上海财经大学附属北郊高级中学2023届高三上学期开学考试数学试题（Word版含答案）

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2022-2023年北郊高级中学高三上开学考一､填空题1.已知集合，则__________.2.函数的定义域是__________.3.若复数满足为虚数单位），则__________.4.的展开式中的系数为__________.（结果用数值表示）.5.已知，则的值为__________.6.设为直线上的一点，且位于第一象限，若点到双曲线的两条渐近线的距离之积为27，则点的坐标为__________.7.已知，且，则的最小值为__________.8.已知函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是__________.9.已知数列的用项和为，且满足，则__________.10.袋中有一个白球和个黑球，一次次地从袋中摸球，如果取出白球，则除把白球放回，再加进个白球，直至取出黑球为止，则取了N次都没有取到黑球的概率是__________.11.已知定义在R上的函数满足，当时，，则方程有__________个根.12.在平面直角坐标系中，已知是上的两个不同的动点，满足，且恒成立，则的数最小值是__________.二､选择题13.已知，则“”是“”的（    ）A.充分不必要条件    B.必要不允分条件C.充要条件    D.既不充分也不必要条件14.下列函数中，以为周期在区间上单调递增的是（    ）A.    B.C.    D.15.如图，在棱长为1的正方体，中，P､O､R分别是棱的中点，以为底面作一个直三棱柱，使其另一个底面的三个顶点也都在正方体的表面上，则这个直三棱柱的体积为（    ）A.    B.    C.    D.16.设，定义运算“”利“”如下：.若正数满足，则（    ）A.    B.C.    D.三､解答题17.如图，已知圆锥的底面半径，经过旋转轴SO的截而是等边三角形SAB，点Q为半圆弧的中点，点P为母线SA的中点.（1）求此圆锥的表面积；（2）求异面直线PQ与SO所成角的大小.18.甲､乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独：②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知，若，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖.（1）求甲乙两人玩此游戏获奖的概率；（2）现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏：这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和期望.19.已知函数.（1）设是的反函数，若，求的值：（2）足否存在常数，使得函数为奇函数.若存在，求的值，并证明此时在上单调递增；若不存在，请说明理由.20.已知为椭圆内一定点，为直线上一动点，直线与椭圆交于两点（点位于两点之间），为坐标原点.（1）当直线的倾斜角为吋，求直线的斜率：（2）当的面积为时，求点的横坐标；（3）设，试问是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由.21.已知函数，无穷数列满足，.（1）若，写出数列的通项公式（不必证明）；（2）若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由；（3）证明：，，，，成等差数列的充要条件是.2022-2023年北郊高级中学高三上开学考一､填空题1.【答案】2.【解析】由题意得，故定义域是.3.【解析】，则.4.【解析】的系数为.5.【解析】.6.【解析】设，双曲线的两条渐近线为，因为点到双曲线的两条渐近线的距离之积为27，所以，解得，所以点的坐标为.7.【解析】当且仅当x=y时取等号，故4x+y的最小值为25.8.【解析】由题意得二次函数的对称轴，由在区间上是増函数，故，故实数的取值范围是.9.已知数列的用项和为，且满足，则__________.【解析】因为，所以，解得，所以，故数列为等差数列，故10.【解析】取了N次都没有取到黑球的概率为11.【解析】因为，所以的周期为2，当时，，作出函数与的图象如图所示，由图象得函数与的图象由10个交点，所以方程有10个根.12.【解析】因为，所以垂直平分，设与交于点，其中点.设，则，所以.因为恒成立，只需求出的最大值即可，在中，由余弦定理得所以，因为，所以，即，所以的最小值为49.二､选择题13.【解析】当时，满足，不满是；当时，满是，不满是：故为既不充分也不必要条件，故选D.14.【解析】因为的周期为，故排除D，且在区间上单调递增，故选A.15.【解析】如图，连接，并分别取它们的十点，连接，则且，连接，得，因为平面，又平面，则，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，则平面，所以平面平面平面，则三棱柱为直三棱柱，由正方体的棱长为1，得，故.故选.16.【解析】，当时，，故选项错误；当时，，故选项错误；因为，且，所以，因为，所以，故选项正确；故选.三､解答题17.（1）由，得.又，故即此圆锥的表面积为.（2）法一：取的中点，连控.因点为母线的巾点，故.所以为异面直线与所成的角.存Rt中，，故.H点为半圆坬的中点，得，在中，.由底面得底面，在中，，故即异面直线与所成角的大小为.法二：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题意得，则，，设异面直线与所成角的大小为，则，所以异面直线与所成角的大小为.18.【解析】（1）基本事件的总数为个，记事件A为“甲乙两人一次竞猜成功”，若，则共有6种竞猜成功；若时，b分别有2个值，而或5时，只有一种取值.由古典概型的概率计算公式得.设随机变量表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，则甲乙两人获奖的概率（2）由题意得从6人中选取4人共有种选法，双胞胎的对数的取值为.则，随机变量的分布列为，期望为.19.【解析】（1）因为函数，所以.（2）由题意得.法一：因为为奇函数，所以，即，整理得，故.法二：因为是定义域为的奇函数，故，即，解得.此时，定义域为关寸原点对称，且故当时，为奇函数.任取，则因为，所以且，故，即函数在上单调递增.20.【解析】（1）当直线的倾斜角为时，其斜率，直线的方程为.联立，解得，即.从而，即直线的斜率为（2）由题意，设直线的方程为.联立，消去，整理得.设，则由，得，解得故直线的方程为.令，得点的横坐标为.（3）法一：①当直线与轴重合忖，，故.②当直线不与轴重合时，设直线的方程为.设，由（2）得从而即综上，定值1.法二：已知直线的斜率存在，设㚗线的方程为，山得，设，所以因为，所以，则.21.（1）由题意，代入计算得.所以（2）法一：，①当时，，所以，得；②当时，，所以，得（舍去）或.综合①②得或..当，易求是等比数列.当时，易求，因为.所以不是等比数列..（3）充分性：当时，，所以是一个等差数列.必要性：假设这样的等差数列存在，那么，由得，以下分情况讨论：①当时，由得，与矛盾：②当时，由得，从而，所以是个等差数列；③当时，则公差，因此存在使得，此时，矛盾.综合①②③得，当成等差数列时，.综上所述，成等差数列的充要条件是