2020-2021学年1.1 位移、速度、力与向量的概念精品习题

2.3从速度的倍数到向量的乘积北师大版（  2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在平行四边形中，，，，若，分别是边，上的点，且满足，则的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在复平面内的平行四边形中，对应的复数是，对应的复数是，则对应的复数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 在中，的角平分线交于，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在平行四边形中，，若交于点且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 在中，点是上一点，是的中点，与的交点为，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：；丁：如果只有一个假命题，则该命题为．(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 外接圆的半径为，圆心为，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，是的中点，若，则实数的值是(    )

A.
B.
C.
D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 如图，在梯形中，，，与相交于点，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 在中，，，分别是边，，中点，下列说法正确的是(    )

A.
B.
C. 是的平分线所在直线的方向向量
D. 若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为

11. 已知中，，，若与交于点，则(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图，在四边形中，，，，是边上一点，且，是的中点，则下列关系式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若点是内的一点，且满足，则          ．
14. 平面上不共线的四点、、、满足，则          ．
15. 在梯形中，，，设，，则          用向量表示
16. 在中，，，是边上的中线，则_______

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    如图，已知的面积为，、分别为边、上的点，且：：：，与交于设存在和使，，，．
    求及；
    用，表示；
    求的面积．

18. 本小题分
    如图，，，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为．
     

用，表示向量

若，，且点为线段的中点，求的值．

19. 本小题分

如图，在平行四边形中，若，，，点，分别落在边，上，且．

以为基底分别表示，；

求的值．

20. 本小题分

已知三个非零向量，，满足条件，试问表示它们的有向线段是否一定能构成三角形，，满足什么条件才能构成三角形

21. 本小题分
    如图，，不共线，是直线上的动点，证明：存在实数，，使得，并且．
     

用向量法证明下列结论：三角形的三条中线交于一点．

22. 本小题分
    如图，在中，，，，点在线段上，且．
    
     

求的长

求．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的加法、减法、数乘运算，属于常考题．
由三角形相似可得，，，从而求出向量．

【解答】

解：依题意在平行四边形中，，
又是的中点，与交于点，所以∽，所以，
所以，
所以．
故选：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的几何意义及平面向量的数量积．
用、表示出、，再利用数量积公式计算即可．

【解答】

解：如图所示：

设
则有

，


，
当有最大值为．
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查向量的加法、减法、数乘运算，复数的代数表示及复数的四则运算相关知识．
先由向量的加减运算法则可得，，求得，将相应的复数代入计算即可．
【解答】
解：由题意可知，依据向量的平行四边形法则可得，，
根据上面计算可得，
由对应的复数是，对应的复数是，
依据复数加减法的几何意义可得对应的复数是．
故选D．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法、减法、数乘运算，涉及正弦定理的应用，属于中档题．
由若根据正弦定理可得，可得可得结论．

【解答】

解：因为，，
所以由正弦定理，，
得，
所以，
可得，
．
故选C．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

此题考查平面向量的线性运算，属于中档题．

根据已知找到相似三角形，用向量、表示向量．

【解答】

解：如图，平行四边形中，，，

，

，

即，

故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的运算，属于中档题．
若甲是真命题：由，可得，可得设，，，可求得，进而可得，，知，甲是真命题，可得乙丙为真命题，丁为假命题可得结论．

【解答】

解：若甲是真命题：由，所以，即，
所以，即是的一个三等分点靠近点，所以
又因为，，三点共线，设，
所以，
又，
故，解得：即，所以，，故此时是的中点，即，
甲和丙真假相同，因此甲丙都是真命题，那么可以推导出乙为真命题，丁为假命题．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量在几何中的应用、向量的数量积，向量的加法、减法、数乘运算等基本知识．求出为直角三角形及三边长，是解题的关键，属于中档题．
利用向量的运算法则将已知等式化简得到，得到为外接圆的直径，故为直角三角形，求出三边长可得的值，利用两个向量的数量积的定义求出的值．

【解答】

解：，
，
．
，，共线，为圆的直径，如图，

．
，
，，，故．
则．
故选B．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面向量的加减数乘运算，平面向量的基本定理，属于中档题．
根据题意得到，利用进行转化得到，求得结果．
【解答】
解：因为是的中点，所以，
所以
，
因为，
所以．
故选C．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法、减法，平面向量的基本定理及其应用，属于中档题．
由题意，对选项逐一判断即可．

【解答】

解：对于，由图，，
又，，
，故A正确；
对于，，而，
，故B正确；
对于，，，
∽且，
，，故C正确；
对于，，，
∽且，

，故D错误．
故选ABC．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的线性运算，数形结合为解决本题的关键，属于中档题．
对选项A，，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确对选项C，根据单位向量即可判断C正确对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确．

【解答】

解：如图所示：

对选项A，，故A错误．

对选项B，

，故B正确．

对选项C，，分别表示与，同向的单位向量，

由平面向量加法可知C正确；

对选项D，如图所示：

因为在上，即三点共线，

设，．

又因为，所以．

因为，则，．

令，

当时，取得最大值为故选项D正确．

故选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的加法，减法，数乘运算，平面向量的基本定理，属于中档题．
由题意得出，判断出A正确，B错误；设为中点，连接，，由中位线的性质得出，即可判断C错误，D正确．

【解答】

解：，故A正确；
设为中点，连接，，则，又，则为中点，所以，
所以，则，故C错误；
因为，所以，故D正确．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法、减法、数乘运算，属于基础题．

根据向量的线性运算，即可判断各选项的真假．

【解答】

解：对于，因为，
因为，所以，所以A正确；

对于，因为，
而，代入可得，，所以B正确；

对于，因为，
而，代入得，，C正确；

对于，因为，而，
所以，所以不正确．

故选ABC．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，解题的关键是确定三角形的面积，属于中档题．
取中点，连接，可得是三角形的重心，连接并延长，交于，又可得两个三角形同底上的高之比为，即可求得结论．

【解答】

解：取中点，连接，

则，
因为，
，

所以是的重心，
连接并延长，交于，
则：，
设中边上的高为，中边上的高为，
则，
故．
故答案为．

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的加法、减法、数乘运算和平面向量共线的充要条件，由，可得，则在线段上，且，即可得出结果．

【解答】

解：因为平面上不共线的四点、、、满足，
所以，即，
所以，则在线段上，且，
所以，
故答案为．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的表示和基本运算，解答本题的关键是知道向量的几何意义，属于基础题．
先得出，再代入求解．

【解答】

解：如图，设为线段的中点，

则，
所以，
所以，
故答案为．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查向量的模和平面向量数量积的运算，属于中档题．
由已知中为边上的中线，根据向量加减法的三角形法则和平行四边形法则，可得，，再由向量的数量积可得答案．
【解答】
解：为中边上的中线，，
，
，，

，
故答案为．  

17.【答案】解：由于，，则，
，，，，
， ， ，
由得，．
．
设底边上的高为，底边上的高为，
，，
设底边上的高为，底边上的高为，
，，
所以 

【解析】本题考查向量数乘的运算和几何意义，把三角形的面积之比转化为向量的长度比，属于中档题．
根据，用基底、 表示出再根据，用基底、 表示出这两种表示方式是相同的，由此求出及；
把用来表示，把中的结果代入可得用基底、 表示的；
根据面积之比等于对应的向量的长度比求出和的面积，用的面积减去和的面积即得的面积．
 

18.【答案】解：由题意可得，是的中位线，

故有．

由知，，
当点为线段的中点，，
又，，
，
，
．
 

【解析】本题主要考查两个向量的数量积的运算，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于中档题．
得到为中位线，表示出，得到答案；
由知，，，再由，运算求得结果．
 

19.【答案】解：在平行四边形中，，
，
，，
，，
；
，，，
，
． 

【解析】本题考查平面向量的线性运算，平面向量的基本定理，向量的数量积，属于基础题．
由平面向量的线性运算，由表示，，；
由向量的数量积表示，由向量数量积的运算律求．
 

20.【答案】解：三个非零向量，，满足条件，它们的有向线段不一定能构成三角形．如图所示，当三个向量中没有共线向量时，
作平行四边形，
使得 ，，
则，
，
，
，
因此表示，，的有向线段能构成三角形．
当三个向量中有共线向量时，它们的有向线段不能构成三角形． 

【解析】本题考查了向量加法的平行四边形法则，属于中档题．
分三个向量中没有共线向量和有共线向量进行讨论，结合向量的线性运算即可得解．
 

21.【答案】解：因为是直线上的动点，
所以不妨设为实数，
则，
，
令，，
则有，并且．
所以存在实数，，使得，并且．

如图，中，、、分别是边、、的中点，
求证：、、交于一点．
证明：不妨设、交于一点，连接，
因为、、分别是边、、的中点，
所以，，
，
根据的结论得，
在中，，，，为实数．
在中，，，，为实数．
所以解得
所以，
即，  ，、、三点共线，
所以、、交于一点． 

【解析】本题考查平面向量的线性运算和共线定理，属于一般题．
设为实数，由平面向量的线性运算得，令，，即可求证存在实数，，使得，并且．
先求得，再利用的结论求得，得到、、三点共线，即可求证、、交于一点．
 

22.【答案】解：设，，
则，

，故AD．
因为
． 

【解析】本题考查向量的加减与数乘混合运算，利用向量的数量积求向量的模与向量的夹角，属于中档题．
设，，求出，可得计算可得；
计算可得．