山东省聊城市第二中学2022-2023学年高二上学期开学考试数学试题（Word版含答案）

高二上学期第一次考试数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分．

1．设p：是三个非零向量；q：为空间的一个基底，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件    C．充要条件    D．既不充分又不必要条件

2．若三点共线，则的值为（    ）

A．0    B．    C．1    D．

3．己知平面内的两个向量，则该平面的一个法向量为（    ）

A．    B．    C．    D．

4．己知为单位向量，且，若，则实数k的值为（    ）

A．    B．6    C．3    D．

5．在正方体中，下列选项中化简后为零向量的是（    ）

A．    B．    C．    D．

6．如图，在三棱柱中，M为的中点，若，则下列向量与相等的是（    ）

A．    B．    C．    D．

7．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．如图所示，在正方体中，O是底面正方形的中心，M是的中点，N是的中点，则直线与的位置关系是（    ）

A．平行    B．垂直    C．相交但不垂直    D．无法判断

二、多选题：本题共4小题，每小题5分．部分选对得2分．

9．下列说法中，正确的是（    ）

A．模为0是一个向量方向不确定的充要条件

B．若向量满足与同向，则

C．若两个非零向量满足，则市互为相反向量

D．的充要条件是A与C重合，B与D重合

10．下列命题中错误的是（    ）

A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有

B．是共线的充要条件

C．若共线，则

D．对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若（其中），

则P，A，B，C四点共面

11．已知是空间的一个基底，若，则错误的是（    ）

A．是空间的一组基底     B．是空间的一组基底

C．是空间的一组基底      D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底

12．己知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的是（    ）

A．     B．     C．是平面的一个法向量    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位数为_____________．

14．如图所示，已知平面，M，N分别是的中点，且，四边形为正方形，以为基底，则____________．

15．如图，在正方体中，M是的中点，O是底面的中心，P是上的任意点，则直线与所成的角的大小为_____________．

16．设直线l的方向向量为，平面的法向量为，若，则直线l与平面的位置关系为____________；若，则直线l与平面的位置关系为____________．

四、解答题

17（10分）．如图，在平行六面体中，，E为的中点，F为与的交点．

（1）用基底表示向量；

（2）化简，并在图中标出化简结果．

18．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为，F为边上一点．

（1）求c；

（2）若，求．

19．（12分）如图，正四棱锥的各棱长都为a．

（1）用向量法证明；

（2）求的值．

20．（12分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织，现把该组织的成员按年龄分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第1组有5人．

（1）分别求出第3，4，5组志愿者的人数，若在第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．

21．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，E是的中点．求证：平面．

22．（12分）棱长为1的正方体中，E，F，G分别是的中点．

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值；

（3）求的长．

高二上学期第一次考试数学试题答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分

BACBA  AAB

二、多选题：本题共4小题，每小题5分．部分选对得2分．

9、AC   10、BCD   11、ABD   12、ABC

三、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13、9    14、    15、   16、   或

四、解答题

17．解（1）．

．

．

（2）．

如图，连接，则即为所求．

18．解：（1）因为，所以．

由余弦定理可得，所以

（2）由（1）得，所以．

在中由正弦定理得，所以．

又因为，所以，

又因为，所以，

所以．

19．（1）证明∵，

∴

．

∴，

∴．

（2）解  ∵，

∴

，

∴．

20．解：（1）由题意，因为第1组有5人，则，

所以第3组有（人），

第4组有（人），

第5组有（人）．

所以利用分层随机抽样在第3，第4，第5组中分别抽取3人，2人，1人．

（2）记第3组的3名志愿者为，第4组的2名志愿者为，第5组的1名志愿者为，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有，，，，，，，，，，，，，共15种．

其中第3组的3名志愿者至少有一名志愿者被抽中的有，，，，，，，，，，，，共12种．

则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为．

21．证明  ∵底面，，∴两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则．

∵，

∴为正三角形．

∴．

∴，

，

∴设平面的法向量为，则

即∴

令，则，∴．∵，

显然，∴，∴平面，即平面．

22．解  建立

如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．

所以，，，．

（1）证明  因为，所以，即．

（2）因为，

，

，

所以．

所以异面直线与所成角的余弦值为．

（3）．