BAE=∠FAE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC.
∴∠FAE=∠AEB,
∴∠AEB=∠BAE,
∴AB=BE,
∴AF=BE.
∵AF∥BC,
∴四边形ABEF是平行四边形.
∵AB=BE,
∴四边形ABEF是菱形;
(2)解:作PH⊥AD于H,
∵四边形ABEF是菱形,∠ABC=60°,AB=4,
∴AB=AF=4,∠ABF=∠AFB=30°,AP⊥BF,
∴AP=AB=2,
∴PH=,DH=5,
∴tan∠ADP==.
【点睛】
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质,解题的关键是牢记菱形的几个判定定理,难度不大.
22、 (1)C(2,2);(2)①反比例函数解析式为y=;②直线CD的解析式为y=﹣x+1;(1)m=1时,S△OEF最大,最大值为.
【解析】
(1)利用中点坐标公式即可得出结论;
(2)①先确定出点A坐标,进而得出点C坐标,将点C,D坐标代入反比例函数中即可得出结论;
②由n=1,求出点C,D坐标,利用待定系数法即可得出结论;
(1)设出点E坐标,进而表示出点F坐标,即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论.
【详解】
(1)∵点C是OA的中点,A(4,4),O(0,0),
∴C,
∴C(2,2);
故答案为(2,2);
(2)①∵AD=1,D(4,n),
∴A(4,n+1),
∵点C是OA的中点,
∴C(2,),
∵点C,D(4,n)在双曲线上,
∴,
∴,
∴反比例函数解析式为;
②由①知,n=1,
∴C(2,2),D(4,1),
设直线CD的解析式为y=ax+b,
∴,
∴,
∴直线CD的解析式为y=﹣x+1;
(1)如图,由(2)知,直线CD的解析式为y=﹣x+1,
设点E(m,﹣m+1),
由(2)知,C(2,2),D(4,1),
∴2<m<4,
∵EF∥y轴交双曲线于F,
∴F(m,),
∴EF=﹣m+1﹣,
∴S△OEF=(﹣m+1﹣)×m=(﹣m2+1m﹣4)=﹣(m﹣1)2+,
∵2<m<4,
∴m=1时,S△OEF最大,最大值为
【点睛】
此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,线段的中点坐标公式,解本题的关键是建立S△OEF与m的函数关系式.
23、(1)详见解析;(2);(3)4
(1) 连接OQ,由切线性质得∠APO=∠BQO=90°,由直角三角形判定HL得Rt△APO≌Rt△BQO,再由全等三角形性质即可得证.
(2)由(1)中全等三角形性质得∠AOP=∠BOQ,从而可得P、O、Q三点共线,在Rt△BOQ中,根据余弦定义可得cosB=, 由特殊角的三角函数值可得∠B=30°,∠BOQ=60° ,根据直角三角形的性质得 OQ=4, 结合题意可得 ∠QOD度数,由弧长公式即可求得答案.
(3)由直角三角形性质可得△APO的外心是OA的中点 ,结合题意可得OC取值范围.
【详解】
(1)证明:连接OQ.
∵AP、BQ是⊙O的切线,
∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,
∴∠APO=∠BQO=90∘,
在Rt△APO和Rt△BQO中,
,
∴Rt△APO≌Rt△BQO,
∴AP=BQ.
(2)∵Rt△APO≌Rt△BQO,
∴∠AOP=∠BOQ,
∴P、O、Q三点共线,
∵在Rt△BOQ中,cosB=,
∴∠B=30∘,∠BOQ= 60° ,
∴OQ=OB=4,
∵∠COD=90°,
∴∠QOD= 90°+ 60° = 150°,
∴优弧QD的长=,
(3)解:设点M为Rt△APO的外心,则M为OA的中点,
∵OA=1,
∴OM=4,
∴当△APO的外心在扇形COD的内部时,OM<OC,
∴OC的取值范围为4<OC<1.
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面积的计算、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质,解题的关键是:(1)利用全等三角形的判定定理HL证出Rt△APO≌Rt△BQO;(2)通过解直角三角形求出圆的半径;(3)牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键.
24、(1)直线的表达式为,双曲线的表达方式为;(2)点P的坐标为或
【解析】
分析:(1)将点B(-1,4)代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可;
(2)根据直线解析式求得点A坐标,由S△ACP=AC•|yP|=4求得点P的纵坐标,继而可得答案.
详解:(1)∵直线与双曲线 ()都经过点B(-1,4),
,
,
∴直线的表达式为,双曲线的表达方式为.
(2)由题意,得点C的坐标为C(-1,0),直线与x轴交于点A(3,0),
,
∵,
,
点P在双曲线上,
∴点P的坐标为或.
点睛:本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题,熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键.
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