上海市行知中学2022届高三上学期开学考试数学试题(Word版含答案)
展开2021-2022年行知中学高三上开学考
一、填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)
1.关于的不等式:的解集是________.
2.向量,,则在方向上的投影为________.
3.复数,若,则________.
4.已知实数满足:,则________.
5.集合,,若,则实数的取值范围是________.
6.函数的值域为________.
7.直线:(、、为常数,且),则直线倾斜角________(结果用反正切表示).
8.一个棱长为2的正方体容器,将8个直径均为1的球放入容器内,容器正中央能放入的最大的球的直径为________.
9.已知,则________.
10.在直角三角形中,,,,点是外接圆上的任意一点,则的最大值是________.
11.若函数,集合分别满足,,当时,则的取值范围是________.
12.数列满足:,,则通项________.
二、选择题(本大题共4题,满分20分)
13.在“立体几何”知识中:①两直线所成角的取值范围是;②直线与平面所成角的取值范围是;③二面角的平面角取值范围是.在“解析几何”知识中;④直线的倾斜角取值范围是;⑤两直线的夹角取值范围是;在“向量”知识中:⑥两向量的夹角的取值范围是;以上概念叙述正确的是( )
A.②①④⑤ B.②③④⑥ C.③④⑤⑥ D.②③④⑤
14.在平面上,一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1,则动点的轨迹是( )
A.抛物线 B.直线
C.抛物线或直线 D.以上结论均不正确
15.函数的图象分别向左平移个单位,向右平移个单位,所得到的两个图象都与函数的图象重合,则的最小值为( )
A. B. C. D.
16.定义域为集合上的函数满足:①、、构成等比数列;②;③;这样的不同函数的个数为( )
A.456 B.465 C.546 D.564
三、解答题(本大题共有5题,满分76分)
17.已知、、是中、、的对边,,,.
(1)求边长;
(2)求的值.
18.已知定义域为的奇函数.
(1)求实数的值,并判断函数在上的单调性(用函数单调性的定义证明);
(2)函数在上是否存在反函数,若存在,那么对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围;若不存在,请说理.
19.已知一大圆锥的底面半径与高都是,在圆锥内部有一个内接的倒置小圆锥,小圆锥的底面半径与高分别为,,且小圆锥的底面平行于大圆锥的底面,小圆锥的顶点位于大圆锥的底面中心.
(1)求圆锥的表面积;
(2)求小圆锥的体积的最大值.
20.已知曲线上一动点到两定点,的距离之和为,过点的直线与曲线相交于点,.
(1)求曲线的方程;
(2)动弦满足:,求点的轨迹方程;
(3)求的取值范围.
21.若数列满足(,且为实常数),,则称数列为数列.
(1)若数列的前三项依次为,,,且为数列,求实数的取值范围;
(2)已知是公比为的等比数列,且,记
.
若存在数列为数列,使得成立,求实数的取值范围;
(3)记无穷等差数列的首项为,公差为,证明:“”是“为数列”的充要条件.
2021-2022年行知中学高三上开学考参考答案
1.【解析】,故解集为.
2.0【解析】因为,所以在方向上的投影为0.
3.5【解析】由题意得,则,解得,则.
4.【解析】因为,所以.
5.【解析】,若,
当时,,所以,
当时,,所以,
综上,实数的取值范围是.
6.【解析】,所以且,
所以函数的值域为.
7.【解析】斜率,所以直线倾斜角.
8.【解析】将原正方体分为8个棱长为1的小正方体,则每个小正方体都有一个直径为1的球,原正方体的中心为每个小正方体的中心到原正方体的中心的距离为,又小正方体的中心到球表面的距离为,所以原正方体的中心到球的表面的最远距离为,所以正中央空间能放下的最大的球的直径为.
9.0【解析】因为,所以,令,则,所以,所以,所以,所以.
10.45【解析】法一:如图建系,则,,,
由题意得点在以中点为圆心,
半径为的圆上,设,
所以,
故的最大值是45.
法二:
,
当时,,所以.
11.【解析】设,所以,
所以,即,故,故,
,
当时,成立;
当时,,不是的根,故,解得,
综上所述,,所以的取值范围是.
12.【解析】由题意得,
当时,,又,
所以,,,,…,,累乘得,
则.
13.B【解析】①错误,;②正确;③正确;④正确;⑤错误,;⑥正确;故选B.
14.C【解析】由题意得该动点到定点和定直线距离相等,
当定点不在定直线上时,动点的轨迹是抛物线;
当定点在定直线上时,动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线;
故选C.
15.C【解析】将函数的图象向左平移个单位,
得函数,
因为其图象与的图象重合,
所以,取的最小值为;
将函数的图象向右平移个单位,
得到函数,
因为其图象与的图象重合,
所以,取的最小值为,
所以的最小值为,故选C.
16.C【解析】的取值的最大值为,最小值为,并且成以2为公差的等差数列,
故的取值为8,6,4,2,0,,,.
的取值为14,12,10,8,6,4,2,0,,,,,,,
所以能使中的、、成等比数列时,
、、的取值只有两种情况:
①、、;②、、.
,或,
即得到后项时,把前项加1或者把前项减1.
(1)当、、时,将要构造满足条件的等比数列分为两步,
第一步:从变化到,第二步:从变化到.
从变化到时有7次变化,函数值从1变化到2,
故应从7次中选择4步加1,剩余的3步减1.对应的方法数为种.
从变化到时有6次变化,函数值从2变化到4,
故应从6次变化中选择4步加1,剩余2步减1,对应的方法数为种.
共有种方法.
(2)当、、时,将要构造满足条件的等比数列分为两步,第一步,变化到,第二步:从变化到.
从变化到时有7次变化,函数值从1变化到,
故应从7次中选择2步加1,剩余的5步减1,对应的方法数为种.
从变化到时有6次变化,函数值从变化到4,
故应从6次变化中选择6步加1,对应的方法数为种.
共有种方法.
综上,满足条件的共有种,故选C.
17.解:(1)在中,由余弦定理得,,………………2分
即,………………………………4分
整理得,…………………………………………6分
解得;…………………………………………………………7分
(2)在中,由余弦定理得,……………………9分
得,……………………………………………………11分
.……………………………………14分
,又,,
所以,
易得,,所以,所以.
18.解:(1)由题意得,所以,在上单调递增,证明略;
(2)因为函数在上单调递增,所以在反函数,
因为是奇函数,在上单调递增,值域为,
所以是奇函数,在上单调递增,
恒成立,
因为,所以.
19.解:(1)圆锥的母线,所以圆锥的表面积为;
(2)小圆锥的底面半径为,高为,由,得,
小圆角的体积.
当且仅当,即,时,小圆锥体积的最大值为.
20.解:(1)因为动点到两定点,的距离之和为,
所以曲线是以,为焦点的椭圆,,,
所以,,所以曲线的方程为;
(2)因为,所以为中点,设,
当的斜率存在且不为0时,由点差法得(过程略),
所以,所以,整理得;
当的斜率不存在或为0时,或,出满足;
所以点的轨迹方程是;
(3),
其中,,分别为点到直线:的距离,
因为点的轨迹方程为,设,,
则可设,
所以
,其中,
所以.
21.解:(1)由,得,故实数的取值范围是;…………………4分
(2)由为数列,得,………………………………6分
①当时,,
故,
从而,,
所以当时,;………………………………9分
②当时,,
故,
从而,,
所以当时,;……………………………………11分
(3)(必要性)当为数列时,,
故数列的所有项都同号,…………12分
由,得,即,……………………13分
若,不妨设,,
则当充分大时,,
与数列的所有项都同号矛盾,故,
综上,;…………………………………………14分
(充分性)当时,由,得,
故数列的所有项都同号,且,…………………………15分
故,
即,
于是,…………………………16分
另一方面,,……………………17分
故,即为数列.…………………………18分
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