北京市第四中学2021-2022学年高三下学期开学考试数学试卷（含答案）

2021-2022学年北京四中高三（下）开学数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知为虚数单位，则复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 设，““是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 三棱柱中，面，则下列两条直线中，不互相垂直的是(    )

A. 和
B. 和
C. 和
D. 和

5. 设，分别是正方形的边，上的点，且，，如果为实数，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知，直线，则点到直线的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知函数的最小正周期为，则(    )

A. 函数的图象关于原点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称
D. 函数在区间上单调递增

8. 设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足．若直线的斜率为，则(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知函数且若函数的图象上有且只有两个点关于轴对称，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 数列表示第天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第天的日增长率当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率会发生变化．如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率的规律描述正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11. 在的展开式中，常数项为______ 用数字作答．
12. 在数列中，，，则______．
13. 双曲线的渐近线为等边三角形的边，所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则 ______ ．
14. 如图所示，点在线段上，，，若再给出一条线段的长度，可以使唯一确定，这个线段可以是______只需写出代表该线段的字母，无需给出长度

15. 已知曲线的方程是，给出下列四个结论：
    曲线与两坐标轴有公共点；
    曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形；
    若点，在曲线上，则的最大值是；
    曲线围成图形的面积大小在区间内．
    所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    在中，，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：
    Ⅰ求角的大小；
    Ⅱ求的面积．
    条件：；
    条件：；
    条件：．
17. 本小题分
    如图所示的多面体中，面是边长为的正方形，平面平面，，，，分别为棱，，的中点．
    
    Ⅰ求证：平面；
    Ⅱ已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
18. 本小题分
    年月日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其它垃圾四类生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收吨废纸可再造出吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗．
    某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场年月至月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量单位：吨的折线图如图：
    
    Ⅰ现从年月至月中随机选取个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨的概率；
    Ⅱ从年月至月中任意选取个月，记为选取的这个月中回收的废纸可再造好纸超过吨的月份的个数求的分布列及数学期望；
    Ⅲ假设年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为吨当为何值时，自年月至年月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小只需写出结论，不需证明
    注：方差，其中为，，的平均数
19. 本小题分
    已知函数．
    Ⅰ求的单调区间；
    Ⅱ是否存在实数，使得函数的极大值等于？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
    已知椭圆：的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴正半轴交于，两点．
    求椭圆的标准方程；
    Ⅱ判断的值是否为定值，并证明你的结论．
21. 本小题分
    设正整数数列：，，，满足，其中如果存在，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”．
    Ⅰ判断数列，，，，和数列，，，，是否为“阶平衡数列”？
    Ⅱ若为偶数，证明：数列：，，，，不是“阶平衡数列”，其中．
    Ⅲ如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
先求出集合，由此利用并集的定义能求出的值．

【解析】
解：，
集合，
．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：，
则复数对应的点位于第二象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：若，则，，
故，故，是充分条件，
若，则，，，
不是必要条件，
故选：．
根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．
本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：对于，因为平面，平面，所以；
对于，与不一定垂直；
对于，因为，，且，所以平面，；
对于，因为平面，，所以平面，所以，
又，且，所以平面，
又平面，所以C.
故选：．
根据直线与平面垂直的判定定理和性质，判断即可．
本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的线性运算，合理利用向量的平行四边形法则，三角形法则，是解题关键，属于基础题．
如图所示，即可求得，即可．
【解答】
解：如图所示，

．
，，
，
故选C．
  

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查点到直线的距离，属于基础题．
由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．

【解答】

解：点，直线，则点到直线的距离为： ，
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：函数的最小正周期为，
，
可得．
那么
由对称中心横坐标方程：，，
可得：
不对；
由对称轴方程：，，
可得：，，
不对；
函数图象上的所有点向右平移个单位，可得：，图象关于原点对称．
对．
令，，
可得：
函数在区间上不是单调递增．
不对；
故选：．
函数的最小正周期为，求出，可得解析式，对各选项进行判断即可
本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线方程为，
焦点，准线方程为，
直线的斜率为，直线的方程为，
由，可得点坐标为，
，为垂足，
点纵坐标为，代入抛物线方程，得点坐标为，
，
故选C．
先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线的斜率得到方程，与准线方程联立，解出点坐标，因为垂直准线，所以点与点纵坐标相同，再代入抛物线方程求点横坐标，利用抛物线的定义就可求出长．
本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，时，显然成立；
时，关于轴的对称函数为，则，，
综上所述，的取值范围是，
故选：．
由题意，时，显然成立；时，关于轴的对称函数为，则，即可得到结论．
本题主要考查分段函数的应用，考查函数的解析式，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，
为定值，而实际情况在第天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，
故选B．
由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，为定值，而实际情况在第天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论．
本题考查散点图，考查数形结合的数学思想，比较基础，
 

11.【答案】 

【解析】解：由于展开式的通项公式为，
令，解得，故展开式的常数项是，
故答案为．
在展开式的通项公式中，令的幂指数等于零，求出的值，即可求出展开式的常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，由，，得，
又，得，；，得，，
所以中所有的奇数项均为，所有的偶数项均为，
所以．
故答案为：．
根据，，得，，，，从而可发现中所有的奇数项均为，所有的偶数项均为，进一步利用进行求解即可．
本题考查数列的递推公式，分组求和法，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由于为坐标原点是等边三角形，
则由对称可得，，
双曲线的渐近线方程为，
即有，即，
又，
则．
故答案为：．
由等边三角形和双曲线的对称性，可得，，再由渐近线方程，可得，再由，，的关系和的值，即可计算得到．
本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，点在线段上，，，，
所以，
则为定值，
所以，
，
所以在中，
利用正弦定理：，
则，
故AC为定值；
，，都为定值，唯一确定，
故答案为：．
直接利用正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，曲线的方程是，必有且，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
当，时，方程为，
作出图象：
依次分析个结论：
对于，由于，，曲线与坐标轴没有交点，故错误；
对于，由图可知，曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形，故正确；
对于，若点，在曲线上，则当且仅当、与圆弧所在的圆心共结时取得最大值，
故的最大值是圆心距加两个半径，为，故正确；
对于，当，时，方程为与坐标轴的交点，平分圆，
则第一象限面积为，
故总的面积为，故错误．
故答案为：．
根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析个结论，即可得答案．
本题考查考查曲线方程的图象及性质、涉及绝对值的含义、圆的性质等，是中档题．
 

16.【答案】解：Ⅰ，，
，
若选：，此时，三角形无解，
若选：，
，
由余弦定理得，，
又，，
若选：，
则，
又，，
即，
又，．
Ⅱ由Ⅰ可知，，，
由正弦定理得，，
，，
，
的面积为． 

【解析】由已知结合正弦定理可求，，然后结合所选条件，结合余弦定理及正弦定理可求，进而可求；
由已知结合正弦定理可求，然后结合三角形面积公式可求．
本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

17.【答案】
证明：Ⅰ取中点，连接，，
因为是正方形，所以，．
因为，分别是，中点，所以，．
又因为且，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以．
又因为平面，平面
所以平面 
解：Ⅱ因为平面平面，
平面平面，，平面，
所以平面．
如图，以为原点，射线，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系．
设，则 ，，．
因为底面，所以平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，

，
则
即
令，得，所以  

由已知，二面角的余弦值为，
所以得，
解得，所以 
因为是四棱锥的高，
所以其体积为． 

【解析】Ⅰ取中点，连接，，通过证明然后证明平面．
Ⅱ以为原点，射线，，分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系．设，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，求出，推出，然后求解几何体的体积．
本题考查空间向量求解二面角的平面角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判断．考查空间想象能力以及计算能力．
 

18.【答案】解：Ⅰ记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨”为事件分
由题意，只有月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨分
所以分
Ⅱ因为回收利用吨废纸可再造出吨好纸
所以月至月回收的废纸可再造好纸超过吨的月份有：月、月、月，共个月．
的所有可能取值为，，分
，
，
分
所以的分布列为：

分
分
Ⅲ分
当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小． 

【解析】Ⅰ记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨”为事件，推出只有月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过吨，然后求解概率．
Ⅱ的所有可能取值为，，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
Ⅲ求出，判断当添加的新数等于原几个数的平均值时，方差最小．
本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 

19.【答案】解：Ⅰ的定义域为，
，即 ．
令，解得：或．
当时，，
故的单调递增区间是；
当时，，随的变化情况如下：

所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
当时，，随的变化情况如下：

所以，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．
综上，当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．
Ⅱ 当时，无极大值．
当时，的极大值为，
令，即，解得 或舍．
当时，的极大值为．
因为 ，，所以 ．
因为 ，所以 的极大值不可能等于，
综上所述，当时，的极大值等于． 

【解析】Ⅰ求出，令，解得：或按两根，的大小关系分三种情况讨论即可；
Ⅱ由Ⅰ分情况求出函数的极大值，令其为，然后解即可，注意的取值范围；
本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数极值问题，考查分类讨论思想，考查学生逻辑推理能力，属中档题．
 

20.【答案】解：Ⅰ由题意，
解得：，，
故椭圆的标准方程为；
Ⅱ根据题意，假设直线或的斜率不存在，则点或点的坐标为，
直线的方程为，即．
联立方程，得，
此时，直线与椭圆相切，不合题意．
故直线和的斜率存在．
设，，
则直线，
直线
故，
由直线，设直线
联立方程，
当时，，，
． 

【解析】Ⅰ根据题意，由椭圆的几何性质分析可得，解可得、的值，将、的值代入椭圆方程，即可得答案；
Ⅱ根据题意，假设直线或的斜率不存在，联立直线与椭圆的方程分析可得直线与椭圆相切，不合题意，则直线和的斜率存在，进而设，，由此表示直线或的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系表示的值，即可得答案．
本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，属于综合题，注意提升计算的能力．
 

21.【答案】解：Ⅰ由不为整数，
可得数列，，，，不是阶平衡数列；
数列，，，，为首项为，公差为的等差数列，
则数列，，，，是阶平衡数列；
Ⅱ证明：若为偶数，设，考虑，，，，这项，其和为．
所以这项的算术平均值为：，此数不是整数；
若为奇数，设，，考虑，，，，，，；
这项，其和为，所以这项的算术平均数为：，
此数不是整数；故数列，，，，，，不是“阶平衡数列”，其中；
Ⅲ在数列中任意两项，，，
对于任意，在中任意取两项，，相异的项，
并设这项和为由题意可得，都是的倍数，
即，，为整数，可得，
即数列中任意两项之差都是的倍数，，
因此所求数列的任意两项之差都是，，，的倍数，
如果数列的项数超过，那么，，，均为，，，，，的倍数，
即，，，均为的倍数，为，，，，，的最小公倍数，
，
即，这与矛盾，
故数列的项数至多项．
数列的项数为，那么，，，均为，，，，的倍数，
即，，，均为的倍数，为，，，，的最小公倍数，
又，且，
所以，，，，
所以
当且仅当，取得最大值；
验证可得此数列为“阶平衡数列”，，
如果数列的项数小于或等于，由，
可得数列中所有项的之和小于或等于，
综上可得数列中所有元素之和的最大值为． 

【解析】Ⅰ由不为整数，数列，，，，为等差数列，结合新定义即可得到结论；
Ⅱ讨论为偶数或奇数，结合新定义即可得证；
Ⅲ在数列中任意两项，，，作差可得数列中任意两项之差都是的倍数，，讨论数列的项数超过，推得数列的项数至多项．讨论数列的项数为，数列的项数小于或等于，奇数可得所求最大值．
本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．