甘肃省白银市靖远县2022-2023学年高三上学期开学考试数学（文）试题（Word版含答案）

高三数学考试（文科）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则（    ）

A．{3}   B．{3，5}   C．{1，3}   D．{1，3，5}

2．若，则（    ）

A．5   B．4   C．3   D．2

3．设等比数列的前n项和为，且，，则（    ）

A．128   B．127   C．64   D．63

4．函数在上的图象大致为（    ）

A．B．C．D．

5．某市教育局为得到高三年级学生身高的数据，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的身高都在A，B，C，D，E五个层次内，分男、女生统计得到以下样本分布统计图，则所给叙述正确的是（    ）

A．样本中A层次的女生比相应层次的男生人数多

B．估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大

C．D层次的女生和E层次的男生在整个样本中频率相等

D．样本中B层次的学生数和C层次的学生数一样多

6．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A．（1，2）       B．

C．     D．

7．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的表面积为（    ）

A．    B．

C．    D．

8．将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（    ）

A．4   B．3   C．2   D．1

9．在三棱锥A—BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BC，且，则直线AB与平面ACD所成的角为（    ）

A．   B．   C．   D．

10．从3名男同学和2名女同学中随机选3名参加诗歌朗诵比赛，则恰有1名女同学入选的概率为（    ）

A．   B．   C．   D．

11．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别是，，过右焦点且不与x轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若，且，则C的离心率为（    ）

A．   B．   C．   D．

12．已知函数若，且，则的最大值是（    ）

A．4   B．3   C．2   D．1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13．已知向量，，若，则m＝______．

14．设是等差数列，且，，则______．

15．已知抛物线C：的焦点是F，A是C的准线上一点，线段AF与C交于点，O为坐标原点，且，则p＝______．

16．“康威圆定理”是英国数学家约翰·威廉引以为豪的研究成果之一，定理的内容如下：如图，△ABC的三条边长分别为，，．延长线段CA至点，使得，延长线段AC至点，使得，以此类推得到点，，，，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知，，，则由△ABC生成的康威圆的半径为______．

三、解答题；共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．

（1）求B；

（2）若△ABC的面积为，且，求△ABC的周长．

18．（12分）为切实加强新时代儿童青少年近视防控工作，经国务院同意发布了《综合防控儿童青少年近视实施方案》．为研究青少年每天使用手机的时长与近视率的关系，某机构对某校高一年级的1000名学生进行无记名调查，得到如下数据：有40%的同学每天使用手机超过1h，这些同学的近视率为40%，每天使用手机不超过1h的同学的近视率为25%．

（1）从该校高一年级的学生中随机抽取1名学生，求其近视的概率；

（2）请完成2×2列联表，通过计算判断能否有99.9%的把握认为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联．

附：，．

19．（12分）在四棱锥P—ABCD中，点E是棱PA上一点，BE⊥PD，，，．

（1）证明：PD⊥平面PAB．

（2）若，，求三棱锥E—PBC的体积．

20．（12分）已知函数，．

（1）当时，求f（x）的单调区间；

（2）设函数2，若g（x）在上存在极值，求a的取值范围．

21．（12分）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

（2）若直线过点且与直线l平行，直线交曲线C于A，B两点，求的值．

23．[选修4-5；不等式选讲]（10分）

已知a，b，c均为正数，且，证明：

（1）；

（2）．

高三数学考试参考答案（文科）

1．C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养．

因为，，所以．

2．A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养．

因为，所以．

3．D【解析】本题考查等比数列的通项公式及求和公式，考查数学运算的核心素养．

由，解得公比，所以．

4．B【解析】本题考查函数的图象和性质，考查逻辑推理与直观想象的核心素养．

因为，所以f（x）是奇函数，排除A，D，当时，，，所以，排除C，故选B．

5．B【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养．

设女生身高频率分布直方图中的组距为，由，得，所以女生身高频率分布直方图中A层次频率为20%，B层次频率为30%，C层次频率为25%，D层次频率为15%，E层次频率为10%．因为男、女生样本数未知，所以A层次中男、女生人数不能比较，即选项A错误；同理，D层次女生在女生样本数中频率与E层次男生在男生样本数中频率相等，都是15%，但因男、女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C错误；设女生人数为n，男生人数为，但因男、女生人数可能不相等，则B层次的学生数为，C层次的学生数为，因为n不确定，所以与可能不相等，即D错误；女生A，B两个层次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为B，C层次的分界点，男生A，B两个层次的频率之和为35%，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B正确．

6．A【解析】本题考查函数的性质，考查直观想象与逻辑推理的核心素养．

因为，所以f（x）是偶函数，当时，是增函数．又因为，所以可化为，解得．

7．D【解析】本题考查三视图，考查直观想象与数学运算的核心素养．

如图，这是所求多面体的直观图，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，所以表面积．

8．C【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算与直观想象的核心素养．

由题意，，因为为奇函数，所以，解得，又，所以当k＝0时，ω取得最小值2．

9．C【解析】本题考查三棱锥中直线与平面所成角的大小，考查直观想象与数学运算的核心素养．

因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC．作BE⊥AC，垂足为E（图略），易知∠BAE是直线AB与平面ACD所成的角，因为，所以．

10．D【解析】本题考查古典概型，考查数据分析与数学运算的核心素养．

设3名男同学分别为A，B，C，2名女同学分别为d，e，从这5人中选3人的情形有（A，B，C），（A，B，d），（A，B，e），（A，C，d），（A，C，e），（A，d，e），（B，C，d），（B，C，e），（B，d，e），（C，d，e），共10种．恰有1名女同学的情形有（A，B，d），（A，B，e），（A，C，d），（A，C，e），（B，C，d），（B，C，e），共6种，则所求概率为．

11．C【解析】本题考查双曲线的性质，考查推理论证能力与数学运算的核心素养．

如图，设，则．又，所以，所以．又，所以，由，得，则，而，则，化简得，所以．

12．A【解析】本题考查分段函数及导数的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．

设，，则，由，得，所以．设，，则，g（k）在[1，3）上单调递减，故．

13．【解析】本题考查平面向量的垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养．

因为，所以，则．

14．58【解析】本题考查等差数列的通项公式，考查数学运算的核心素养．

因为，所以，又，所以公差，从而．

15．3【解析】本题考查抛物线的概念与性质，考查逻辑推理的核心素养．

不妨设B在第一象限，则，，则直线AF的方程为，令，得，由，解得．

16．【解析】本题考查直线与圆，考查直观想象与数学抽象的核心素养．

因为，，所以康威圆的圆心在∠ACB的平分线上，同理可知康威圆的圆心在∠ABC的平分线上，即康威圆的圆心为△ABC的内心．因为，所以，所以△ABC的内切圆的半径，则康威圆的半径．

17．解：（1）因为，

所以，

展开得，所以，

因为，所以．

（2）由（1）知，解得，

因为，由余弦定理得，

即，解得，，

所以△ABC的周长为．

评分细则：

【1】第一问，写出，得2分，写出，累计得4分，第一问全部正确解出，累计得6分．

【2】第二问，用面积公式求出ac＝4，累计得8分，最后求出正确答案，累计得12分．

【3】其他情况根据评分标准按步骤给分．

18．解：（1）该校高一年级近视的学生人数为1000×40%×40%＋1000×60%×25%＝160＋150＝310，

从该校高一年级的学生中随机抽取1名学生，其近视的概率为．

（2）2×2列联表为

，

所以有99.9%的把握认为该校学生每天使用手机的时长与近视率有关联．

评分细则：

【1】第一问，算出高一年级近视的学生数为310，得3分，正确算出所求概率，累计得5分．

【2】第二问，正确填写列联表，累计得8分，算出，近似数位不够，不扣分，累计得11分，正确写出结论累计得12分．

19．（1）证明：取AB的中点F，连接FD，FP，BD．

因为PA＝PB，AB＝AD，∠DAB＝60°，所以AB＝AD＝BD，所以，．

又，所以AB⊥平面PFD，从而AB⊥PD．

因为BE⊥PD，，所以PD⊥平面PAB．

（2）解：连接AC，BD，因为PD⊥平面PAB，所以PD⊥PB，PD⊥PA，又AB＝AD＝BD＝2，所以．设正三棱锥P—ABD的底面三角形的外接圆半径为r，三棱锥P—ABD的高为h，则，．

因为，所以，则．

又，，，

所以．

评分细则：

【1】第一问，证出，，得2分，证出AB⊥PD，累计得3分，第一问全部证完累计得5分．

【2】第二问，求出r，h的值，累计得7分，写出，累计得9分，求出，累计得11分，直至正确求出三棱锥的体积累计得12分．

20．解：（1）当a＝4时，，其定义域为，可得．

当时，，f（x）单调递减；当时，，f（x）单调递增．

所以f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为．

（2）由，，

可得．

设，则，

令，即，解得．

当时，；当时，．

所以h（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间上单调递减，

且，，，

显然，若g（x）在上存在极值，则满足解得，

所以实数a的取值范围为（0，e）．

评分细则：

【1】第一问，写出f（x）的定义域为，得1分，算出，累计得2分，得出f（x）的单调区间，累计得4分．

【2】第二间，求出，累计得5分，求出，累计得6分，得出h（x）的单调区间，累计得8分，算出，，，累计得9分，求出参数a的取值范围，累计得12分．

【3】采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．

21．解：（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，

所以，所以椭圆C的标准方程为．

（2）设，，显然直线l的斜率存在．

直线l的方程为，联立方程组

消去y得，由，得，所以，．

因为点，所以直线AD的方程为．又，

所以直线AD的方程可化为，

即，

所以直线AD恒过点（1，0）．

评分细则：

（方法二）（1）同上（1）．

（2）设，，直线l的方程为，

联立方程组消去x得，

由，得或，所以，．

因为点，则直线AD的方程为．

又，

所以直线AD的方程可化为

，

此时直线AD恒过点（1,0），

当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．

综上，直线AD恒过点（1，0）．

说明：第（2）问还可以先猜想出定点在x轴上，写出直线AD的方程，令y＝0，求出定点坐标为（1，0）后再加以证明，也可以得满分．

22．解：（1）曲线C的普通方程为．

由，得，即，

因为，，所以直线l的直角坐标方程为．

（2）因为直线l的斜率为，所以l的倾斜角为，

所以过点且与直线l平行的直线的方程可设为（t为参数）．

设点A，B对应的参数分别为，，将代入，可得，整理得，则，，，

所以．

评分细则：

【1】第一问，圆的方程没有写成标准方程，不扣分，累计得2分，写出直线l的方程，不管哪种形式，不扣分，累计得4分．

【2】第二问，写出直线的参数方程，累计得6分，联立方程组并写出，，累计得8分，求出，累计得10分．

23．证明：（1）由已知可得，

当且仅当时，等号成立．

又a，b，c均为正数，所以．

（2）因为，

当且仅当时，等号成立，

所以，整理得，

所以，

当且仅当时，等号成立．

评分细则：

（证法二）证明：（1）由柯西不等式得，所以．

因为a，b，c均为正数，所以（当且仅当时，等号成立）．

（2）

，

当且仅当时，等号成立．