河南省郑州市第十九高级中学2022-2023学年高二上学期开学文理分科考试数学试题（Word版含答案）

2024届高二年级文理分科考试数学学科

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．设全集U＝R，集合，，则集合（    ）

A． B． C． D．

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

3．在边长为1的正三角形ABC中，设，，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，，且2x＋y＝xy，则x＋2y的最小值为（    ）

A．8 B． C．9 D．

5．如果，那么下列不等式中正确的是（    ）

A．  B．

C．  D．

6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上一面的点数小于3”为事件B，则事件A，B中至少有一个发生的概率是（    ）

A． B． C． D．

7．若样本，，…，的平均值是5，方差是3，样本，，…，的平均值是9，标准差是b，则（    ）

A．a＝1， B．a＝2， C．a＝2，b＝3 D．a＝1，

8．，，其中，分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，若，共同作用于一物体，使物体从点移到点，则合力所做的功为（    ）

A．－5 B．5 C．－13 D．13

9．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称 B．有1个零点

C．有2个零点  D．是奇函数

10．掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A与B是独立事件；②事件B与C是互斥事件；③事件C与D是对立事件；④．其中正确的结论是（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

11．正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，，的中点．则（    ）

A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面AEF平行

C．平面AEF截正方体所得的截面面积为 D．点C与点G到平面AEF的距离相等

12．已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．复数（i为虚数单位），则______．

14．已知向量，的夹角为60°，，，则______．

15．已知函数，将的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，所得图象对应的函数为，若的图象过原点，且，则______．

16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，，BC＝4，点P是以AD为直径的半圆弧上的动点（不含A，D点），面PAD⊥面ABCD，则四棱锥P－ABCD的外接球的表面积为______．

三、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）已知函数的最大值为1．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，求函数的取值范围．

18．（本小题满分12分）某市博物馆为了保护一件珍贵文物，需要在馆内一种透明又密封的长方体玻璃保护罩内充入保护液体．该博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种液体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米液体费用500元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为4000元．

（1）求该博物馆支付总费用y与保护罩容积x之间的函数关系式；

（2）求该博物馆支付总费用的最小值．

19．（本小题满分12分）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答．

问题：在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知______．

（1）求角A；

（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

20．（本小题满分12分）从某学校800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

（1）估计该校的800名男生的身高的平均数和中位数；

（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件，求．

21．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，AB＝BC＝1，，E，F为线段，的中点．

（1）证明：平面AEF⊥平面；

（2）若直线EA与平面ABC所成的角大小为，求点C到平面的距离．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）当a＝2时，求的单调增区间；

（2）当时，的最大值为，求实数a的取值范围．

2024届高二年级文理分科考试数学学科答案

一、1－5题CACCD    6－10题BDADA    11－12题BD

二、13．    14．    15．2    16．

17．解：（1）．

由，解得a＝－1．∴．

由，，解得，，

所以函数的单调递减区间为，；

（2）由得，所以，

所以，所以函数的取值范围为．

18．解：（1）由题意设支付的保险费用，

把x＝2，代入，得k＝8000．

则有支付的保险费用

故总费用，

（2）因为

当且仅当且，即x＝4立方米时不等式取等号，

所以，博物馆支付总费用的最小值为3750元．

19．解：（1）选择①：

由正弦定理得，，

由得，

即．

又，∴，又，∴．

选择②：

由选择条件可得

由余弦定理，得，

又，∴．

（2）因为，∴，即，∴，

又由余弦定理，化简得，

即，所以，

所以△ABC的周长为．

20．解：（1）第六组的频率为，

∴第七组的频率为．

由频率分布直方图得，身高在第一组的频率为，

身高在第二组的频率为，

身高在第三组的频率为，

身高在第四组的频率为，

由于，，

设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，

由得m＝174.5，

所以这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm．

平均数为．

（2）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，

第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，

则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，

因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，

所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．

所以

21．（1）证明：取AC的中点M，连接FM，BM，

∵在中，F、M分别为、AC的中点，∴且，

又在直三棱柱中，E是的中点，

∴且，∴且，

∴四边形BEFM为平行四边形，∴，

∵在△ABC中，M为AC的中点，且AB＝BC＝1，，

∴BM⊥AC，且，

∵平面ABC，平面ABC，∴，

又，∴BM⊥平面，∴EF⊥平面；

又面AEF，∴平面AEF⊥平面；

（2）解：由（1）知，EB⊥平面ABC，∴∠EAB直线EA与平面ABC所成的角，∴，

因为Rt△EAB中，AB＝1，∴，

∴，∴，

又∵，，

∴，，

设点C到平面的距离为d，

∵，∴，

即，解得．

22．解：（1）当a＝2时，，

因为当时，单调递增；

当时，函数单调递增；

当时，函数单调递减，

所以增区间为，；

（2），

①若，则；

②若，则．

（ⅰ）当时，即时，，因为，所以a＝2符合题意；

当时，，

（ⅱ）当时，即当时，，符合题意；

（ⅲ）当时，即当时，，不符合题意，

综上：实数a的取值范围是．