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高中北师大版 (2019)第六章 立体几何初步3 空间点、直线、平面之间的位置关系3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理优秀课时练习
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这是一份高中北师大版 (2019)第六章 立体几何初步3 空间点、直线、平面之间的位置关系3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理优秀课时练习，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
6.3空间点.直线.平面之间的位置关系北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列命题正确的个数是( )
①两两相交的三条直线可确定一个平面
②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 下列命题中正确的个数是( )
①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α．
③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行
④已知平面α，β和异面直线a，b，满足a⊂α，a//β，b⊂β，b//α，则α//β．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知直角△ABC，∠ABC=90。，AB=12，BC=8，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿直线DE翻折至△PDE，形成四棱锥P−BCED，则在翻折过程中，(1)∠DPE=∠BPC;(2)PE⊥BC;(3)PD⊥EC;(4)平面PDE⊥平面PBC.不可能成立的结论是
A. (1)(2)(3) B. (1)(2) C. (3)(4) D. (1)(2)(4)
4. 如图，四棱锥S−ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A. AC⊥SB
B. AB//平面SCD
C. 平面SDB⊥平面SAC
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
5. 已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则
①若a⊥α，b⊥β，且α//β，则a//b；②若a⊥α，b//β，且α//β，则a⊥b；
③若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b；④若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b；
其中真命题的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 下列四个论断：
①已知平面α和直线l，则平面α内至少有一条直线与直线l垂直；
②已知不同的平面α，β，不同的直线m，n，若m // α，m // β，n // α，n // β，则α // β；
③已知直线a，b相交，直线a，c相交，则直线b，c可以异面；
④若直线l在平面α外，则直线l与平面α无交点．
其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为( )
(1)AC⊥BD
(2)AC//截面PQMN
(3) AC=BD
(4)异面直线PM与BD所成的角为45°
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数( )
(1)AC⊥BD (2)AC//截面PQMN (3)AC=BD
(4)异面直线PM与BD所成的角为45∘
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知a，b是两条互相垂直的异面直线，下列说法中正确的是( )
A. 存在平面α，使得a⊂α且b⊥α
B. 存在平面β，使得b⊂β且a//β
C. 若点A，B分别在直线a，b上，且满足AB⊥b，则一定有AB⊥a
D. 过空间某点不一定存在与直线a，b都平行的平面
10. 已知直线a，b是异面直线，则下列结论中正确的为( )
A. 过直线a有且只有一个与直线b平行的平面
B. 过直线a至多有一个与直线b垂直的平面
C. 过直线a与直线b有且只有一对相互平行的平面
D. 过直线a与直线b至多有一对相互垂直的平面
11. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则( )
A. A、M、N、B四点共面
B. 平面ADM⊥平面CDD1C1
C. 直线BN与B1M所成的角为60°
D. BN//平面ADM
12. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则( )
A. A、M、N、B四点共面 B. 平面ADM⊥平面CDD1C1
C. 直线BN与B1M所成角为60° D. BN//平面ADM
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 下列命题中，所有正确的命题的序号是 ．
①三个平面两两相交必有三条交线；
②空间四点A、B、C、D，若直线AB和直线CD是异面直线，那么直线AC和直线BD也是异面直线；
③空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上；
④直线在平面外是指直线与平面平行或相交．
14. α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的序号是 .(写出所有不正确的序号)
①a//cb//c⇒a//b；②a//γb//γ⇒a//b；③α//cβ//c⇒α//β；④α//γβ//γ⇒α//β；⑤α//ca//c⇒α//a；⑥α//γa//γ⇒a//α．
15. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD.给出下列命题：
①PB⊥AC； ②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________.
16. 已知α,β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题中真命题的序号有________．
①若m//α,m⊂β，则α//β； ②若α//β,m⊂α，则m//β；
③若m//α,n//α，则m//n； ④若m//n,m⊂α，则n//α．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过点E，F，G的平面交AD于点H，连接EH．
(1)求AH:HD；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点．
18. (本小题12.0分)
如图，在多面体ABCDEF中，AB//CD，AD⊥CD，CD=2AB=2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF=λAD．
(1)证明：DE⊥平面ABCD；
(2)若二面角B−CF−D的正弦值为255，求λ的值．
19. (本小题12.0分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点，求证：
(1)B,C,H,G四点共面；
(2)平面EFA1//平面BCHG．
20. (本小题12.0分)
如图，等腰梯形ABCD中AD//BC,BE⊥AD,BC=BE=4,DE=8， 沿BE将ΔABE折起至与平面BCDE成直二面角得到一四棱锥，M为AE中点，过C、D、M 作平面α ．
(1)请画出平面CDM截四棱锥A−BCDE的截面，写出作法，并求其周长；
(2)求平面α 与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
21. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2a，PD=2(1−a2)，其中0
(1)求证：平面EAC⊥平面PBD；
(2)若PD//平面EAC，求三棱锥P−EAD的体积的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为a的正方体(如图)．
(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线?
(2)求证直线AA1与BC垂直．
(3)求直线BC1与AC的夹角．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质应用问题，是一般题．
根据空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】
解：对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；
对于②，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误；
对于③，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确；
对于④，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，故④错误．
∴正确的命题只有一个．
故选D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点；在②中，l与α平行或相交；在③中，这两条直线相交、平行或异面；在④中，由面面平行的判定定理得α//β．
【解答】
解：在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点，故①错误；
在②中，若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α平行或相交，故②错误；
在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；
在④中，已知平面α，β和异面直线a，b，满足a⊂α，a//β，b⊂β，b//α，
则由面面平行的判定定理得α//β，故④正确．
故选B．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
运用线面垂直的判定定理和性质定理，结合解直角三角形，可判断①；由异面直线所成角的定义，可判断②；由面面垂直的性质定理可判断③；由两平面所成角的定义，可判断④．
本题考查空间线面和面面的位置关系，运用线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，考查空间想象能力，属于难题．
【解答】
解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，
D，E分别是AB，AC的中点，可得PD=DB=6，DE=4，
由DE⊥PD，DE⊥BD，可得ED⊥平面PBD，
即有DE⊥PB，而BC//DE，
即有BC⊥PB，
在直角三角形PBC中，
tan∠BPC=BCPB=8PB，
在直角三角形PDE中，tan∠DPE=DEPD=46，
若∠DPE=∠BPC，可得PB=12，这与PB
由于BC//DE，且PE与DE不垂直，则PE与BC也不垂直，则②不可能成立；
当在翻折过程中，平面PED⊥平面BCED时，且有PD⊥DE，
可得PD⊥平面BCED，则PD⊥EC，则③可能成立；
由BC//ED，过P作直线l与BC平行，也与DE平行，可得平面PBC和平面PDE的交线为直线l，
且PB⊥l，PD⊥l，则∠BPD为平面PBC和平面PDE所成角，
由于BD=PD，则∠BPD不可能为直角，则④不可能成立．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系和异面直线所成的角等问题，属于中档题．
根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB//平面SCD，由选项A中分析得到AC⊥平面SDB，进而得到平面SDB⊥平面SAC；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
【解答】
解：连接BD，
∵底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又∵SD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴SD⊥AC，
又∵SD∩BD=D，SD、BD⊂平面SDB，
∴AC⊥平面SDB，
又∵SB⊂平面SDB
∴AC⊥SB，
故A正确；
∵AB//CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
∴AB//平面SCD，
故B正确；
∵AC⊥平面SDB(A选项已证明)，AC⊂平面SAC，
∴平面SDB⊥平面SAC，
故C正确；
∵AB//CD，
∴AB与SC所成的角是∠SCD为锐角，
DC与SA所成的角是∠SAB为直角，
而这两个角显然不相等，
故D不正确．
故选D.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的线面关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．
利用线面位置关系，线面的平行和垂直的判断和性质可得答案．
【解答】
解：由b⊥β且α//β，可得b⊥α，而a⊥α，垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；
由于α//β，a⊥α，所以a⊥β，又因为b//β，则a⊥b，故②正确；
若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b或a，b异面，故③错误；
由α⊥β可知，在平面β内一定存在一条直线c⊥α，又a⊥α，则c||a，
又因为b⊥β，所以b⊥c，即可得a⊥b，故 ④正确；
因此，真命题是①②④，共3个．
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了空间中直线与平面，平面与平面，直线与直线的位置关系，属于中档题．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐项判断得结论．
【解答】
解：因为平面α内有无数条直线与直线l垂直，所以①正确；
平面α与β也可以相交，此时只需直线m，n同时平行它们的交线，所以②不正确；
已知直线a，b相交，直线a，c相交，则直线b，c可以异面，显然③正确；
直线l在平面α外包括l//α和l与α相交，所以交点个数为0或1，所以④不正确．
故①③正确．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行与异面直线垂直的判定、正方形的性质、异面直线所成的角，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
首先由正方形中的线线平行推导出PQ//平面ACD、QM//平面BDA，进而推导出PQ//AC，QM//BD，根据PQ⊥QM得AC⊥BD，根据PQ//AC可得AC//截面PQMN，再根据PN⊥PQ得到AC⊥BD，结合BD//PN可知∠MPN是异面直线PM与BD所成的角且为45°，由BD//PN，PQ//AC可知PNBD=ANAD，MNAC=DNAD，而AN≠DN，PN=MN，进而得到BD≠AC.即可求解．
【解答】
解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN、QM//PN，
则PQ//平面ACD、QM//平面BDA，
所以PQ//AC，QM//BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故(1)正确；
由PQ//AC可得AC//截面PQMN，故(2)正确；
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD//PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，(4)正确；
由上面可知：BD//PN，PQ//AC．
∴PNBD=ANAD，MNAC=DNAD，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC.(3)错误．
故选C．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行与异面直线垂直的判定、正方形的性质、异面直线所成的角，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
首先由正方形中的线线平行推导出PQ//平面ACD、QM//平面BDA，进而推导出PQ//AC，QM//BD，根据PQ⊥QM得AC⊥BD，根据PQ//AC可得AC//截面PQMN，再根据PN⊥PQ得到AC⊥BD，结合BD//PN可知∠MPN是异面直线PM与BD所成的角且为45°，由BD//PN，PQ//AC可知PNBD=ANAD，MNAC=DNAD，而AN≠DN，PN=MN，进而得到BD≠AC.即可求解．
【解答】
解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN、QM//PN，
则PQ//平面ACD、QM//平面BDA，
所以PQ//AC，QM//BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故(1)正确；
由PQ//AC可得AC//截面PQMN，故(2)正确；
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD//PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，(4)正确；
由上面可知：BD//PN，PQ//AC．
∴PNBD=ANAD，MNAC=DNAD，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC.(3)错误．
故选C．
9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线，线面和面面的位置关系，属于中档题．
根据异面直线的性质，结合线面垂直的判定定理和性质，线面平行的判定定理和性质，进行逐项分析判断，即可求解．
【解答】
对于A，设a，b的公垂线为AB，其中A∈a，B∈b.
过B作a的平行线a′，设直线a与a′确定的平面为平面α，
则AB⊂α，a⊂α，a′⊂α，
∵b⊥AB，b⊥a，
又AB∩a=A,AB,a⊂平面α，
∴b⊥α，故A正确；
对于B，过b上一点C作a′//a，
设b与a′所确定的平面为β，
则a//β，故B正确;
对于C，设a，b的公垂线为CB，且C∈a，B∈b.
在a上取异于C的点A，则b⊥平面ABC，
∴AB⊥b，但显然AB与a不垂直，故C错误；
对于D，当空间一点在直线a或直线b上时，
显然不存在与直线a，b都平行的平面，
故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查异面直线，空间中线面、面面之间的位置关系，考查反证法与推理证明，属于中档题．
根据相关的定义，判定定理，性质定理逐条判断即可．
【解答】
解：对于A，在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故过直线a可以作与直线b平行的平面，
假设存在两个平面α，β过直线a且与直线b平行，则a为平面α与平面β的交线，从而得出a//b，与直线a，b异面矛盾，故有且只有一个过直线a且与直线b平行的平面，A正确；
对于B，当a⊥b时，过直线a且与b垂直的平面有一个，若a不垂直于b，没有符合题意的平面，B正确；
对于C，由选项A可知过直线a有且只有一个与直线b平行的平面，设为平面α，即b//平面α，过b上一点C作直线m//平面α，此时m与b确定一个平面，设为平面β，则平面α//平面β，
假设过直线b存在两个平面与平面α平行，则这两个平面互相平行，与两平面交于直线b矛盾，
故过直线a与直线b有且只有一对相互平行的平面，C正确；
对于D，若a⊥b，过直线a与直线b且相互垂直的平面有无数对，D错误．
11.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，考查面面垂直的判定，考查异面直线所成的角，属于中档题．
将各个选项进行逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故A、M、N，B四点不共面，故A错误；
对于B，由题意AD⊥平面CDD1C1，又AD⊂平面ADM，故平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；
对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，则B1M//BO，则∠NBO即为异面直线BN与B1M所成角，易知三角形BON为等边三角形，故∠NBO=60°，故C正确；
对于D，BN //平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误：
故选BC．
12.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，考查面面垂直的判定，考查异面直线所成的角，属于中档题．
将各个选项进行逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故A、M、N，B四点不共面，故A错误；
对于B，由题意AD⊥平面CDD1C1，又AD⊂平面ADM，故平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；
对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，则B1M//BO，则∠NBO即为异面直线BN与B1M所成角，易知三角形BON为等边三角形，故∠NBO=60°，故C正确；
对于D，BN //平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误：
故选BC．
13.【答案】②③④
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的基本性质，空间直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
根据平面基本性质，异面直线及直线与平面的位置关系依次判断可得．
【解答】
解：①三个平面两两相交有三条或一条交线，不正确；
②假设直线AC与直线BD是共面直线，则点A、B、C、D在同一平面内，故直线AB和直线CD是共面直线，与已知条件直线AB和直线CD是异面直线相矛盾，所以直线AC和直线BD是异面直线，故②正确；
③由直线与直线外一点确定一个平面，知空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上，故③正确；
④直线在平面外是指直线与平面平行或相交，故④正确．
故答案为：②③④．
14.【答案】②③⑤⑥
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断及空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
利用公理4及平行平面的传递性可得出①④正确，然后再用举反例可得出②③⑤⑥不正确，便可得出结果．
【解答】
解：由公理4及平行平面的传递性知①④正确，
举反例知②③⑤⑥不正确．
②中，a，b可以相交，还可以异面；
③中，α，β可以相交；
⑤中，a可以在α内；
⑥中，a可以在α内．
故答案为②③⑤⑥．
15.【答案】②③
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，是中档题．
设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由面面垂直的的判定和性质说明③正确；由CD⊥面PAD可判断，说明④错误．
【解答】
解：如图，
①、设AC∩BD=O，若PB⊥AC，
∵AC⊥BD，PB∩BD=B，PB、BD⊂平面PBD，
则AC⊥平面PBD，
又PO⊂平面PBD，
∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则AC⊥PA，
在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，故①错误；
②、∵CD//AB，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
则AB//平面PCD，
∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，故②正确；
③、∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，
则平面PBD⊥平面PAC，故③正确；
④、因为PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD
所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂面PAD，AD⊂面PAD，
所以CD⊥面PAD，
所以CD⊥PD，即三角形PCD是直角三角形，④错误．
故答案为②③．
16.【答案】②
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判定，属于中档题目．
逐一进行判定即可．
【解答】
解：对于①若m//α,m⊂β，则α//β或相交，故①错误；
对于②若α//β,m⊂α，则m//β正确；
对于③若m//α,n//α，则m//n或相交或异面，故③错误；
对于④若m//n,m⊂α，则n//α或n⊂α，故④错误．
故答案为②．
17.【答案】解：⑴∵AEEB=CFFB=2，
∴EF//AC，
又AC⊂平面ACD，
∴EF//平面ACD，
而EF⊂平面EFGH，
且平面EFGH∩平面ACD=GH，
∴EF//GH，
又EF//AC ，
∴AC//GH，
∴AHHD=CGGD=3，即AH:HD=3:1；
⑵证明：
∵EF//GH，且EFAC=13，GHAC=14，
∴EF≠GH，
∴四边形EFGH为梯形，
令EH∩FG=P，则P∈EH，
而EH⊂平面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
∴P∈BD，
∴EH、FG、BD三线共点．
【解析】本题主要考查了线面平行的性质与判定，直线与平面位置关系的运用，平面几何基础知识的运用，属于中档题
⑴根据已知比例关系得到EF//AC，进而得到EF//平面ACD，再利用线面之间的关系得到EF//GH，进而得到AC//GH，最后根据相似三角形成比例得到结果；
⑵根据已知判断出EF≠GH，进而得到四边形EFGH为梯形，最后利用线面之间的关系得到结论．
18.【答案】(1)证明：因为AB//CD，AD⊥DC，所以AD⊥AB．
因为AB=AD，所以△ABD是等腰直角三角形，所以∠BDC=45°．
又由CD=2AB=2AD，易知∠BCD=45°，
所以∠DBC=90°，即BC⊥BD．
因为平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，BC⊂平面BDE，
所以BC⊥平面BDE．
因为DE⊂平面BDE，所以BC⊥DE．
易知DE⊥AD，AD与BC相交，且AD,BC⊂平面ABCD，
所以DE⊥平面ABCD．
(2)解：由(1)知DE，DA，DC两两垂直，以D为坐标原点，
以DA，DC，DE的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz(如图)．
设AB=1，则DE=AF=λ，
则B(1,1,0)，C(0,2,0)，F(1,0,λ)，D(0,0,0)，CF=(1,−2,λ)，BC=(−1,1,0)，DC=(0,2,0)．
设平面BCF的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，
由n1⋅BC=0,n1⋅CF=0,得−x1+y1=0,x1−2y1+λz1=0,取x1=1，
则y1=1，z1=1λ，所以n1=(1,1,1λ)．
设平面CFD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，
由n2⋅CF=0,n2⋅DC=0,得x2−2y2+λz2=0,2y2=0,
取x2=−1，则y2=0，z2=1λ，所以n2=−1,0,1λ．
因为二面角B−CF−D的正弦值为255，
所以二面角B−CF−D的余弦值的绝对值为55，
则|cos ⟨n1,n2⟩|=|n1⋅n2||n1||n2|=|−1+1λ2|2+1λ2×1+1λ2=55，
解得λ=2或33．
【解析】本题主要考查的是线面垂直的判定，面面垂直的性质，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
(1)先判断出△ABD是等腰直角三角形，得到∠BDC=45°，然后利用CD=2AB=2AD，易知∠BCD=45°，所以∠DBC=90°，即BC⊥BD.再根据平面BDE⊥平面ABCD，得到BC⊥平面BDE，从而可得BC⊥DE.再结合DE⊥AD，由线面垂直的判定定理即可证明．
(2)以D为坐标原点，以DA，DC，DE的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz，分别求出平面BCF的一个法向量n1，平面CFD的一个法向量n2，利用同角三角函数基本关系可得二面角B−CF−D的余弦的绝对值为55，再进行求解即可．
19.【答案】证明：(1)∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，
∴GH//B1C1，
∵三棱柱ABC−A1B1C1中，BC//B1C1，
∴GH//BC，
∴B、C、H、G四点共面；
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF//BC．
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF//平面BCHG．
∵A1G//EB且A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E//GB．
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E//平面BCHG．
∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1//平面BCHG．
【解析】本题考查平面的基本性质，考查面面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用三角形中位线的性质，证明GH//B1C1，从而可得GH//BC，即可证明B，C，H，G四点共面；
(2)先证EF//平面BCHG，再证四边形A1EBG是平行四边形，进而证得A1E//平面BCHG，再根据A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1，即可证得平面EFA1//平面BCHG．
20.【答案】解：1
以E为原点，EB为x轴，ED为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系如图，平面α与线段AB的交点为F，
则有：A(0,0,4)，B(4,0,0)，D(0,8,0)，C(4,4,0)，M(0,0,2)，F(x,0,z)，
设AF=λAB，则向量FM与向量CD,DM共面，
CD=(−4,4,0)，DM=(0,−8,2)，FM=(−x,0,2−z)，
设FM=mCD+nDM=(−4m,4m−8n,2n)=(−x,0,2−z)(m,n∈R)，
x=4m4m−8n=0 2n=2−z ①,
又AF=(x,0,z−4)，AF=λAB=(4λ,0,−4λ)，∴x=4λ，z−4=−4λ，x=−(z−4)，x+z=4…②，
由①②得x+4z=8x+z=4,解得x=83,z=43,即F83,0,43,
AF=832+43−42=823,AB=42,AFAB=23,
F点在靠近B点的三分点处;
FC=83−42+42+432=4113,FM=832+02+2−432=2173,DM=22+82=217,CD=42+42+02=42,
四边形CDMF的周长为4113+8173+42．
2设平面ABC的一个法向量为p=(x,y,z)，AB=(4,0,−4)，BC=(0,4,0)，
则有p·AB=0 p·BC=0,解得4x−4z=04y=0,令x=1，则p=(1,0,1)，
设平面a的一个法向量为q=(a,b,c)，DM=(0,−8,2)，CD=(−4,4,0)，
q·DM = 0 q·CD=0 ,解得−8b+2c=0−4a+4b=0,
令a=1，则b=1，c=4，q=(1,1,4)，
设平面α与平面ABC的二面角的平面角为θ，
则cosθ=p·qp·q=56，
综上，四边形CDMF的周长为4113+8173+42，F点在靠近B点的三分点处，平面α与平面ABC的二面角的锐平面角的余弦值为56．
【解析】本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
(1)建立空间直角坐标系，利用向量即可求出平面α 与线段AB交点，即可得出．
(2)求出平面α 与平面ABC的法向量，即可得解．
21.【答案】证明：(1)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD；
解：(2)连结OE，取AD的中点H，连结BH，
∵PD//平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD，
∴PD//OE，
∵O是BD的中点，∴E是PB的中点，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，
又BH⊥PD，AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PBD，
∴BH⊥平面PAD，且BH=32AB=3a，
∴VP−EAD=VE−PAD=12VB−PAD=12×13×S△PAD×BH=33a2(1−a2)．
由基本不等式得：VP−EAD=33a2(1−a2)≤33(a2+1−a22)2=312．
当且仅当a=22时取等号，即三棱锥P−EAD的体积的最大值为312．
【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积的最大值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
(1)推导出AC⊥PD，AC⊥BD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD.(2)连结OE，取AD的中点H，连结BH，推导出PD//OE，从而E是PB的中点，再求出BH⊥AD，BH⊥PD，从而BH⊥平面PAD，且BH=32AB=3a，VP−EAD=VE−PAD=12VB−PAD，由此能求出三棱锥P−EAD的体积的最大值．
22.【答案】解:(1)正方体共有12条棱，与BC1相交的棱有6条，与BC1平行的棱不存在．
因此余下的6条棱所在直线分别与直线BC1是异面直线，
它们是A1A，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1．
(2)因为AD//BC，所以AA1与AD的夹角就是AA1与BC的夹角.因为 ∠A1AD=90∘，所以 AA1⊥BC．
(3)连接A1C1，因为AA1= //BB1= //CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，故AC//A1C1，
从而BC1与AC的夹角就是BC1与A1C1的夹角.连接A1B.
因为A1B，BC1与A1C1都是正方体的面对角线，
所以A1B=BC1=A1C1，
故△A1BC1是正三角形．
因此，BC1与A1C1的夹角为60∘，即BC1与AC的夹角为60∘．
【解析】本题考查异面直线及线线垂直的判定，以及异面直线所成夹角，属于中档题．
(1)根据异面直线的定义判定即可；
(2)由AD//BC可知AA1与AD的夹角就是AA1与BC的夹角.再由 ∠A1AD=90∘得出即可；
(3)由题意得出BC1与AC的夹角就是BC1与A1C1的夹角.再由△A1BC1是正三角形得出即可．
6.3空间点.直线.平面之间的位置关系北师大版（ 2019）高中数学必修第二册
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列命题正确的个数是( )
①两两相交的三条直线可确定一个平面
②两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
③过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
④和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2. 下列命题中正确的个数是( )
①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α．
③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行
④已知平面α，β和异面直线a，b，满足a⊂α，a//β，b⊂β，b//α，则α//β．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 已知直角△ABC，∠ABC=90。，AB=12，BC=8，D，E分别是AB，AC的中点，将△ADE沿直线DE翻折至△PDE，形成四棱锥P−BCED，则在翻折过程中，(1)∠DPE=∠BPC;(2)PE⊥BC;(3)PD⊥EC;(4)平面PDE⊥平面PBC.不可能成立的结论是
A. (1)(2)(3) B. (1)(2) C. (3)(4) D. (1)(2)(4)
4. 如图，四棱锥S−ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是( )
A. AC⊥SB
B. AB//平面SCD
C. 平面SDB⊥平面SAC
D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
5. 已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则
①若a⊥α，b⊥β，且α//β，则a//b；②若a⊥α，b//β，且α//β，则a⊥b；
③若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b；④若a⊥α，b⊥β，且α⊥β，则a⊥b；
其中真命题的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 下列四个论断：
①已知平面α和直线l，则平面α内至少有一条直线与直线l垂直；
②已知不同的平面α，β，不同的直线m，n，若m // α，m // β，n // α，n // β，则α // β；
③已知直线a，b相交，直线a，c相交，则直线b，c可以异面；
④若直线l在平面α外，则直线l与平面α无交点．
其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数为( )
(1)AC⊥BD
(2)AC//截面PQMN
(3) AC=BD
(4)异面直线PM与BD所成的角为45°
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，正确的个数( )
(1)AC⊥BD (2)AC//截面PQMN (3)AC=BD
(4)异面直线PM与BD所成的角为45∘
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知a，b是两条互相垂直的异面直线，下列说法中正确的是( )
A. 存在平面α，使得a⊂α且b⊥α
B. 存在平面β，使得b⊂β且a//β
C. 若点A，B分别在直线a，b上，且满足AB⊥b，则一定有AB⊥a
D. 过空间某点不一定存在与直线a，b都平行的平面
10. 已知直线a，b是异面直线，则下列结论中正确的为( )
A. 过直线a有且只有一个与直线b平行的平面
B. 过直线a至多有一个与直线b垂直的平面
C. 过直线a与直线b有且只有一对相互平行的平面
D. 过直线a与直线b至多有一对相互垂直的平面
11. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则( )
A. A、M、N、B四点共面
B. 平面ADM⊥平面CDD1C1
C. 直线BN与B1M所成的角为60°
D. BN//平面ADM
12. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则( )
A. A、M、N、B四点共面 B. 平面ADM⊥平面CDD1C1
C. 直线BN与B1M所成角为60° D. BN//平面ADM
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 下列命题中，所有正确的命题的序号是 ．
①三个平面两两相交必有三条交线；
②空间四点A、B、C、D，若直线AB和直线CD是异面直线，那么直线AC和直线BD也是异面直线；
③空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上；
④直线在平面外是指直线与平面平行或相交．
14. α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则下列命题中不正确的序号是 .(写出所有不正确的序号)
①a//cb//c⇒a//b；②a//γb//γ⇒a//b；③α//cβ//c⇒α//β；④α//γβ//γ⇒α//β；⑤α//ca//c⇒α//a；⑥α//γa//γ⇒a//α．
15. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD.给出下列命题：
①PB⊥AC； ②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD为锐角三角形．其中正确命题的序号是________.
16. 已知α,β是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题中真命题的序号有________．
①若m//α,m⊂β，则α//β； ②若α//β,m⊂α，则m//β；
③若m//α,n//α，则m//n； ④若m//n,m⊂α，则n//α．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE:EB=CF:FB=2:1，CG:GD=3:1，过点E，F，G的平面交AD于点H，连接EH．
(1)求AH:HD；
(2)求证：EH，FG，BD三线共点．
18. (本小题12.0分)
如图，在多面体ABCDEF中，AB//CD，AD⊥CD，CD=2AB=2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF=λAD．
(1)证明：DE⊥平面ABCD；
(2)若二面角B−CF−D的正弦值为255，求λ的值．
19. (本小题12.0分)
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点，求证：
(1)B,C,H,G四点共面；
(2)平面EFA1//平面BCHG．
20. (本小题12.0分)
如图，等腰梯形ABCD中AD//BC,BE⊥AD,BC=BE=4,DE=8， 沿BE将ΔABE折起至与平面BCDE成直二面角得到一四棱锥，M为AE中点，过C、D、M 作平面α ．
(1)请画出平面CDM截四棱锥A−BCDE的截面，写出作法，并求其周长；
(2)求平面α 与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．
21. (本小题12.0分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2a，PD=2(1−a2)，其中0
(1)求证：平面EAC⊥平面PBD；
(2)若PD//平面EAC，求三棱锥P−EAD的体积的最大值．
22. (本小题12.0分)
已知ABCD−A1B1C1D1是棱长为a的正方体(如图)．
(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线?
(2)求证直线AA1与BC垂直．
(3)求直线BC1与AC的夹角．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质应用问题，是一般题．
根据空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．
【解答】
解：对于①，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故①错误；
对于②，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故②错误；
对于③，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故③正确；
对于④，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，故④错误．
∴正确的命题只有一个．
故选D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点；在②中，l与α平行或相交；在③中，这两条直线相交、平行或异面；在④中，由面面平行的判定定理得α//β．
【解答】
解：在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点，故①错误；
在②中，若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与α平行或相交，故②错误；
在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；
在④中，已知平面α，β和异面直线a，b，满足a⊂α，a//β，b⊂β，b//α，
则由面面平行的判定定理得α//β，故④正确．
故选B．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
运用线面垂直的判定定理和性质定理，结合解直角三角形，可判断①；由异面直线所成角的定义，可判断②；由面面垂直的性质定理可判断③；由两平面所成角的定义，可判断④．
本题考查空间线面和面面的位置关系，运用线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解题的关键，考查空间想象能力，属于难题．
【解答】
解：Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，
D，E分别是AB，AC的中点，可得PD=DB=6，DE=4，
由DE⊥PD，DE⊥BD，可得ED⊥平面PBD，
即有DE⊥PB，而BC//DE，
即有BC⊥PB，
在直角三角形PBC中，
tan∠BPC=BCPB=8PB，
在直角三角形PDE中，tan∠DPE=DEPD=46，
若∠DPE=∠BPC，可得PB=12，这与PB
由于BC//DE，且PE与DE不垂直，则PE与BC也不垂直，则②不可能成立；
当在翻折过程中，平面PED⊥平面BCED时，且有PD⊥DE，
可得PD⊥平面BCED，则PD⊥EC，则③可能成立；
由BC//ED，过P作直线l与BC平行，也与DE平行，可得平面PBC和平面PDE的交线为直线l，
且PB⊥l，PD⊥l，则∠BPD为平面PBC和平面PDE所成角，
由于BD=PD，则∠BPD不可能为直角，则④不可能成立．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系和异面直线所成的角等问题，属于中档题．
根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB//平面SCD，由选项A中分析得到AC⊥平面SDB，进而得到平面SDB⊥平面SAC；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
【解答】
解：连接BD，
∵底面ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
又∵SD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴SD⊥AC，
又∵SD∩BD=D，SD、BD⊂平面SDB，
∴AC⊥平面SDB，
又∵SB⊂平面SDB
∴AC⊥SB，
故A正确；
∵AB//CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
∴AB//平面SCD，
故B正确；
∵AC⊥平面SDB(A选项已证明)，AC⊂平面SAC，
∴平面SDB⊥平面SAC，
故C正确；
∵AB//CD，
∴AB与SC所成的角是∠SCD为锐角，
DC与SA所成的角是∠SAB为直角，
而这两个角显然不相等，
故D不正确．
故选D.
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的线面关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．
利用线面位置关系，线面的平行和垂直的判断和性质可得答案．
【解答】
解：由b⊥β且α//β，可得b⊥α，而a⊥α，垂直同一个平面的两条直线相互平行，故①正确；
由于α//β，a⊥α，所以a⊥β，又因为b//β，则a⊥b，故②正确；
若α//β，a⊂α，b⊂β，则a//b或a，b异面，故③错误；
由α⊥β可知，在平面β内一定存在一条直线c⊥α，又a⊥α，则c||a，
又因为b⊥β，所以b⊥c，即可得a⊥b，故 ④正确；
因此，真命题是①②④，共3个．
故选B．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了空间中直线与平面，平面与平面，直线与直线的位置关系，属于中档题．
利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐项判断得结论．
【解答】
解：因为平面α内有无数条直线与直线l垂直，所以①正确；
平面α与β也可以相交，此时只需直线m，n同时平行它们的交线，所以②不正确；
已知直线a，b相交，直线a，c相交，则直线b，c可以异面，显然③正确；
直线l在平面α外包括l//α和l与α相交，所以交点个数为0或1，所以④不正确．
故①③正确．
故选C．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行与异面直线垂直的判定、正方形的性质、异面直线所成的角，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
首先由正方形中的线线平行推导出PQ//平面ACD、QM//平面BDA，进而推导出PQ//AC，QM//BD，根据PQ⊥QM得AC⊥BD，根据PQ//AC可得AC//截面PQMN，再根据PN⊥PQ得到AC⊥BD，结合BD//PN可知∠MPN是异面直线PM与BD所成的角且为45°，由BD//PN，PQ//AC可知PNBD=ANAD，MNAC=DNAD，而AN≠DN，PN=MN，进而得到BD≠AC.即可求解．
【解答】
解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN、QM//PN，
则PQ//平面ACD、QM//平面BDA，
所以PQ//AC，QM//BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故(1)正确；
由PQ//AC可得AC//截面PQMN，故(2)正确；
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD//PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，(4)正确；
由上面可知：BD//PN，PQ//AC．
∴PNBD=ANAD，MNAC=DNAD，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC.(3)错误．
故选C．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行与异面直线垂直的判定、正方形的性质、异面直线所成的角，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
首先由正方形中的线线平行推导出PQ//平面ACD、QM//平面BDA，进而推导出PQ//AC，QM//BD，根据PQ⊥QM得AC⊥BD，根据PQ//AC可得AC//截面PQMN，再根据PN⊥PQ得到AC⊥BD，结合BD//PN可知∠MPN是异面直线PM与BD所成的角且为45°，由BD//PN，PQ//AC可知PNBD=ANAD，MNAC=DNAD，而AN≠DN，PN=MN，进而得到BD≠AC.即可求解．
【解答】
解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ//MN、QM//PN，
则PQ//平面ACD、QM//平面BDA，
所以PQ//AC，QM//BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故(1)正确；
由PQ//AC可得AC//截面PQMN，故(2)正确；
∵PN⊥PQ，∴AC⊥BD．
由BD//PN，
∴∠MPN是异面直线PM与BD所成的角，且为45°，(4)正确；
由上面可知：BD//PN，PQ//AC．
∴PNBD=ANAD，MNAC=DNAD，
而AN≠DN，PN=MN，
∴BD≠AC.(3)错误．
故选C．
9.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线，线面和面面的位置关系，属于中档题．
根据异面直线的性质，结合线面垂直的判定定理和性质，线面平行的判定定理和性质，进行逐项分析判断，即可求解．
【解答】
对于A，设a，b的公垂线为AB，其中A∈a，B∈b.
过B作a的平行线a′，设直线a与a′确定的平面为平面α，
则AB⊂α，a⊂α，a′⊂α，
∵b⊥AB，b⊥a，
又AB∩a=A,AB,a⊂平面α，
∴b⊥α，故A正确；
对于B，过b上一点C作a′//a，
设b与a′所确定的平面为β，
则a//β，故B正确;
对于C，设a，b的公垂线为CB，且C∈a，B∈b.
在a上取异于C的点A，则b⊥平面ABC，
∴AB⊥b，但显然AB与a不垂直，故C错误；
对于D，当空间一点在直线a或直线b上时，
显然不存在与直线a，b都平行的平面，
故D正确．
故选：ABD．
10.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查异面直线，空间中线面、面面之间的位置关系，考查反证法与推理证明，属于中档题．
根据相关的定义，判定定理，性质定理逐条判断即可．
【解答】
解：对于A，在直线a上取A、B点，过A、B分别作直线c、d与直线b平行，c、d可确定平面α，即b平行于α，此时a在α平面上，故过直线a可以作与直线b平行的平面，
假设存在两个平面α，β过直线a且与直线b平行，则a为平面α与平面β的交线，从而得出a//b，与直线a，b异面矛盾，故有且只有一个过直线a且与直线b平行的平面，A正确；
对于B，当a⊥b时，过直线a且与b垂直的平面有一个，若a不垂直于b，没有符合题意的平面，B正确；
对于C，由选项A可知过直线a有且只有一个与直线b平行的平面，设为平面α，即b//平面α，过b上一点C作直线m//平面α，此时m与b确定一个平面，设为平面β，则平面α//平面β，
假设过直线b存在两个平面与平面α平行，则这两个平面互相平行，与两平面交于直线b矛盾，
故过直线a与直线b有且只有一对相互平行的平面，C正确；
对于D，若a⊥b，过直线a与直线b且相互垂直的平面有无数对，D错误．
11.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，考查面面垂直的判定，考查异面直线所成的角，属于中档题．
将各个选项进行逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故A、M、N，B四点不共面，故A错误；
对于B，由题意AD⊥平面CDD1C1，又AD⊂平面ADM，故平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；
对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，则B1M//BO，则∠NBO即为异面直线BN与B1M所成角，易知三角形BON为等边三角形，故∠NBO=60°，故C正确；
对于D，BN //平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误：
故选BC．
12.【答案】BC
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，考查面面垂直的判定，考查异面直线所成的角，属于中档题．
将各个选项进行逐一分析求解即可．
【解答】
解：对于A，由图显然AM、BN是异面直线，故A、M、N，B四点不共面，故A错误；
对于B，由题意AD⊥平面CDD1C1，又AD⊂平面ADM，故平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；
对于C，取CD的中点O，连接BO、ON，则B1M//BO，则∠NBO即为异面直线BN与B1M所成角，易知三角形BON为等边三角形，故∠NBO=60°，故C正确；
对于D，BN //平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误：
故选BC．
13.【答案】②③④
【解析】
【分析】
本题主要考查平面的基本性质，空间直线与直线，直线与平面的位置关系，属于中档题．
根据平面基本性质，异面直线及直线与平面的位置关系依次判断可得．
【解答】
解：①三个平面两两相交有三条或一条交线，不正确；
②假设直线AC与直线BD是共面直线，则点A、B、C、D在同一平面内，故直线AB和直线CD是共面直线，与已知条件直线AB和直线CD是异面直线相矛盾，所以直线AC和直线BD是异面直线，故②正确；
③由直线与直线外一点确定一个平面，知空间四点若不在同一个平面内，则其中任意三点不在同一条直线上，故③正确；
④直线在平面外是指直线与平面平行或相交，故④正确．
故答案为：②③④．
14.【答案】②③⑤⑥
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断及空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
利用公理4及平行平面的传递性可得出①④正确，然后再用举反例可得出②③⑤⑥不正确，便可得出结果．
【解答】
解：由公理4及平行平面的传递性知①④正确，
举反例知②③⑤⑥不正确．
②中，a，b可以相交，还可以异面；
③中，α，β可以相交；
⑤中，a可以在α内；
⑥中，a可以在α内．
故答案为②③⑤⑥．
15.【答案】②③
【解析】
【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，是中档题．
设AC∩BD=O，由题意证明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾说明①错误；由线面平行的判定和性质说明②正确；由面面垂直的的判定和性质说明③正确；由CD⊥面PAD可判断，说明④错误．
【解答】
解：如图，
①、设AC∩BD=O，若PB⊥AC，
∵AC⊥BD，PB∩BD=B，PB、BD⊂平面PBD，
则AC⊥平面PBD，
又PO⊂平面PBD，
∴AC⊥PO，
又PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则AC⊥PA，
在平面PAC内过P有两条直线与AC垂直，与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾，故①错误；
②、∵CD//AB，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
则AB//平面PCD，
∴平面PAB与平面PCD的交线与AB平行，故②正确；
③、∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，
又BD⊥AC，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面PBD，
则平面PBD⊥平面PAC，故③正确；
④、因为PA⊥面ABCD，CD⊂面ABCD
所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂面PAD，AD⊂面PAD，
所以CD⊥面PAD，
所以CD⊥PD，即三角形PCD是直角三角形，④错误．
故答案为②③．
16.【答案】②
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判定，属于中档题目．
逐一进行判定即可．
【解答】
解：对于①若m//α,m⊂β，则α//β或相交，故①错误；
对于②若α//β,m⊂α，则m//β正确；
对于③若m//α,n//α，则m//n或相交或异面，故③错误；
对于④若m//n,m⊂α，则n//α或n⊂α，故④错误．
故答案为②．
17.【答案】解：⑴∵AEEB=CFFB=2，
∴EF//AC，
又AC⊂平面ACD，
∴EF//平面ACD，
而EF⊂平面EFGH，
且平面EFGH∩平面ACD=GH，
∴EF//GH，
又EF//AC ，
∴AC//GH，
∴AHHD=CGGD=3，即AH:HD=3:1；
⑵证明：
∵EF//GH，且EFAC=13，GHAC=14，
∴EF≠GH，
∴四边形EFGH为梯形，
令EH∩FG=P，则P∈EH，
而EH⊂平面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
∴P∈BD，
∴EH、FG、BD三线共点．
【解析】本题主要考查了线面平行的性质与判定，直线与平面位置关系的运用，平面几何基础知识的运用，属于中档题
⑴根据已知比例关系得到EF//AC，进而得到EF//平面ACD，再利用线面之间的关系得到EF//GH，进而得到AC//GH，最后根据相似三角形成比例得到结果；
⑵根据已知判断出EF≠GH，进而得到四边形EFGH为梯形，最后利用线面之间的关系得到结论．
18.【答案】(1)证明：因为AB//CD，AD⊥DC，所以AD⊥AB．
因为AB=AD，所以△ABD是等腰直角三角形，所以∠BDC=45°．
又由CD=2AB=2AD，易知∠BCD=45°，
所以∠DBC=90°，即BC⊥BD．
因为平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD=BD，BC⊂平面BDE，
所以BC⊥平面BDE．
因为DE⊂平面BDE，所以BC⊥DE．
易知DE⊥AD，AD与BC相交，且AD,BC⊂平面ABCD，
所以DE⊥平面ABCD．
(2)解：由(1)知DE，DA，DC两两垂直，以D为坐标原点，
以DA，DC，DE的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz(如图)．
设AB=1，则DE=AF=λ，
则B(1,1,0)，C(0,2,0)，F(1,0,λ)，D(0,0,0)，CF=(1,−2,λ)，BC=(−1,1,0)，DC=(0,2,0)．
设平面BCF的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，
由n1⋅BC=0,n1⋅CF=0,得−x1+y1=0,x1−2y1+λz1=0,取x1=1，
则y1=1，z1=1λ，所以n1=(1,1,1λ)．
设平面CFD的一个法向量为n2=(x2,y2,z2)，
由n2⋅CF=0,n2⋅DC=0,得x2−2y2+λz2=0,2y2=0,
取x2=−1，则y2=0，z2=1λ，所以n2=−1,0,1λ．
因为二面角B−CF−D的正弦值为255，
所以二面角B−CF−D的余弦值的绝对值为55，
则|cos ⟨n1,n2⟩|=|n1⋅n2||n1||n2|=|−1+1λ2|2+1λ2×1+1λ2=55，
解得λ=2或33．
【解析】本题主要考查的是线面垂直的判定，面面垂直的性质，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
(1)先判断出△ABD是等腰直角三角形，得到∠BDC=45°，然后利用CD=2AB=2AD，易知∠BCD=45°，所以∠DBC=90°，即BC⊥BD.再根据平面BDE⊥平面ABCD，得到BC⊥平面BDE，从而可得BC⊥DE.再结合DE⊥AD，由线面垂直的判定定理即可证明．
(2)以D为坐标原点，以DA，DC，DE的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D−xyz，分别求出平面BCF的一个法向量n1，平面CFD的一个法向量n2，利用同角三角函数基本关系可得二面角B−CF−D的余弦的绝对值为55，再进行求解即可．
19.【答案】证明：(1)∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，
∴GH//B1C1，
∵三棱柱ABC−A1B1C1中，BC//B1C1，
∴GH//BC，
∴B、C、H、G四点共面；
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF//BC．
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF//平面BCHG．
∵A1G//EB且A1G=EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E//GB．
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E//平面BCHG．
∵A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1//平面BCHG．
【解析】本题考查平面的基本性质，考查面面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
(1)利用三角形中位线的性质，证明GH//B1C1，从而可得GH//BC，即可证明B，C，H，G四点共面；
(2)先证EF//平面BCHG，再证四边形A1EBG是平行四边形，进而证得A1E//平面BCHG，再根据A1E∩EF=E，A1E，EF⊂平面EFA1，即可证得平面EFA1//平面BCHG．
20.【答案】解：1
以E为原点，EB为x轴，ED为y轴，EA为z轴，建立空间直角坐标系如图，平面α与线段AB的交点为F，
则有：A(0,0,4)，B(4,0,0)，D(0,8,0)，C(4,4,0)，M(0,0,2)，F(x,0,z)，
设AF=λAB，则向量FM与向量CD,DM共面，
CD=(−4,4,0)，DM=(0,−8,2)，FM=(−x,0,2−z)，
设FM=mCD+nDM=(−4m,4m−8n,2n)=(−x,0,2−z)(m,n∈R)，
x=4m4m−8n=0 2n=2−z ①,
又AF=(x,0,z−4)，AF=λAB=(4λ,0,−4λ)，∴x=4λ，z−4=−4λ，x=−(z−4)，x+z=4…②，
由①②得x+4z=8x+z=4,解得x=83,z=43,即F83,0,43,
AF=832+43−42=823,AB=42,AFAB=23,
F点在靠近B点的三分点处;
FC=83−42+42+432=4113,FM=832+02+2−432=2173,DM=22+82=217,CD=42+42+02=42,
四边形CDMF的周长为4113+8173+42．
2设平面ABC的一个法向量为p=(x,y,z)，AB=(4,0,−4)，BC=(0,4,0)，
则有p·AB=0 p·BC=0,解得4x−4z=04y=0,令x=1，则p=(1,0,1)，
设平面a的一个法向量为q=(a,b,c)，DM=(0,−8,2)，CD=(−4,4,0)，
q·DM = 0 q·CD=0 ,解得−8b+2c=0−4a+4b=0,
令a=1，则b=1，c=4，q=(1,1,4)，
设平面α与平面ABC的二面角的平面角为θ，
则cosθ=p·qp·q=56，
综上，四边形CDMF的周长为4113+8173+42，F点在靠近B点的三分点处，平面α与平面ABC的二面角的锐平面角的余弦值为56．
【解析】本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
(1)建立空间直角坐标系，利用向量即可求出平面α 与线段AB交点，即可得出．
(2)求出平面α 与平面ABC的法向量，即可得解．
21.【答案】证明：(1)∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，
∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD；
解：(2)连结OE，取AD的中点H，连结BH，
∵PD//平面EAC，平面EAC∩平面PBD=OE，PD⊂平面PBD，
∴PD//OE，
∵O是BD的中点，∴E是PB的中点，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴BH⊥AD，
又BH⊥PD，AD∩PD=D，AD，PD⊂平面PBD，
∴BH⊥平面PAD，且BH=32AB=3a，
∴VP−EAD=VE−PAD=12VB−PAD=12×13×S△PAD×BH=33a2(1−a2)．
由基本不等式得：VP−EAD=33a2(1−a2)≤33(a2+1−a22)2=312．
当且仅当a=22时取等号，即三棱锥P−EAD的体积的最大值为312．
【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积的最大值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．
(1)推导出AC⊥PD，AC⊥BD，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面EAC⊥平面PBD.(2)连结OE，取AD的中点H，连结BH，推导出PD//OE，从而E是PB的中点，再求出BH⊥AD，BH⊥PD，从而BH⊥平面PAD，且BH=32AB=3a，VP−EAD=VE−PAD=12VB−PAD，由此能求出三棱锥P−EAD的体积的最大值．
22.【答案】解:(1)正方体共有12条棱，与BC1相交的棱有6条，与BC1平行的棱不存在．
因此余下的6条棱所在直线分别与直线BC1是异面直线，
它们是A1A，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1．
(2)因为AD//BC，所以AA1与AD的夹角就是AA1与BC的夹角.因为 ∠A1AD=90∘，所以 AA1⊥BC．
(3)连接A1C1，因为AA1= //BB1= //CC1，所以四边形AA1C1C是平行四边形，故AC//A1C1，
从而BC1与AC的夹角就是BC1与A1C1的夹角.连接A1B.
因为A1B，BC1与A1C1都是正方体的面对角线，
所以A1B=BC1=A1C1，
故△A1BC1是正三角形．
因此，BC1与A1C1的夹角为60∘，即BC1与AC的夹角为60∘．
【解析】本题考查异面直线及线线垂直的判定，以及异面直线所成夹角，属于中档题．
(1)根据异面直线的定义判定即可；
(2)由AD//BC可知AA1与AD的夹角就是AA1与BC的夹角.再由 ∠A1AD=90∘得出即可；
(3)由题意得出BC1与AC的夹角就是BC1与A1C1的夹角.再由△A1BC1是正三角形得出即可．
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