宁夏青铜峡市宁朔中学2022-2023学年高三上学期开学考试数学（理）试题（Word版含答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合，，则=（       ）

A． B． C． D．

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

3．已知命题p：，；命题q：，，则（       ）

A．是假命题B．是真命题C．是真命题D．是真命题

4．函数的定义域为（       ）

A． B． C． D．

5．下列命题中，真命题是（       ）

A．“”是“”的必要条件     B．，

C．                      D．的充要条件是

6．下列函数是偶函数且在上单调递增的为（       ）

A． B． C． D．

7．下列函数中，值域是的是（　　）

A．y=2x+1(x>0)     B．y=x2         C．      D．y=

8．若函数在上是减函数，则实数m的取值范围是（       ）

A．         B．        C．       D．

9．已知奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足xf(x)<0的x的取值范围是(　　)A．(－∞，－2)∪(0，2)   B．(－2，0)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)  D．(－2，0)∪(0，2)

10．函数的单调递增区间是（       ）

A． B． C． D．

11．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f(x－1)－1    B．f(x－1)＋1    C．f(x＋1)－1    D．f(x＋1)＋1

12.已知函数，则使不等式成立的x的取值范（    ）A．  B．   C．   D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于__________．

14．已知函数，则不等式的解集为__________．

15.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：

①f(x)是周期函数；②f(x)的图象关于直线x＝1对称；

③f(x)在[1，2]上是减函数；④f(2)＝f(0)．

其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)

16.若f(x)＝xln (x＋)为偶函数，则实数a＝________．

三、解答题（本大题共6道题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．(本小题10分)

已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)＝f(3)＝5.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，求实数m的取值范围．

18.(本小题12分)

已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线交曲线于，两点．

（1）求曲线与曲线的直角坐标方程；

（2）试判断曲线与曲线公共点的个数．

19．(本小题12分)

在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．

20．(本小题12分)

设函数.

(1)求不等式的解集；

(2)画出图像，求函数最小值.

21．(本小题12分)

已知

（1）解不等式；

（2）若恒成立，求的取值范围.

22．(本小题12分)

以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.

一、选择题

二、填空题

13．已知f＝2x＋3，f(m)＝6，则m等于(－)

14.已知函数，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.

【详解】当时，，解得，于是得：，

当时，，解得，于是得，

所以的解集为．

故答案为：

15．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在[－1，0]上是增函数，给出下列几个命题：

①f(x)是周期函数；

②f(x)的图象关于直线x＝1对称；

③f(x)在[1，2]上是减函数；

④f(2)＝f(0)．

其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)

答案　①②③④

解析　由题意得f(0)＝0.因为f(x)在[－1，0]上为增函数，且f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以周期T＝4，即f(x)为周期函数．f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为f(x)在[0，1]上为增函数，又关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数．由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．

16.若f(x)＝xln (x＋)为偶函数，则实数a＝________．

答案　1

解析　因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)＝0恒成立，所以－xln (－x＋)－xln (x＋)＝0恒成立，所以xln a＝0恒成立，所以ln a＝0，即实数a＝1.

17．已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)＝f(3)＝5.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，求实数m的取值范围．

解　(1)因为二次函数f(x)中f(1)＝f(3)，所以其图象的对称轴为直线x＝2.

又二次函数f(x)的最小值为3，故可设f(x)＝a(x－2)2＋3(a>0)，

所以f(1)＝a(1－2)2＋3＝a＋3＝5，

解得a＝2，

所以f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11.

(2)y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方等价于2x2－8x＋11>2x＋2m＋1，即m<x2－5x＋5恒成立．

因为y＝x2－5x＋5＝－≥－，

所以m<－，即实数m的取值范围为.

18.．已知在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线交曲线于，两点．

（1）求曲线与曲线的直角坐标方程；

（2）试判断曲线与曲线公共点的个数．

【答案】（1）；；（2）公共点的个数为．

【分析】（1）利用极坐标转化公式，对曲线和曲线的极坐标进行转化，即可求出结果；

（2）根据（1）的直角坐标方程，将其联立，求解，即可判断曲线与曲线公共点的个数．

【详解】解：（1），

，，

即曲线的直角坐标方程为

，即曲线的直角坐标方程为．

（2）据（1）求解，得，

解得或，

所以曲线与曲线公共点的个数为．

19．在平面直角坐标系中，已知直线：（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为，直线l与曲线C的交点为A，B，求的值．

【答案】(1)

(2)

【解析】(1)

由,得.

两边同乘,即.

由,得曲线的直角坐标方程为

(2)

将代入,得,

设A,B对应的参数分别为

则

所以.

由参数的几何意义得

20．设函数.

(1)求不等式的解集；

(2)画出图像，求函数最小值.

【答案】(1)

(2)图见解析，1

【分析】（1）按，，分类讨论，画出图象，观察即可得的解集；

（2）由图像可知的最小值.

(1)

如图所示，

当时，解得；由解得，

由图可知不等式的解集为

(2)

由图可知当时，，

21．已知

（1）解不等式；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】(1）(2)

【分析】（1）对的范围分类，去绝对值，再解不等式组即可

（2）分段作出函数的图象，结合图像求解．

【详解】（1），不等式可化为：或或，解得：或或，综上：

（2）作出的图像如下图：

要使得恒成立，则，即：

22．以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程为，（为参数，），曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）设直线与曲线相交于，两点，当变化时，求的最小值.

【答案】（1）（2）2

【详解】试题分析：（1）本问考查极坐标与直角坐标互化公式，根据可得，所以曲线C的直角坐标方程为 ；（2）本问考查直线参数方程标准形式下的几何意义，即将直线参数方程的标准形式，代入到曲线C的直角坐标方程，得到关于t的一元二次方程，设两点对应的参数分别为，列出，，，于是可以求出的最小值.

试题解析：（I）由由，得

曲线的直角坐标方程为

（II）将直线的参数方程代入，得

设两点对应的参数分别为则，，

当时，的最小值为2.

考点：1.极坐标方程；2.参数方程.