福建省晋江市永春县2021-2022学年中考联考数学试卷含解析
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这是一份福建省晋江市永春县2021-2022学年中考联考数学试卷含解析,共23页。试卷主要包含了一元二次方程的根的情况是等内容,欢迎下载使用。
2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.若,则的值为( )
A.﹣6 B.6 C.18 D.30
2.如图,是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体,拿掉1个小立方体木块之后,这个几何体的主(正)视图没变,则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是( )
A. B. C. D.
3.下列各数中负数是( )
A.﹣(﹣2) B.﹣|﹣2| C.(﹣2)2 D.﹣(﹣2)3
4.若正比例函数y=3x的图象经过A(﹣2,y1),B(﹣1,y2)两点,则y1与y2的大小关系为( )
A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1≤y2 D.y1≥y2
5.如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E是BC边上靠近点B的三等分点,动点P从点A出发,沿路径A→D→C→E运动,则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是( )
A. B. C. D.
6.如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且BD=BA,则tan∠DAC的值为( )
A. B.2 C. D.3
7.一元二次方程的根的情况是
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断
8.如图,A、B为⊙O上两点,D为弧AB的中点,C在弧AD上,且∠ACB=120°,DE⊥BC于E,若AC=DE,则的值为( )
A.3 B. C. D.
9.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同,已知乙车每小时比甲车多行驶15千米,设甲车的速度为千米/小时,依据题意列方程正确的是( )
A. B. C. D.
10.数据3、6、7、1、7、2、9的中位数和众数分别是( )
A.1和7 B.1和9 C.6和7 D.6和9
11.方程的解为( )
A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.x=3
12.我国古代数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形,且侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示(网格图中每个小正方形的边长均为1),则该“堑堵”的侧面积为( )
A.16+16 B.16+8 C.24+16 D.4+4
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13.当﹣4≤x≤2时,函数y=﹣(x+3)2+2的取值范围为_____________.
14.已知是锐角,那么cos=_________.
15.已知抛物线y=x2上一点A,以A为顶点作抛物线C:y=x2+bx+c,点B(2,yB)为抛物线C上一点,当点A在抛物线y=x2上任意移动时,则yB的取值范围是_________.
16.若关于的不等式组无解, 则的取值范围是 ________.
17.如图,将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置,继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置,以此类推,这样连续旋转2017次.若AB=4,AD=3,则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为_____.
18.如果把抛物线y=2x2﹣1向左平移1个单位,同时向上平移4个单位,那么得到的新的抛物线是_____.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19.(6分)观察下列等式:
第1个等式:a1=-1,
第2个等式:a2=,
第3个等式:a3==2-,
第4个等式:a4=-2,
…
按上述规律,回答以下问题:请写出第n个等式:an=__________.a1+a2+a3+…+an=_________.
20.(6分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴交于点A,与双曲线的一个交点为B(-1,4).求直线与双曲线的表达式;过点B作BC⊥x轴于点C,若点P在双曲线上,且△PAC的面积为4,求点P的坐标.
21.(6分)如图,已知点D在△ABC的外部,AD∥BC,点E在边AB上,AB•AD=BC•AE.求证:∠BAC=∠AED;在边AC取一点F,如果∠AFE=∠D,求证:.
22.(8分)已知:如图,在矩形纸片ABCD中,,,翻折矩形纸片,使点A落在对角线DB上的点F处,折痕为DE,打开矩形纸片,并连接EF.
的长为多少;
求AE的长;
在BE上是否存在点P,使得的值最小?若存在,请你画出点P的位置,并求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
23.(8分)今年以来,我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点.为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度,某校在学生中做了一次抽样调查,调查结果共分为四个等级:A.非常了解;B.比较了解;C.基本了解;D.不了解.根据调查统计结果,绘制了不完整的三种统计图表.
对雾霾了解程度的统计表:
对雾霾的了解程度
百分比
A.非常了解
5%
B.比较了解
m
C.基本了解
45%
D.不了解
n
请结合统计图表,回答下列问题.
(1)本次参与调查的学生共有 人,m= ,n= ;
(2)图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是 度;
(3)请补全条形统计图;
(4)根据调查结果,学校准备开展关于雾霾知识竞赛,某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加,现设计了如下游戏来确定,具体规则是:把四个完全相同的乒乓球标上数字1,2,3,4,然后放到一个不透明的袋中,一个人先从袋中随机摸出一个球,另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球.若摸出的两个球上的数字和为奇数,则小明去;否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.
24.(10分)如图,已知直线AB与轴交于点C,与双曲线交于A(3,)、B(-5,)两点.AD⊥轴于点D,BE∥轴且与轴交于点E.求点B的坐标及直线AB的解析式;判断四边形CBED的形状,并说明理由.
25.(10分)如图,点在的直径的延长线上,点在上,且AC=CD,∠ACD=120°.求证:是的切线;若的半径为2,求图中阴影部分的面积.
26.(12分)计算:
(1)﹣12018+|﹣2|+2cos30°;
(2)(a+1)2+(1﹣a)(a+1);
27.(12分)2013年6月,某中学结合广西中小学阅读素养评估活动,以“我最喜爱的书籍”为主题,对学生最喜爱的一种书籍类型进行随机抽样调查,收集整理数据后,绘制出以下两幅未完成的统计图,请根据图1和图2提供的信息,解答下列问题:在这次抽样调查中,一共调查了多少名学生?请把折线统计图(图1)补充完整;
求出扇形统计图(图2)中,体育部分所对应的圆心角的度数;
如果这所中学共有学生1800名,那么请你估计最喜爱科普类书籍的学生人数.
参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1、B
【解析】
试题分析:∵,即,∴原式==
===﹣12+18=1.故选B.
考点:整式的混合运算—化简求值;整体思想;条件求值.
2、B
【解析】
俯视图是从上面看几何体得到的图形,据此进行判断即可.
【详解】
由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体,拿掉1个小立方体木块之后,这个几何体的主(正)视图没变,得
拿掉第一排的小正方形,
拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是,
故选B.
【点睛】
本题主要考查了简单几何体的三视图,解题时注意:俯视图就是从几何体上面看到的图形.
3、B
【解析】
首先利用相反数,绝对值的意义,乘方计算方法计算化简,进一步利用负数的意义判定即可.
【详解】
A、-(-2)=2,是正数;
B、-|-2|=-2,是负数;
C、(-2)2=4,是正数;
D、-(-2)3=8,是正数.
故选B.
【点睛】
此题考查负数的意义,利用相反数,绝对值的意义,乘方计算方法计算化简是解决问题的关键.
4、A
【解析】
分别把点A(−1,y1),点B(−1,y1)代入函数y=3x,求出点y1,y1的值,并比较出其大小即可.
【详解】
解:∵点A(−1,y1),点B(−1,y1)是函数y=3x图象上的点,
∴y1=−6,y1=−3,
∵−3>−6,
∴y1<y1.
故选A.
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点,即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式.
5、B
【解析】
由题意可知,
当时,;
当时,
;
当时,.∵时,;时,.∴结合函数解析式,
可知选项B正确.
【点睛】
考点:1.动点问题的函数图象;2.三角形的面积.
6、A
【解析】
设AC=a,由特殊角的三角函数值分别表示出BC、AB的长度,进而得出BD、CD的长度,由公式求出tan∠DAC的值即可.
【详解】
设AC=a,则BC==a,AB==2a,
∴BD=BA=2a,
∴CD=(2+)a,
∴tan∠DAC=2+.
故选A.
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值.
7、A
【解析】
把a=1,b=-1,c=-1,代入,然后计算,最后根据计算结果判断方程根的情况.
【详解】
方程有两个不相等的实数根.
故选A.
【点睛】
本题考查根的判别式,把a=1,b=-1,c=-1,代入计算是解题的突破口.
8、C
【解析】
连接 D为弧AB的中点,根据弧,弦的关系可知,AD=BD,根据圆周角定理可得:在BC上截取,连接DF,则≌,根据全等三角形的性质可得: 即 根据等腰三角形的性质可得: 设 则
即可求出的值.
【详解】
如图:
连接
D为弧AB的中点,根据弧,弦的关系可知,AD=BD,
根据圆周角定理可得:
在BC上截取,连接DF,
则≌,
即
根据等腰三角形的性质可得:
设 则
故选C.
【点睛】
考查弧,弦之间的关系,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数等,综合性比较强,关键是构造全等三角形.
9、C
【解析】
由实际问题抽象出方程(行程问题).
【分析】∵甲车的速度为千米/小时,则乙甲车的速度为千米/小时
∴甲车行驶30千米的时间为,乙车行驶40千米的时间为,
∴根据甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同得.故选C.
10、C
【解析】
如果一组数据有奇数个,那么把这组数据从小到大排列后,排在中间位置的数是这组数据的中位数;如果一组数据有偶数个,那么把这组数据从小到大排列后,排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数. 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.
【详解】
解:∵7出现了2次,出现的次数最多,
∴众数是7;
∵从小到大排列后是:1,2,3,6,7,7,9,排在中间的数是6,
∴中位数是6
故选C.
【点睛】
本题考查了中位数和众数的求法,解答本题的关键是熟练掌握中位数和众数的定义.
11、B
【解析】
观察可得最简公分母是(x-3)(x+1),方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解.
【详解】
方程的两边同乘(x−3)(x+1),得
(x−2) (x+1)=x(x−3),
,
解得x=1.
检验:把x=1代入(x−3)(x+1)=-4≠0.
∴原方程的解为:x=1.
故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是解分式方程,解题关键是注意解得的解要进行检验.
12、A
【解析】
分析出此三棱柱的立体图像即可得出答案.
【详解】
由三视图可知主视图为一个侧面,另外两个侧面全等,是长×高=×4=,所以侧面积之和为×2+4×4= 16+16,所以答案选择A项.
【点睛】
本题考查了由三视图求侧面积,画出该图的立体图形是解决本题的关键.
二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)
13、-23≤y≤2
【解析】
先根据a=-1判断出抛物线的开口向下,故有最大值,可知对称轴x=-3,再根据-4≤x≤2,可知当x=-3时y最大,把x=2时y最小代入即可得出结论.
【详解】
解:∵a=-1,
∴抛物线的开口向下,故有最大值,
∵对称轴x=-3,
∴当x=-3时y最大为2,
当x=2时y最小为-23,
∴函数y的取值范围为-23≤y≤2,
故答案为:-23≤y≤2.
【点睛】
本题考查二次函数的性质,掌握抛物线的开口方向、对称轴以及增减性是解题关键.
14、
【解析】
根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长,再根据勾股定理求出另一直角边的长,由三角函数的定义直接解答即可.
【详解】
由sinα==知,如果设a=x,则c=2x,结合a2+b2=c2得b=x.
∴cos==.
故答案为.
【点睛】
本题考查的知识点是同角三角函数的关系,解题的关键是熟练的掌握同角三角函数的关系.
15、ya≥1
【解析】
设点A的坐标为(m,n),由题意可知n=m1,从而可知抛物线C为y=(x-m)1+n,化简为y=x1-1mx+1m1,将x=1代入y=x1-1mx+1m1,利用二次函数的性质即可求出答案.
【详解】
设点A的坐标为(m,n),m为全体实数,
由于点A在抛物线y=x1上,
∴n=m1,
由于以A为顶点的抛物线C为y=x1+bx+c,
∴抛物线C为y=(x-m)1+n
化简为:y=x1-1mx+m1+n=x1-1mx+1m1,
∴令x=1,
∴ya=4-4m+1m1=1(m-1)1+1≥1,
∴ya≥1,
故答案为ya≥1
【点睛】
本题考查了二次函数的性质,解题的关键是根据题意求出ya=4-4m+1m1=1(m-1)1+1.
16、
【解析】
首先解每个不等式,然后根据不等式无解,即两个不等式的解集没有公共解即可求得.
【详解】
,
解①得:x>a+3,
解②得:x<1.
根据题意得:a+3≥1,
解得:a≥-2.
故答案是:a≥-2.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解,解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的步骤..
17、
【解析】
分析:首先求得每一次转动的路线的长,发现每4次循环,找到规律然后计算即可.
详解:∵AB=4,BC=3,
∴AC=BD=5,
转动一次A的路线长是:
转动第二次的路线长是:
转动第三次的路线长是:
转动第四次的路线长是:0,
以此类推,每四次循环,
故顶点A转动四次经过的路线长为:
∵2017÷4=504…1,
∴顶点A转动四次经过的路线长为:
故答案为
点睛:考查旋转的性质和弧长公式,熟记弧长公式是解题的关键.
18、y=2(x+1)2+1.
【解析】
原抛物线的顶点为(0,-1),向左平移1个单位,同时向上平移4个单位,那么新抛物线的顶点为(-1,1);
可设新抛物线的解析式为y=2(x-h)2+k,代入得:y=2(x+1)2+1.
三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
19、(1)=; (2).
【解析】
(1)根据题意可知,,,,
,…由此得出第n个等式:an=;
(2)将每一个等式化简即可求得答案.
【详解】
解:(1)∵第1个等式:,
第2个等式:,
第3个等式:,
第4个等式:,
∴第n个等式:an=;
(2)a1+a2+a3+…+an
=(
=.
故答案为;.
【点睛】
此题考查数字的变化规律以及分母有理化,要求学生首先分析题意,找到规律,并进行推导得出答案.
20、(1)直线的表达式为,双曲线的表达方式为;(2)点P的坐标为或
【解析】
分析:(1)将点B(-1,4)代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可;
(2)根据直线解析式求得点A坐标,由S△ACP=AC•|yP|=4求得点P的纵坐标,继而可得答案.
详解:(1)∵直线与双曲线 ()都经过点B(-1,4),
,
,
∴直线的表达式为,双曲线的表达方式为.
(2)由题意,得点C的坐标为C(-1,0),直线与x轴交于点A(3,0),
,
∵,
,
点P在双曲线上,
∴点P的坐标为或.
点睛:本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题,熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键.
21、见解析
【解析】
(1)欲证明∠BAC=∠AED,只要证明△CBA∽△DAE即可;
(2)由△DAE∽△CBA,可得,再证明四边形ADEF是平行四边形,推出DE=AF,即可解决问题;
【详解】
证明(1)∵AD∥BC,
∴∠B=∠DAE,
∵AB·AD=BC·AE,
∴,
∴△CBA∽△DAE,
∴∠BAC=∠AED.
(2)由(1)得△DAE∽△CBA
∴∠D=∠C,,
∵∠AFE=∠D,
∴∠AFE=∠C,
∴EF∥BC,
∵AD∥BC,
∴EF∥AD,
∵∠BAC=∠AED,
∴DE∥AC,
∴四边形ADEF是平行四边形,
∴DE=AF,
∴.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
22、(1);(2)的长为;(1)存在,画出点P的位置如图1见解析,的最小值为 .
【解析】
(1)根据勾股定理解答即可;
(2)设AE=x,根据全等三角形的性质和勾股定理解答即可;
(1)延长CB到点G,使BG=BC,连接FG,交BE于点P,连接PC,利用相似三角形的判定和性质解答即可.
【详解】
(1)∵矩形ABCD,∴∠DAB=90°,AD=BC=1.在Rt△ADB中,DB.
故答案为5;
(2)设AE=x.
∵AB=4,∴BE=4﹣x,在矩形ABCD中,根据折叠的性质知:
Rt△FDE≌Rt△ADE,∴FE=AE=x,FD=AD=BC=1,∴BF=BD﹣FD=5﹣1=2.在Rt△BEF中,根据勾股定理,得FE2+BF2=BE2,即x2+4=(4﹣x)2,解得:x,∴AE的长为;
(1)存在,如图1,延长CB到点G,使BG=BC,连接FG,交BE于点P,连接PC,则点P即为所求,此时有:PC=PG,∴PF+PC=GF.
过点F作FH⊥BC,交BC于点H,则有FH∥DC,∴△BFH∽△BDC,∴,即,∴,∴GH=BG+BH.在Rt△GFH中,根据勾股定理,得:GF,即PF+PC的最小值为.
【点睛】
本题考查了四边形的综合题,涉及了折叠的性质、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质等知识,知识点较多,难度较大,解答本题的关键是掌握设未知数列方程的思想.
23、解:(1)400;15%;35%.
(2)1.
(3)∵D等级的人数为:400×35%=140,
∴补全条形统计图如图所示:
(4)列树状图得:
∵从树状图可以看出所有可能的结果有12种,数字之和为奇数的有8种,
∴小明参加的概率为:P(数字之和为奇数);
小刚参加的概率为:P(数字之和为偶数).
∵P(数字之和为奇数)≠P(数字之和为偶数),
∴游戏规则不公平.
【解析】
(1)根据“基本了解”的人数以及所占比例,可求得总人数:180÷45%=400人.在根据频数、百分比之间的关系,可得m,n的值:.
(2)根据在扇形统计图中,每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D部分扇形所对应的圆心角:360°×35%=1°.
(3)根据D等级的人数为:400×35%=140,据此补全条形统计图.
(4)用树状图或列表列举出所有可能,分别求出小明和小刚参加的概率,若概率相等,游戏规则公平;反之概率不相等,游戏规则不公平.
24、(1)点B的坐标是(-5,-4);直线AB的解析式为:
(2)四边形CBED是菱形.理由见解析
【解析】
(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征,将点A代入双曲线方程求得k值,即利用待定系数法求得双曲线方程;然后将B点代入其中,从而求得a值;设直线AB的解析式为y=mx+n,将A、B两点的坐标代入,利用待定系数法解答;
(2)由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得,CD=5,BE=5,且BE∥CD,从而可以证明四边形CBED是平行四边形;然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5,所以ED=CD,从而证明四边形CBED是菱形.
【详解】
解:(1)∵双曲线过A(3,),∴.把B(-5,)代入,
得. ∴点B的坐标是(-5,-4)
设直线AB的解析式为,
将 A(3,)、B(-5,-4)代入得,
, 解得:.
∴直线AB的解析式为:
(2)四边形CBED是菱形.理由如下:
点D的坐标是(3,0),点C的坐标是(-2,0).
∵ BE∥轴, ∴点E的坐标是(0,-4).
而CD =5, BE=5,且BE∥CD.
∴四边形CBED是平行四边形
在Rt△OED中,ED2=OE2+OD2,∴ ED==5,∴ED=CD.
∴□CBED是菱形
25、(1)见解析
(2)图中阴影部分的面积为π.
【解析】
(1)连接OC.只需证明∠OCD=90°.根据等腰三角形的性质即可证明;
(2)先根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半求出OD,然后根据勾股定理求出CD,则阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积.
【详解】
(1)证明:连接OC.
∵AC=CD,∠ACD=120°,
∴∠A=∠D=30°.
∵OA=OC,
∴∠2=∠A=30°.
∴∠OCD=∠ACD-∠2=90°,
即OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)解:∠1=∠2+∠A=60°.
∴S扇形BOC==.
在Rt△OCD中,∠D=30°,
∴OD=2OC=4,
∴CD==.
∴SRt△OCD=OC×CD=×2×=.
∴图中阴影部分的面积为:-.
26、 (1)1;(2)2a+2
【解析】
(1)根据特殊角锐角三角函数值、绝对值的性质即可求出答案;
(2)先化简原式,然后将x的值代入原式即可求出答案.
【详解】
解:(1)原式=﹣1+2﹣+2×=1;
(2)原式=a2+2a+1+1﹣a2=2a+2.
【点睛】
本题考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
27、(1)一共调查了300名学生.
(2)
(3)体育部分所对应的圆心角的度数为48°.
(4)1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1.
【解析】
(1)用文学的人数除以所占的百分比计算即可得解.
(2)根据所占的百分比求出艺术和其它的人数,然后补全折线图即可.
(3)用体育所占的百分比乘以360°,计算即可得解.
(4)用总人数乘以科普所占的百分比,计算即可得解.
【详解】
解:(1)∵90÷30%=300(名),
∴一共调查了300名学生.
(2)艺术的人数:300×20%=60名,其它的人数:300×10%=30名.
补全折线图如下:
(3)体育部分所对应的圆心角的度数为:×360°=48°.
(4)∵1800×=1(名),
∴1800名学生中估计最喜爱科普类书籍的学生人数为1.
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