上海市行知中学2022届高三上学期开学考试数学试题（Word版含答案）

2021-2022年行知中学高三上开学考

一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1.关于的不等式：的解集是________.

2.向量，，则在方向上的投影为________.

3.复数，若，则________.

4.已知实数满足：，则________.

5.集合，，若，则实数的取值范围是________.

6.函数的值域为________.

7.直线：（、、为常数，且），则直线倾斜角________（结果用反正切表示）.

8.一个棱长为2的正方体容器，将8个直径均为1的球放入容器内，容器正中央能放入的最大的球的直径为________.

9.已知，则________.

10.在直角三角形中，，，，点是外接圆上的任意一点，则的最大值是________.

11.若函数，集合分别满足，，当时，则的取值范围是________.

12.数列满足：，，则通项________.

二、选择题（本大题共4题，满分20分）

13.在“立体几何”知识中：①两直线所成角的取值范围是；②直线与平面所成角的取值范围是；③二面角的平面角取值范围是.在“解析几何”知识中；④直线的倾斜角取值范围是；⑤两直线的夹角取值范围是；在“向量”知识中：⑥两向量的夹角的取值范围是；以上概念叙述正确的是（    ）

A.②①④⑤ B.②③④⑥ C.③④⑤⑥ D.②③④⑤

14.在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（    ）

A.抛物线  B.直线

C.抛物线或直线  D.以上结论均不正确

15.函数的图象分别向左平移个单位，向右平移个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

16.定义域为集合上的函数满足：①、、构成等比数列；②；③；这样的不同函数的个数为（    ）

A.456 B.465 C.546 D.564

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）

17.已知、、是中、、的对边，，，.

（1）求边长；

（2）求的值.

18.已知定义域为的奇函数.

（1）求实数的值，并判断函数在上的单调性（用函数单调性的定义证明）；

（2）函数在上是否存在反函数，若存在，那么对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；若不存在，请说理.

19.已知一大圆锥的底面半径与高都是，在圆锥内部有一个内接的倒置小圆锥，小圆锥的底面半径与高分别为，，且小圆锥的底面平行于大圆锥的底面，小圆锥的顶点位于大圆锥的底面中心.

（1）求圆锥的表面积；

（2）求小圆锥的体积的最大值.

20.已知曲线上一动点到两定点，的距离之和为，过点的直线与曲线相交于点，.

（1）求曲线的方程；

（2）动弦满足：，求点的轨迹方程；

（3）求的取值范围.

21.若数列满足（，且为实常数），，则称数列为数列.

（1）若数列的前三项依次为，，，且为数列，求实数的取值范围；

（2）已知是公比为的等比数列，且，记

.

若存在数列为数列，使得成立，求实数的取值范围；

（3）记无穷等差数列的首项为，公差为，证明：“”是“为数列”的充要条件.

2021-2022年行知中学高三上开学考参考答案

1.【解析】，故解集为.

2.0【解析】因为，所以在方向上的投影为0.

3.5【解析】由题意得，则，解得，则.

4.【解析】因为，所以.

5.【解析】，若，

当时，，所以，

当时，，所以，

综上，实数的取值范围是.

6.【解析】，所以且，

所以函数的值域为.

7.【解析】斜率，所以直线倾斜角.

8.【解析】将原正方体分为8个棱长为1的小正方体，则每个小正方体都有一个直径为1的球，原正方体的中心为每个小正方体的中心到原正方体的中心的距离为，又小正方体的中心到球表面的距离为，所以原正方体的中心到球的表面的最远距离为，所以正中央空间能放下的最大的球的直径为.

9.0【解析】因为，所以，令，则，所以，所以，所以，所以.

10.45【解析】法一：如图建系，则，，，

由题意得点在以中点为圆心，

半径为的圆上，设，

所以，

故的最大值是45.

法二：

，

当时，，所以.

11.【解析】设，所以，

所以，即，故，故，

，

当时，成立；

当时，，不是的根，故，解得，

综上所述，，所以的取值范围是.

12.【解析】由题意得，

当时，，又，

所以，，，，…，，累乘得，

则.

13.B【解析】①错误，；②正确；③正确；④正确；⑤错误，；⑥正确；故选B.

14.C【解析】由题意得该动点到定点和定直线距离相等，

当定点不在定直线上时，动点的轨迹是抛物线；

当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线；

故选C.

15.C【解析】将函数的图象向左平移个单位，

得函数，

因为其图象与的图象重合，

所以，取的最小值为；

将函数的图象向右平移个单位，

得到函数，

因为其图象与的图象重合，

所以，取的最小值为，

所以的最小值为，故选C.

16.C【解析】的取值的最大值为，最小值为，并且成以2为公差的等差数列，

故的取值为8，6，4，2，0，，，.

的取值为14，12，10，8，6，4，2，0，，，，，，，

所以能使中的、、成等比数列时，

、、的取值只有两种情况：

①、、；②、、.

，或，

即得到后项时，把前项加1或者把前项减1.

（1）当、、时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，

第一步：从变化到，第二步：从变化到.

从变化到时有7次变化，函数值从1变化到2，

故应从7次中选择4步加1，剩余的3步减1.对应的方法数为种.

从变化到时有6次变化，函数值从2变化到4，

故应从6次变化中选择4步加1，剩余2步减1，对应的方法数为种.

共有种方法.

（2）当、、时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步，变化到，第二步：从变化到.

从变化到时有7次变化，函数值从1变化到，

故应从7次中选择2步加1，剩余的5步减1，对应的方法数为种.

从变化到时有6次变化，函数值从变化到4，

故应从6次变化中选择6步加1，对应的方法数为种.

共有种方法.

综上，满足条件的共有种，故选C.

17.解：（1）在中，由余弦定理得，，………………2分

即，………………………………4分

整理得，…………………………………………6分

解得；…………………………………………………………7分

（2）在中，由余弦定理得，……………………9分

得，……………………………………………………11分

.……………………………………14分

，又，，

所以，

易得，，所以，所以.

18.解：（1）由题意得，所以，在上单调递增，证明略；

（2）因为函数在上单调递增，所以在反函数，

因为是奇函数，在上单调递增，值域为，

所以是奇函数，在上单调递增，

恒成立，

因为，所以.

19.解：（1）圆锥的母线，所以圆锥的表面积为；

（2）小圆锥的底面半径为，高为，由，得，

小圆角的体积.

当且仅当，即，时，小圆锥体积的最大值为.

20.解：（1）因为动点到两定点，的距离之和为，

所以曲线是以，为焦点的椭圆，，，

所以，，所以曲线的方程为；

（2）因为，所以为中点，设，

当的斜率存在且不为0时，由点差法得（过程略），

所以，所以，整理得；

当的斜率不存在或为0时，或，出满足；

所以点的轨迹方程是；

（3），

其中，，分别为点到直线：的距离，

因为点的轨迹方程为，设，，

则可设，

所以

，其中，

所以.

21.解：（1）由，得，故实数的取值范围是；…………………4分

（2）由为数列，得，………………………………6分

①当时，，

故，

从而，，

所以当时，；………………………………9分

②当时，，

故，

从而，，

所以当时，；……………………………………11分

（3）（必要性）当为数列时，，

故数列的所有项都同号，…………12分

由，得，即，……………………13分

若，不妨设，，

则当充分大时，，

与数列的所有项都同号矛盾，故，

综上，；…………………………………………14分

（充分性）当时，由，得，

故数列的所有项都同号，且，…………………………15分

故，

即，

于是，…………………………16分

另一方面，，……………………17分

故，即为数列.…………………………18分