甘肃省白银市2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（Word版含答案）

白银市高一期末联考

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z满足z＋4i＝6＋3i，则z在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．某工厂生产甲、乙两种不同型号的产品，产量分别为2000件，3000件．为检验产品的质量，现用等比例分层抽样的方法从以上所有产品中抽取100件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取的产品数量为（    ）

A．20 B．30 C．40 D．60

4．（    ）

A． B． C． D．

5．已知单位向量，满足，则（    ）

A． B． C． D．

6．一艘船航行到点A处时，测得灯塔C在其北偏东75°方向，如图所示．随后该船以15海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东30°方向，此时船与灯塔C间的距离为（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．30海里

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则在上的值域为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．已知复数，则（    ）

A．z的实部是4  B．z的虚部是2i

C．z的共轭复数是4－2i  D．

10．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，单调递减，则（    ）

A．  B．当时，单调递减

C．当时，  D．，

11．如图，一个质地均匀的正八面体的八个面分别标以数字1到8．任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为．事件A表示“数字为质数”，事件B表示“数字为偶数”，事件C表示“数字大于4”，事件D表示“数字为3，4，5，6中的1个”，则（    ）

A．A与B相互独立 B．B与C相互独立 C．C与D相互独立 D．A与D相互独立

12．坛子是我们日常生活中耳熟能详的生活用品，一般指用陶土做胚子烧成的用来腌制菜品或盛放物品的器物．如图，某坛子的主体部分（坛身）可以看作是由上、下两个同底的圆台烧制而成的，其中BE＝2AF＝2CD＝2dm，BC＝2AB，且该坛子的容积为升，则（    ）

注：若圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，母线为l，则圆台的体积，侧面积．

A．下圆台的体积为升

B．下圆台的表面积（含上下圆台同底的部分）为

C．直线EF与圆台底面所在平面所成的角为60°

D．若在该坛子内封装一个圆柱，则圆柱的侧面积最大为（不考虑能否放入和容器厚度）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则______．

14．袋中有除颜色外完全相同的球共4个，其中红球3个，黄球1个，从袋中任意取出2个球，则取出的2个球都是红球的概率为______．

15．在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为______．

16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知HE＝2EB，M为线段AB的中点，设P为中间小正方形EFGH内一点（不含边界）．若，则的取值范围为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知向量，．

（1）若，求；

（2）若，向量，求与夹角的余弦值．

18．（12分）

（1）已知钝角满足，求；

（2）求值：．

19．（12分）

某社区80名居民参加消防安全知识竞赛，竞赛后对其成绩（满分100分）进行统计，将数据按，，，分为4组，其频率分布直方图如图所示．

（1）求直方图中a的值；

（2）试估计这80名居民竞赛成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

（3）该社区准备对本次安全知识竞赛成绩较差的20%的居民开展消防安全知识讲座，则需要参加讲座的居民分数不超过多少？

20．（12分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

（1）求A；

（2）若a＝4，求△ABC面积的最大值．

21．（12分）

为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试．测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格．甲、乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为，；在第二轮测试中，甲、乙测试成绩合格的概率分别为，．甲、乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响．

（1）甲、乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？

（2）求甲、乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率．

22．（12分）

在等腰梯形BCEF（图1）中，，EF＝3BC，∠E＝∠F＝45°，A，D是底边EF上的两个点，且BA⊥EF，CD⊥EF．将△FAB和△EDC分别沿AB，DC折起，使点E，F重合于点P，得到四棱锥P－ABCD（图2）．已知M，N，H分别是PD，PA，BC的中点．

（1）证明：平面PAB．

（2）证明：AM⊥平面PCD．

（3）求二面角A－PC－D的正切值．

白银市高一期末联考

数学参考答案

1．D  z＝6－i．

2．A  因为，，所以．

3．C  从甲种型号的产品中抽取的产品数量为．

4．D  ．

5．B  因为，所以．

6．B  由题意可知，∠C＝45°，∠A＝60°，AB＝30海里，由正弦定理可得，解得海里．

7．C  因为在上单调递增，所以，又因为，所以．

8．A  由图可得A＝2，k＝1，，则．因为，所以．

由，可得，，即，．

因为，所以，故，．

因为，所以，故．

9．ACD  ，z的实部是4，虚部是2．

z的共轭复数为．．

10．ABD ，A正确．当时，单调递减，，B正确，C错误．当时，，，，D正确．

11．BCD  因为，，．，，所以，，．故B与C相互独立，C与D相互独立，A与D相互独立．

12．AD  因为该坛子的容积，所以AB＝1.5dm，BC＝3dm．故下圆台的体积为，即升，A正确．

，故下圆台的表面积为，B错误．

由图易知，直线EF与圆台底面所在平面所成的角为∠FEB，则，C错误．

设该圆柱的底面半径为r，则圆柱高，所以圆柱侧面积，D正确．

13．  ．

14．  设3个红球的编号分别为1，2，3，黄球的编号为4．

从袋中的4个小球中任取2个球的样本空间，样本点为6个．所取的2个球都是红球的样本点有3个，分别为，，．故所求概率为．

15．  如图，在正方体中，，则异面直线EF与所成的角为∠EFG或其补角．设正方体的棱长为2，

则，，，．

16．  过点A作，分别交EH，EF于点N，K，过点N作，交ME的延长线于点Q，过点K作，交ME的延长线于点L，如图，由可知，点P在线段NK上运动（不含端点）．当点P与点N重合时，，可知．当点P与点K重合时，，可知．故的取值范围为．

17．解：（1）因为，所以，

即，解得，

所以，故．

（2）因为，所以，解得，则．

因为，，，

所以，即与夹角的余弦值为．

18．解：（1）因为

，

所以钝角．

（2）原式．

19．解：（1）依题意，得，解得a＝0.04．

（2）估计这80名居民竞赛成绩的平均分．

（3）由频率分布直方图可得，第一组的频率为0.01×10＝0.1，

前两组的频率之和为．

设需要参加讲座的居民分数不超过x，则，

则，解得x＝75．

故需要参加讲座的居民分数不超过75．

20．解：（1）因为，所以，

则，

即．

因为，所以，即．

（2）由余弦定理得，即，

所以，当且仅当b＝c＝4时，等号成立．

，故△ABC面积的最大值为．

21．解：（1）设“甲在第一轮测试中的成绩合格”，“甲在第二轮测试中的成绩合格”，

“乙在第一轮测试中的成绩合格”，“乙在第二轮测试中的成绩合格”，

则“甲同学在本次测试中成绩合格”，

“乙同学在本次测试中成绩合格”，．

因为，所以甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大．

（2）设C＝“甲在本次测试中成绩合格”，D＝“乙在本次测试中成绩合格”，

则，

．

“甲、乙两人中至少有一人在本次测试中合格”，

．

22．（1）证明：由题意可得，在等腰梯形BCEF中，BC＝AD＝FA＝ED．

在△FAB中，因为BA⊥FA，∠F＝45°，所以AF＝AB＝BC，四边形ABCD为正方形．

在四棱锥P－ABCD中，连接MN，因为M，N分别是PD，PA的中点，所以，且．

在正方形ABCD中，因为H是BC的中点，所以，且，

所以，且MN＝BH，四边形MNBH是平行四边形，．

因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．

（2）证明：由（1）知，在△PAD中，AD＝AP，因为M为PD的中点，所以AM⊥PD．

在等腰梯形BCEF中，CD⊥EF，所以在四棱锥P－ABCD中，CD⊥DA，CD⊥DP．

因为，DA，平面PAD，所以CD⊥平面PAD．

因为平面PAD，所以CD⊥AM．

又因为，所以AM⊥平面PCD．

（3）解：在△PCD中，过点M作MT⊥PC，垂足为T，连接AT．

由（2）知AM⊥平面PCD，所以AM⊥PC．

因为．所以PC⊥平面AMT，PC⊥AT．

故∠ATM是二面角A－PC－D的平面角．

由（1）知，在四棱锥P－ABCD中，AD＝PA＝PD＝CD．

设AD＝2a，则．

在Rt△PTM中，∠TPM＝45°，所以．

在Rt△ATM中，，

故二面角A－PC－D的正切值为．