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2.6平面向量的应用北师大版（2019）高中数学必修第二册（含答案解析）试卷

查看最受欢迎《5.2 平面与平面垂直》试卷 2024年北师大版 (2019)数学必修第二册同步练习题（全套）

2024-01-24 17:01
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高中数学北师大版 (2019)必修第二册5.2 平面与平面垂直精品练习

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第二册5.2 平面与平面垂直精品练习，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2.6平面向量的应用北师大版（ 2019）高中数学必修第二册

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为( )

A. B. C. D.

的内角的对边分别为，若，且，则的面积的最大值是( )

A. B. C. D.

在中，角，，的对边分别为，，，其面积为，若，则一定是( )

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

在中，角，，的对边分别为，，，已知，的面积为，且，则的值为( )

A. B. C. D.

在中，设，则动点的轨迹必通过的( )

A. 垂心 B. 内心 C. 重心 D. 外心

已知非零向量与满足且则为( )

A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形

在矩形中，，，与相交于点，过点作，则

A. B. C. D.

已知，，在所在平面内，满足，，且，则点，，依次是的( )

A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C. 外心，重心，垂心 D. 外心，重心，内心

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

东汉末年的数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，对于图，下列结论正确的是( )

A. 这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若是的中点，则三角形的面积是三角形面积的倍

对于，有如下命题，其中错误的是( )

A. 若，则为锐角三角形
B. 若，，，则的面积为
C. 在所在平面内，若，则是的重心
D. 若，则为等腰三角形

中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是( )

A.
B.
C. 若，则
D. 若，则的最小值为

折纸发源于中国．世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车如图是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图，则( )

图图

A. B.
C. D.

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

已知中角、、所对的边分别为、、，，，，则______．
已知内角、、所对的边分别为、、，且，则面积的最大值为．
平面向量，，满足，，与的夹角为，且，则的最小值是______．
有下列命题：若，则；若，则存在唯一实数，使得；若，则；若，且与的夹角为钝角，则；若平面内定点满足，则为正三角形其中正确的命题序号为________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

本小题分

已知，，在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题。

在中，角，，的对边分别为，且满足

求角的大小；

已知_______，_______，若存在，求的面积；若不存在，说明理由。

本小题分
为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设，．

当时，求小路的长度；
当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．
本小题分

为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形其中百米，百米，且是以为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路，路的宽度忽略不计，设，

当时，求小路的长度；

当草坪的面积最大时，求此时小路的长度．

本小题分

在中，是的中点，，，．

求的面积．

若为上一点，且，求的值．

本小题分

如图，正方形，是对角线上的一点，四边形是矩形，用向量法证明：

；

．

本小题分
某人在静水中游泳，速度的大小为，水流的速度为向东，他必须
朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进实际前进速度的大小为多少精确到

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查正、余弦定理，三角形的面积公式，难度适中．
先由正弦定理求得，再结合余弦定理求出，最后由三角形面积公式求得答案．

【解答】

解：因为，则根据正弦定理可得，
由余弦定理得，即，
解得，
所以，三角形的面积．
故选B．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，属于中档题．
可先根据已知得到，再根据正弦定理和余弦定理可得，再根据余弦定理得到，进而得到三角形面积的最大值．

【解答】

解：，
，
可得，
由正弦定理可得：，
，
，
，
，
由余弦定理可得：，当且仅当时等号成立，
．
故选．

3.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查三角形形状的判定，考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题．
由已知结合余弦定理求得，再由三角形面积公式及已知条件得到或，进一步得到三角形为直角三角形．

【解答】

解：由，且，得
，则．
，．
又，
，得或．
当时，代入，得；
当时，代入，得，
是直角三角形，
因为已知，所以的另一个锐角为，
故不可能是等腰三角形．
故选B．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理及其变式，属于基础题．
先根据三角形面积公式求得的值，利用正弦定理及题设中，可得，代入到余弦定理中求得．

【解答】

解：由已知可得：，解得：，
又，由正弦定理可得：，
由余弦定理：，
解得：，
．
故选D．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查向量的几何应用，熟练掌握向量的运算法则、数量积与垂直的关系、三角形的外心定义是解题的关键属于中档题．
用向量的运算法则、数量积与垂直的关系判断出，根据三角形的外心定义即可得出．

【解答】

解：如图所示：

设线段的中点为，则．
，
，
，即
，且平分．
因此动点的轨迹必通过的外心．
故选D．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力，属于中档题．
通过向量的数量积为，判断三角形是等腰三角形，通过，求出，然后判断三角形的形状．

【解答】

解：因为，
所以的平分线与垂直，
则，三角形是等腰三角形，
又因为，
则，
所以，
所以三角形是等边三角形．
故选D．

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了向量的几何运用，向量的坐标运算，直线方程的运用，考查了分析能力和运用能力，属于中档题．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，得到相应点的坐标，求出直线与直线的方程，两直线联立求出点的坐标，进而得到向量的坐标，然后运用坐标运算求解即可．
【解答】
解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系：

由矩形中，，，
则，，，，
易知直线的方程为，
由，则直线的方程为，即，
由，解得，即，
所以，，
所以，
故选D．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了向量的几何运用，涉及向量的加减运算，向量的数量积以及三角形三心的判断，考查了分析和运用能力，属于中档题．
根据，得到点到三角形的三个顶点的距离相等；再根据，得，得到点在边的中线上，同理可得点也在其他边的中线上；再根据得，得到点在边的垂线上，同理可得点在其他边的垂线上，进而得到答案．

【解答】

解：因为，所以点到三角形的三个顶点的距离相等，
所以点为的外心；
由，得，
由中线的性质可知点在边的中线上，
同理可得点在其他边的中线上，
所以点为的重心；
由，
得，
则点在边的垂线上，同理可得点在其他边的垂线上，
所以点为的垂心，
故选C．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和解三角形的实际应用，属于中档题．
根据题意逐一判定即可．

【解答】

解：根据对称性，所以，所以选项正确
在中，，而，
所以，
由正弦定理得，解得，
又因为，所以，选项B正确
不妨设，，
由余弦定理，解得，
所以，故C选项不正确
若是的中点，，
所以．
故答案选：．

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及向量的加法、减法运算．
利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式以及向量的加法、减法运算性质，逐一求解即可．
【解答】
解：对于选项A：若，则
，
由正弦定理知：，
由余弦定理知：，又因为，所以为钝角，故A错误；
对于选项B：由余弦定理知：，
即，解得：或，则

或，故B错误；
对于选项C：设的中单为，则，因为，
所以，则为的靠近点的三等分点，由重心性质知，为的重心，故C正确；
对于选项D：若，，为三角形的内角，则或，
即或，所以为等腰三角形或者直角三角形，故D错误；
故选ABD．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查解三角形与平面向量的综合应用，属于中档题．
设，求出比例即可判断选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断选项；由向量的线性运算得即可判断选项；取中点，由求出最小值即可判断选项．

【解答】

解：如图：

设，则，三式联立解得，对于，，故A正确；

对于，，则，故B错误；

对于，若，则，则，

即，即，则，，故C正确；

对于，若，则，取中点，连接，

则，显然当时，最小，

此时，则，则的最小值为，故D正确．

故选ACD．

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查平面向量的数量积，加减运算，平面向量的基本定理等，属于中档题．
结合图形的对称性，逐一判断即可．
【解答】
解：由图可知，与不平行，A错误，

由图形对称性可得，，

，B正确，
由图形对称性可得四边形是正方形，
所以，C正确，
设，
因为，

，D正确．

13.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查正余弦定理解三角形，难度一般利用两角的正弦公式以及正弦定理得出，根据已知条件求出的值，结合三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值．
【解答】
解：由得，

则，

即，由可知为锐角，则，

得，

由余弦定理得，

即，解得．

故答案为．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查正弦定理和余弦定理解三角形的应用，考查利用基本不等式求最值的运用和三角形的面积公式，属于中档题．
根据已知条件利用正弦定理得到，求出的值，再利用余弦定理得到，根据基本不等式和三角形的面积公式即可求解面积的最大值．

【解答】

解：由得，
由正弦定理得，，
即，
又，
，
，，
又，，
，
由余弦定理得，
由基本不等式得，，即，当且仅当时等号成立，
又因为三角形的面积为，
故面积的最大值为．

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了向量的数量积与向量在几何中的应用，属于中档题．
将问题平面几何化，得出点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆即得．
【解答】
解：如图，设，则，又，，则为直角三角形，延长到，使，则为等边三角形，，因为，所以，所以为直角，设中点为，则点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，则的最小值为．

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查平面向量加减运算，数量积及平面向量共线的充要条件，垂直得充要条件，平面向量夹角等，属基础题目．
结合选项利用平面向量相关知识，逐一判断即可．
【解答】
解：由题意
当为零向量时，不正确
若，则，则，故正确
  若，且与的夹角为钝角，，故不正确；
若平面内定点满足，则，
同理，
，
所以，为正三角形，故正确．
故答案为．

17.【答案】解：，
由正弦定理可得：，
即，
，
，
．
方案一：选择条件和，
由正弦定理，可得，
可得的面积．
方案二：选择条件和，
由余弦定理，可得，可得，
可得，的面积．
方案三：选择条件和，这样的三角形不存在，理由如下：
在三角形中，由，则由正弦定理，
由可得，而，则，所以这样的三角形不存在．

【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
由正弦定理化简已知等式可得，利用余弦定理可得，结合范围，可求的值．
方案一：选择条件和，由正弦定理，可得，进而利用三角形的面积公式即可求解．
方案二：选择条件和，由余弦定理可求的值，根据三角形的面积公式即可求解．
方案三：选择条件和，由正弦定理，和可得，可求这样的三角形不存在．