北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念优秀一课一练

1.1周期性北师大版（   2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 设的定义域为，是奇函数，是偶函数，则(    )

A.  B.  C.  D. 不确定

2. 已知函数为定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图像关于轴对称，则(    )

A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 是一个周期 D. 关于直线对称

4. 定义在上的函数满足为偶函数，且若，则．(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知是定义在上的奇函数，，恒有，且当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则(    )

A. 是偶函数 B.
C.  D.

7. 已知是定义域在上的奇函数，且满足，则下列结论错误的是(    )

A.
B. 函数的图象关于直线对称
C.
D. 若，则

8. 已知是定义域为的奇函数，满足，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是(    )

A. 的图象关于直线对称
B. 当时，
C. 当时，单调递增
D.

10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则下列说法正确的是(    )

A. 是偶函数 B. 是周期函数
C.  D. 时，

11. 已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是(    )

A. 是奇函数 B.
C. 的图像关于对称 D.

12. 已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则          ．
14. 已知定义在上的函数满足，且函数的图象关于对称，则             ．
15. 奇函数定义域为，且函数为偶函数，若，则          ．
16. 已知函数的最小正周期为，当时，若，则满足的所有取值的和为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分

已知定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，是它的一个周期，且的图象关于点对称．

试给出满足上述条件的一个函数，并加以证明；

若，，写出的解析式和单调递增区间．

18. 本小题分

如图放置的边长为的正方形沿轴滚动设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点的运动轨迹，并讨论是否为周期函数如果是，指出周期如果不是，请说明理由．

说明：“正方形沿轴滚动”包括沿轴正方向和沿轴负方向滚动沿轴正方向滚动是先以顶点为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点为中心顺时针旋转，如此继续类似地，正方形可以沿轴负方向滚动．

19. 本小题分

已知是定义在上且满足的函数．

如果时，有，求的值；

如果时，有，若，求的取值范围；

如果在上的值域为，求在的值域．

20. 本小题分
    已知，且，则，得的一个周期为，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期：

已知为正常数，，且，求的一个周期；

已知为正常数，，且，求的一个周期．

21. 本小题分

定义在上的函数满足，当时，；当时，，求的值．

22. 本小题分

设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，．

当时，求的解析式；

计算．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用，属于中档题．

【解答】

解：因为为奇函数，所以，
因为为偶函数，所以，
由，得，则，
所以，则，即的周期为，
所以，，
由，当时，得，
当时，，则，
由，当时，得，

．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性以及周期性．
由题意得函数是以为周期的周期函数，即可得解．

【解答】

解：由于为偶函数，则满足，则有，
又由为上的奇函数，则，
则有，即函数是以为周期的周期函数，
则，
故选：．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性、周期性和对称性，属于中档题．
利用函数的奇偶性定义可判断；利用奇函数定义及周期函数的定义可判断利用函数的周期性和对称性可判断．

【解答】

解：对于，根据题意，是定义域为的奇函数，，
则关于点中心对称，
是定义域为的偶函数，，则关于对称，
又与的图像关于轴对称，则关于对称，所以关于原点中心对称，
故是奇函数，故A正确．
对于，是奇函数，且与的图像关于轴对称，故是奇函数，故B错误；
对于，是定义域为的奇函数，则，
关于对称，故，可得，联立得，
故，可得，故，
函数是周期为的周期函数，由题意可得出是函数的周期，故C错误；
对于，因为是函数的周期，关于点中心对称，
所以是的对称中心，关于轴对称为为的对称中心，故D错误；

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了偶函数定义的应用，函数周期性定义的运用，考查了逻辑推理能力、转化化归能力与化简运算能力，属于中档题．
利用已知的恒等式结合赋值法，求出函数的周期性，结合为偶函数，利用赋值法求出的值，然后由周期性，将转化为，即可得到答案．

【解答】

解：因为为偶函数，则，
因为，则，
可得，，则，
故函数的周期为，
在中，令，则，
在中，令，则，即，
又，所以，
所以．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数奇偶性、周期性的应用，属于中档题．
依题意，得是周期为的周期函数，由已知条件和奇函数的性质求得，，，，利用函数的周期性即可求得结果．

【解答】

解：，
，
是周期为的周期函数，
是定义在上的奇函数，且当时，，
，，，，
，
又是周期为的周期函数，

．
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的周期性和对称性，以及函数奇偶性的综合应用，属中档题．
根据题意，得出函数的周期，进行求解即可．

【解答】

解：由题意，是奇函数，是偶函数，
由奇函数条件得，
由偶函数条件得，所以，
，可推出
则，即周期为，不正确
另一方面，即，即是偶函数，A正确．
所以，，不能得到的值，不正确
，不能得到的值，不正确．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数性质的综合应用，解题的关键是函数性质的灵活应用，属于中档题．

【解答】

解：由，，即图象关于对称，关于原点对称，B错误
所以，
所以，C正确
又， A正确
若，则，D正确．
故选：．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性及周期性，属于中档题．
利用已知条件求出函数的周期，即可得解．

【解答】

解：由题意，是定义域为的奇函数，满足，
可得，
则，
函数是周期为的周期函数，
又，，
，
．
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的单调性、周期性等基本性质，属于中档题．

【解答】

解：因，则有函数图象关于直线对称，A正确
由得，
又上的函数满足，因此有，
于是得函数是周期为的周期函数，
当时，，则，不正确
当时，，因此在上单调递增，C正确
函数是周期为的周期函数，则，D正确．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查的是函数的周期性与奇偶性的知识，属于中档题．

【解答】

解：由于定义在上的函数满足，
则是偶函数，且是周期为的周期函数，，B正确，
，
因为当时，，所以，C错误，
由，则，，
故时，，D错误．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查单调性，奇偶性的综合应用，函数的对称性，以及周期函数的有关知识，属于中档题．
根据题设有、，进而可得，即可判断的对称性、奇偶性，再由周期性、奇偶性求，最后结合在上的单调性及对称性和周期性判断上的单调性，比较函数值大小．

【解答】

解：由题设，，即，则关于对称，C正确；

，即，关于对称，

所以，即周期为，

且，即为偶函数，A错误；

则，B正确；

又，且，都有，即在上单调递增，

又关于对称，则上单调递减，故，D正确．

故本题选BCD．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

根据是上的偶函数，是上的奇函数即可得出，，从而可知的周期为，再根据时的解析式即可求出，，和的值．
本题考查了奇函数和偶函数的定义，已知函数求值的方法，周期函数的定义，考查了计算能力，属于一般题．

【解答】

解：是偶函数，是奇函数，
，
，，
的周期为，
又当时，，
，，
，
．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，关键是分析函数的周期，属于综合题．
根据题意，分析可得，则函数的周期为，据此可得，结合函数的解析式可得和的值，进而由，可得关于的方程，解可得的值，即可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数满足，即，变形有，
又由为奇函数，则，
则有，
故函数的周期为，则，
当时，，则，
又由，令可得，，
则有，
又由函数的图象关于原点对称，即为奇函数，则，
若，则有，变形可得，
故答案为：．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查抽象函数及其应用，属于中档题．
由，得到，则为周期为的函数，再由的图象关于对称，得到，运用周期，化简，即可得到答案．

【解答】

解：，即，
则，
则为周期为的函数，
由于的图象关于对称，
则的图象关于对称，
即有，则
则，
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抽象函数的求值，涉及函数周期性、奇偶性的性质和应用，属于基础题．
根据题意，利用函数的奇偶性和对称性可得，变形可得，，则有，又由变形可得，即函数的周期为，由此分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数为奇函数，则，
又由为偶函数，则函数的图象关于对称，则有，
即，
则有，，
故，
又由，即，
所以，即函数的周期为，
故．
故答案为：．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

先求出时得到对应的变量的值；再结合其周期即可求出所有满足的取值的和．
本题主要考查函数的周期以及二次函数的性质，是对知识的综合考查，属于中档题．

【解答】

解：在函数的一个周期内，即时，
，
又因为，
所以，且当且仅当时取得．
在内共有个周期，
且每个周期内的取奇数时的函数值为，
故所有的值之和为：．
故答案为：．
 

17.【答案】解：证明如下：

因为函数的定义域为，且，
所以是偶函数．

因为，
所以是函数的一个周期．

设在函数的图象上，则，
设关于点的对称点为，
则得到
又因为，
所以点也在函数的图象上，所以的图象关于点对称．

综上，是满足题设的一个函数．

因为当时，，且函数的图象关于点对称，
所以当时，，所以，
因为的一个周期为，
所以的解析式为
因为当时，的单调递增区间为，

又的一个周期为，所以在上递增，
又在上递增，所以在上递增，
所以的单调递增区间为．

【解析】本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性，属于中档题．
 

18.【答案】解：点从轴上开始运动的时候，首先是围绕点运动个圆，该圆半径为，然后以点为中心，滚动到点落地，其间是以为半径，旋转，然后以为圆心，再旋转，这时候以为半径，因此最终构成图象如下：

周而复始，通过图象可知函数是周期函数，周期为． 

【解析】本题考查了根据实际问题选择函数模型，考查了数形结合的解题思想方法，
由题意，画出函数图象，可得周期．
 

19.【答案】解：，得是周期为的函数，
；

若，则，

；

因为在上的值域为，

所以在上的值域为，
又是周期为的函数，故在上的值域为，

所以在上的值域为．

【解析】本题考查抽象函数的问题，值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于中档题．
由，得函数的周期是；
推导出，从而求出结果；
由，则，代入到中即可；
由在上的值域，得在上的值域，即可得答案．
 

20.【答案】解：，

，
即

函数的周期是．

，
，
，，
，

的周期为．

【解析】本题主要考查类比推理及其应用，函数的周期性的求解，属于中等题．

由题意结合所给的函数关系整理计算即可确定函数的周期；

由题意结合所给的函数关系整理计算即可确定函数的周期．

21.【答案】解：因为，所以周期．

因为当时，；

当时，，

所以，，，，

，，

所以，

所以．

【解析】本题考查函数值的求法以及周期性的应用，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
推导出，，，，，，由此，由此能求出的值．
 

22.【答案】解：将中的用代换得，
又，

得，
将用替换得，
所以，
所以以为周期，
在的解析式为，
向右移个单位得

，，，，
由周期是知．

【解析】本题主要考查函数值的计算，根据函数周期性的定义以及函数奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．
根据函数周期性的定义即可证明是周期函数，再根据函数奇偶性和周期性的关系即可求出当时的解析式．

根据函数的周期性先计算一个周期内的函数值之和，即可计算的值．