2021-2022学年福建省福州十六中八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年福建省福州十六中八年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州十六中八年级（下）期末数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）方程的解是(    )A.  B. ，
C.  D. ，一组数据，，，，的众数是(    )A.  B.  C.  D. 如图，已知矩形的对角线相交于点，若，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 一次函数的图象经过原点，则(    )A. ， B. ， C. ， D. ，抛物线的对称轴是(    )A.  B.  C.  D. 一次函数的图象经过点，，则以下判断正确的是(    )A.  B.  C.  D. 无法确定在菱形中，对角线，，则菱形的面积是(    )A.  B.  C.  D. 一份摄影作品【七寸照片长英寸，宽英寸】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的倍．设照片四周外露衬纸的宽度为英寸如图，下面所列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 某班有人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差后来小亮进行了补测，成绩为分，关于该班人的测试成绩，下列说法正确的是(    )A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值．下列各选项中，正确的是(    )A. 函数的图象开口向上
B. 函数的图象与轴无交点
C. 函数的最大值大于
D. 当时，对应函数的取值范围是第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，共24分）一组数据，，，的中位数是______．如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和分别取，的中点，，测得，两点间的距离为，则，两点间的距离为______
 有个数的平均数是，还有个数的平均数是，则这个数的平均数是______．如图，在▱中，，，则的度数是______．
 平面直角坐标系中，原点到直线的距离的最大值是______．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______写出所有正确结论的序号． 三、解答题（本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
解下列一元二次方程：
；
．本小题分
如图，点，在▱的对角线上，且求证：．
本小题分
已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．本小题分
将抛物线向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为，交轴于，两点，求证：是等腰直角三角形．本小题分
已知：如图，为锐角三角形，．
求作：菱形．
作法：如图．
以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；
分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线与交于点；
以点为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点，点和点分别位于的两侧，连接，；
则四边形就是所求作的菱形．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
完成下面的证明．
证明：由作法可知，平分．
，
______．
，
四边形是平行四边形______填推理的依据．
，
四边形是菱形______填推理的依据．
本小题分
直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限内作正方形，
求顶点、的坐标；
点在轴上，且的面积是正方形面积的一半，求点坐标．本小题分
某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量件是出价元件的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润元的三组对应值如表：售价元件周销售量件周销售利润元注：周销售利润周销售量售价进价
求关于的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
当售价是多少元件时，周销售利润最大，此时最大利润是多少元．本小题分
规定：若抛物线与抛物线同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．

已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；
如图，将一副边长为的正方形七巧板拼成图的“奖杯”形式，若以中点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，设经过点，，的抛物线为，经过、、的抛物线为，请求出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．本小题分
在▱中，，已知，将沿翻折至，连接交边于点．
如图，若，求的度数；
若，
当的长为多少时，四边形是矩形．
设，，求与的关系式，并写出自变量的取值范围．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
所以，
所以，．
故选：．
先移项得到，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
 2.【答案】 【解析】解：这组数据中数字出现次数最多，有次，
所以这组数据的众数为．
故选：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 3.【答案】 【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
故选：．
由矩形的性质可得，，即可求解．
本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：一次函数的图象经过原点，
，．
故选：．
利用一次函数的定义及一次函数图象上点的坐标特征，可得出，．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义，利用一次函数的定义，找出是解题的关键．
 5.【答案】 【解析】解：抛物线的对称轴是直线，
故选：．
由的对称轴是直线可得答案．
本题考查将二次函数的性质，解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线．
 6.【答案】 【解析】解：一次函数，
随的增大而增大，
、是一次函数图象上的两个点，，
．
故选：．
根据题目中的函数解析式，可以得到函数图象的变化趋势，从而可以解答本题．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答．
 7.【答案】 【解析】解：菱形的对角线，，
菱形的面积．
故选：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：设照片四周外露衬纸的宽度为英寸，根据题意得：，
故选：．
根据关键语句“矩形衬纸的面积为照片面积的倍”列出方程求解即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出大矩形的长与宽．
 9.【答案】 【解析】解：小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分，
该班人的测试成绩的平均分为分，方差变小，
故选：．
根据平均数，方差的定义计算即可．
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 10.【答案】 【解析】解：设二次函数的解析式为，
由题意知，
解得，
二次函数的解析式为，
A.函数的图象开口向下，故本选项不合题意；
B.函数的与轴的交点为和，故本选项不合题意；
C.当时，函数有最大值为，故本选项不合题意；
D.当时，对应函数的取值范围是，故D选项符合题意．
故选：．
由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．
 11.【答案】 【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，
则中位数为：．
故答案为：．
根据中位数的概念求解即可．
本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 12.【答案】 【解析】解：点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：这个数的平均数是


．
故答案为：．
首先根据平均数的求法，用个数的平均数乘，求出个数的和是多少；然后用个数的平均数乘，求出个数的和是多少；最后用个数的和加上个数的和，求出这个数的和是多少，再用它除以，求出这个数的平均数是多少即可．
此题主要考查了平均数的含义和加权平均数的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是求出这个数的和是多少．
 14.【答案】 【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：．
由等腰三角形的性质可求，由平行四边形的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：，
直线必过点．
连接，过点作轴于点，则，，
．
当直线与垂直时，原点到直线的距离最大，最大为线段的长度，即最大值是．
故答案为：．
由，可得出直线必过点，连接，过点作轴于点，利用勾股定理可求出的长，再利用“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，即可求出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及点到直线的距离，利用“点到直线的所有线段中，垂线段最短”，找出原点到直线的距离的最大值为线段的长度是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：一元三次方程三个非零实数根分别，，，
．
．
，
即：．
，，．
，，，
，正确，错误．
，
的结论错误，
综上正确的结论有：，
故答案为：．
利用题干中的方法将方程变形，再利用对应项的系数相等得出等式，将所得等式适当变形后对对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了高次方程的解，根与系数的关系，数学常识，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法解答是解题的关键．
 17.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，． 【解析】利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，证明≌是本题的关键．
 19.【答案】解：根据题意得且，
解得且．
所以的取值范围为：且． 【解析】根据根与判别式的关系得到关于的不等式，解不等式即可得解．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 20.【答案】证明：将抛物线向下平移个单位，得到新的抛物线为，
则顶点的坐标为，
令，
解得，，
即点，点，
在中，，，根据勾股定理得：
，
同理得，
所以，
又，
即，
所以为等腰直角三角形． 【解析】将抛物线向下平移个单位，得到新的抛物线为，可求出、、三点的坐标，进而可以证明出是等腰直角三角形．
本题考查了二次函数的性质，勾股定理的应用和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握相关知识点．
 21.【答案】  对角线互相平分的四边形是平行四边形  邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】解：如图，四边形即为所求．

证明：由作法可知，平分．
，
，．
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形填推理的依据．
，
四边形是菱形邻边相等的平行四边形是菱形．
故答案为：，对角线互相平分的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是菱形．
根据要求作出图形即可．
根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图复杂作图，角平分线的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
 22.【答案】解：令，解得：，
令，，
如图，作轴与点，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
点的坐标为，
同理得点的坐标为；
分两种情况：当点与点重合时，
四边形是正方形，
，
当点与点重合时，
点坐标为；
如图，当点在点处时，，
点，点，
，
，
，，
，
解得：，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或． 【解析】先求出点，点的坐标，然后通过证得≌，推出，，由此可得点坐标，同理求出点坐标．
分两种情况：根据正方形的性质可得当点与点重合时，画出图形，求出点，点的坐标，根据，即可求解．
本题是综合题、考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
 23.【答案】解：设一次函数解析式为，
根据题意，得，
解得，
所以与的函数表达式为；
设周销售利润为元，
进价为元，

，
，
当时，最大，最大值为，
当售价是元件时，周销售利润最大，最大利润是元． 【解析】根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；
根据销售问题的关系式列出二次函数即可求解．
本题考查了一次函数和二次函数的应用，解决本题的关键是掌握函数相关问题．
 24.【答案】解：，
，，，
抛物线，与是一对共轭抛物线，
且，
即且，
，，，
的解析式为：；
由题意和勾股定理及中点定义得：，，，，，
又经过点，，的抛物线为，经过、、的抛物线为，
将，，和、、的坐标分别代入和得方程组为：
和，
解得：和，
，，
，，
满足且，
、的解析式是一对共轭抛物线． 【解析】将化为顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；
根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．
本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．
 25.【答案】解：沿翻折至，
≌，，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；

如图：

四边形是矩形，
，
将沿翻折至，
，，，
在中，
，即，
；
答：当的长为时，四边形是矩形；

如图，过点作于点．

四边形是平行四边形，
，
，
由翻折的性质可知，，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
 【解析】由题意及平行四边形的性质可得：；
由四边形是矩形可得或，再根据直角三角形的性质和勾股定理可以得到的值；
如图，过点作于点利用勾股定理求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．