四川省仁寿县铧强中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试卷（Word版含答案）

四川省仁寿县铧强中学2022年高三上学期数学入学考试（理）

考试时间：120分钟；满分150分 

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第Ⅰ卷(共50分)

一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。每个小题只有一个正确选项）

1．已知复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

2．如图所示的程序框图，若输入，则输出的为（       ）

A．B．C．D．

3．已知函数在处的导数为2，则（       ）

A．0 B． C．1 D．2

4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数中有一个数据的个位数模糊，无法辨认，以x表示，9个分数分别为87，87，94，90，91，90，9x，99，91．则7个剩余分数的方差为（       ）

A． B． C．36 D．

5．欲寄出两封信，现有两个信箱供选择，则两封信投到同一个信箱的概率是（       ）

A． B． C． D．

6．用辗转相除法求得288与123的最大公约数是（       ）

A．42 B．39 C．13 D．3

7．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，现工厂决定从20只相同的“冰墩墩”，15只相同的“雪容融”和10个相同的北京2022年冬奥会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n为（       ）

A．12 B．8 C．5 D．9

8．小王被某大学录取，在通知书接收当天，快递人员可能在17：30~18：30之间把通知书送到小王家，小王在18：00~19：00之间能回到家中，则小王当天到家后能当面签收通知书的概率为（       ）

A． B． C． D．

9．某校为落实“双减”政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（       ）

A． B． C． D．

10．下列命题中正确的是（       ）

A．数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数

B．对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变

C．有甲､乙､丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30

D．一般可用相关指数来比较两个模型的拟合效果，越大，模型拟合效果越好

11．设，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

12．已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（       ）

A．B．C． D．

第Ⅱ卷(共100分)

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5 分，共20 分）

13．十进制135转化为四进制数为___________.

14．已知函数f（x）= x3－3x，则过点（1，－2）的切线方程为__________．

15．5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，每个志愿点至少分配一位学生，其中甲乙不能分配到同一个志愿点，则共有___________种不同的分配方式（用数字作答）.

16．已知函数，若存在实数t使得函数有7个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．

三、解答题（本大题共6个小题，共70 分）

17．由，，，，组成的五位数中，分别求解下列问题.（应写出必要的排列数或组合数，结果用数字表示）

（1）没有重复数字且为奇数的五位数的个数；

（2）没有重复数字且和不相邻的五位数的个数；

（3）恰有两个数字重复的五位数的个数.

18．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市5000名乡镇干部进行了一期“三农”政策专题培训，并在培训结束时进行了结业考试.从该次考试成绩中随机抽取样本，以分组绘制的频率分布直方图如图所示.

(1)根据频率分布直方图的数据，估计该次考试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）

(2)若要使13%的乡镇干部的考试成绩不低于m，求m的值；

(3)在（1）（2）的条件下，估计本次考试成绩在内的人数.

19．已知函数在处取得极值．

(1)求的解析式；

(2)当时，的图象与的图象有两个公共点，求m的取值范围．

20．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量（百千克）与某种液体肥料每亩使用量（千克）之间对应数据的散点图，如图所示．

(1)请从相关系数（精确到）的角度分析，能否用线性回归模型拟合与的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；

(2)建立关于的线性回归方程，并用其估计当该种液体肥料每亩使用量为千克时，该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为多少百千克？

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，相关系数，参考数据：

21．已知函数 (a，b∈R)的图象在点处的切线方程为y＝1.

(1)实数a的值；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值.

22．已知函数.

(1)当时，求的单调区间；

(2)若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据复数除法的运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.

【详解】

由，

所以，

故选：B

2．C

【解析】

【分析】

该程序框图的功能是求，利用裂项求和进行处理运算．

【详解】

该程序框图的功能是求，

∵，则

当输入的时，所求和为

∴.

故选：C.

3．C

【解析】

【分析】

直接由导数的概念求解即可.

【详解】

.

故选：C.

4．B

【解析】

【分析】

根据平均数公式求出，再根据方差公式可求出结果.

【详解】

由题意知去掉的两个数是87，99，

所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.

故s2＝ [(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝．

故选：B.

5．A

【解析】

【分析】

属于古典概率问题，写出基本事件 和所求事件即可.

【详解】

设两个信箱分别为A，B，两封信分别为a，b，则所有的组合形式（基本事件）为： ，

（注： 表示A信箱里有a和b信件，其他的类推），

两封信在同一信箱的情况有 ，

其概率为 ；

故选：A.

6．D

【解析】

【分析】

根据辗转相除法的步骤，将288和133带入进行运算，即可得到答案.

【详解】

故288与123的最大公约数是3

故选：D.

7．D

【解析】

【分析】

求出各层样本的比例，由“冰墩墩”抽取了4只，即可得到其它样本抽取的数量，即可得到最终结果

【详解】

，由于“冰墩墩”抽取了4只，所以“雪容融”抽取了3只，“冬奥会会徽”抽取了2只．所以．

故选：D

8．A

【解析】

【分析】

根据几何概型计算公式进行求解即可.

【详解】

设快递人员到的时间为，小王到家的时间为，

可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为：

，

事件表示小王当天到家后能当面签收通知书，所构成的区域为，

如图所示：

正方形的面积为，

等腰直角三角形的面积为：，

所以小王当天到家后能当面签收通知书的概率为，

故选：A

9．C

【解析】

【分析】

根据排列组合知识计算出事件发生的种类数，再利用古典概型的概率公式求出概率.

【详解】

每人有种选择，四人共有种选择，

其中恰有两人参加同一项活动共有种选择，

所以四人中恰有两人参加同一项活动的概率为：

故选：C.

10．BC

【解析】

【分析】

设圆上除O(0，0)、A外任意一点为，根据几何关系求出ρ和θ的关系即可．

【详解】

如图，∵圆的圆心极径为3，圆的半径为3，∴圆过极点O，OC为圆的半径，设OA为圆的直径，

设圆上除O(0，0)、A外任意一点为，

则，，，

在Rt中，，．

故选：BC﹒

11．D

【解析】

【分析】

根据中位数和众数的定义判断A；根据平均数和标准差的性质可判断B；根据分层抽样的性质判断C；根据相关指数的定义和性质判断D.

【详解】

对于A，数据1，2，3，3，4，5的众数是3，中位数是，众数等于中位数，故A错误；

对于B，数据，如果将它们变为，其中，则平均数增加C，标准差不变，故B错误；

对于C，有甲､乙､丙三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为，故C错误；

对于D，由相关指数的性质可得可以通过比较相关指数的大小比较两个模型的拟合效果，且越大，模型拟合效果越好，故D正确．

故选：D．

12．C

【解析】

【分析】

根据对数函数，指数函数的单调性，即可求解.

【详解】

解：，

，

，

所以，

故选：C.

13．A

【解析】

【分析】

构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.

【详解】

由，

（1）当时，可得，

即，

即，

构造函数，

所以函数单调递增，

则，此时，即满足；

（2）当时，可得，

由函数递增，则，此时或，即满足；

（3）当时，，即满足.

综上，.

故选：A.

14．2013

【解析】

【分析】

，即可得到答案.

【详解】

因为

所以十进制135转化为四进制数为

故答案为：

15．和

【解析】

【分析】

讨论当点为切点时与当点不是切点时，利用导数的几何意义即可求解．

【详解】

由函数，则，

当点为切点时，则，即切线的斜率，

 所以切线的方程为，

 当点不是切点时，设切点，则，

即，

 解得或（舍去），所以

所以切线的方程为，即．

故答案为：和．

16．114

【解析】

【分析】

先把5位学生分为两类分别为3,1,1和2,2,1，再用分步分类计数原理及间接法，结合组合数公式即可求解.

【详解】

由题意可知5位学生被分配到3个志愿点作志愿者，，

共有种.

甲、乙分配到同一个志愿点，有种

所以不同的分配方案有种

故答案为：114.

17．.

【解析】

【分析】

由表中数据计算出，，代入线性回归方程求出，进而可求得结果.

【详解】

，，

代入线性回归方程得，解得，

则线性回归方程为.

所以，则相应于点的残差为.

故答案为：.

18．

【解析】

【分析】

利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由得或，然后分类讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围．

【详解】

当时，，，当时，，递减，当时，，递增，

故时，；

当时，，，时，，递增，时，，递减，

所以当时，有极大值，

当时，，

作出的大致图象如图，由题意知，即有7个不同的实根，当有三个根，有四个实根，此时或，得或；当有四个根时，有三个实根，此时，得，所以．

故答案为：．

19．（1）72个；（2）72个；（3）1200个.

【解析】

【分析】

（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.

（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4即可.

（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即可.

【详解】

解：（1）由题知，该五位数个位数为奇数，然后余下的四个数全排列即可.

个.

（2）先对1,3,5三个数全排列，然后利用插空法排列2和4,即个

（3）从5个数中挑选出重复的数字，从剩下的4个数中挑选3个数字，先对重复数字排列，然后余下的三个数全排列即个

20．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求得圆极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）将代入圆的极坐标方程，得到，求得，，进而求得线段的长.

(1)

解：因为的直角坐标方程为，

根据极坐标与直角的互化公式，

可得的极坐标方程为，

化简得，

即的极坐标方程为，

又由直线的极坐标方程是，可得直线的直角坐标方程为．

(2)

解：设A、B极坐标分别为、，

将代入，整理得，

所以，，

所以．

21．(1)83.5

(2)89.5

(3)1950

【解析】

【分析】

（1）利用频率分布直方图求解平均数，将中点值乘以相应的频率再相加即可；（2）先计算出成绩分别在，内的频率，确定m落在内，列出方程，求出m的值；

（3）在（1）（2）条件下求出本次考试成绩在内的频率，进而求出人数.

(1)

由图可得：

，

(2)

成绩落在内的频率为，成绩落在内的频率为，由于，

故m落在内，其中，

解得：，所以m的值为89.5

(3)

，

所以估计本次考试成绩在内的人数为1950.

22．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由解出，代回导数，检验在处取得极值即可；

（2）先确定函数在上的单调性，求出最值及端点值，即可求得m的取值范围.

(1)

，

∵在处取得极值，∴，∴，解得：，

∴，此时，当时，；当时，，

在单增，在单减，满足在处取得极值，故.

(2)

由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减；

又，，，所以．

23．(1)能，理由见解析；

(2)回归方程为，该蔬菜基地西红柿亩产量的增加量约为百千克.

【解析】

【分析】

（1）计算出、的值，将样本数据代入相关系数公式，可求得的值，结合题意可判断与的线性关系的强弱，即可得出结论；

（2）将样本数据代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出线性回归直线方程，将代入回归直线方程，可得出结论.

(1)

解：由已知数据可得，，

所以，

，

，

相关系数．

因为，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合与的关系．

(2)

解：由于，，

所以关于的线性回归方程为．

当时，，所以西红柿亩产量的增加量约为百千克．

24．(1)不能

(2)

【解析】

【分析】

（1）先由公式求出，与参考数据比较，得出答案.

(2) 利用列举法列举出从这6人中抽取3人的不同取法情况，得出其中抽取的3人中至多1人是女生的有16种不同的抽取数，从而得出答案.

(1)

所以，不能在犯错概率不超过2.5%的前提下，认为是否喜爱吉祥物与性别有关.

(2)

由题意知，按分层抽样方法抽取出来的6人中，有男生4人，记为;

有女生2人，记为,则从这6人中抽取3人的不同取法为

一共有20种不同的抽取方法.

其中抽取的3人中至多1人是女生的有16种不同的抽取方法.

所以，抽取的3人中至多1人是女生的概率

25．(1)1；

(2)最大值为b，最小值为.

【解析】

【分析】

（1）直接利用导数的几何意义求出a；

（2）先利用导数判断单调性，求出最值.

(1)

因为函数，则.

所以.

又函数的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1，

所以，解得：.

(2)

由（1）知，，.

在时，有，所以函数f(x)在区间上单减，

所以，.

26．(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意求导求单调性即可；（2）根据题意得，令，求最大值即可.

(1)

因为，所以

当时，令，解得，

令，解得；令，解得；

所以函数单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)

不等式，等价于，因为，

即，设，则只需对任意的实数成立即可，

则

，令，得或；

令，得，所以函数在和上单调递增；

在上单调递减，令，即，

解得或，即当时，，

又函数的极大值为：，所以当时，，

当，，当时，，所以函数的极大值即为最大值，

所以，

所以，即实数的取值范围为.

【点睛】

导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．