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初中数学9上2017-2018学年湖南省长沙市宁乡县上期末模拟数学试卷含答案解析含答案
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这是一份初中数学9上2017-2018学年湖南省长沙市宁乡县上期末模拟数学试卷含答案解析含答案，共17页。试卷主要包含了计算等内容，欢迎下载使用。
湖南省长沙市宁乡县2018届九年级上期末模拟数学试卷
一.单选题（共10题；共30分）
1.在直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为3，⊙A的圆心A的坐标为（），半径为1，那么⊙O与⊙A的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交
2.如图，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1（x1 ， y1）、P2（x2 ， y2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则y1+y2=（ ）
A. 1 B. -1 C. D. +1
3.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）
A. h＜1 B. h=1 C. 1＜h＜2 D. h＞2
4.边长为的菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，将该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点C′的坐标为（ ）
A. （2，4） B. （2，5） C. （5，2） D. （6，2）
5.计算： 得（ ）
A. 3 B. 9 C. 1 D.
6.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加了24cm2 ， 这个正方形原来的边长是（ ）
A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
7.圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A. 6π B. 8π C. 12π D. 16π
8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ ）
A. 2x% B. 1+2x% C. （1+x%）x% D. （2+x%）x%
9.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A. π﹣1 B. π﹣2 C. π﹣2 D. π﹣1
10.小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（i）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（ii）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A. BD2= OD B. BD2= OD C. BD2= OD D. BD2= OD
二.填空题（共8题；共24分）
11.计算：（ + ）× =________．
12.小立存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元（不含利息税），y与x之间的函数关系是________，若年利率为6%，两年到期的本利共________元．
13.（2016•达州）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=________．
14.将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________
15.已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围为________．
16.已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2=0的一个根，那么b﹣a的值等于________．
17.有30张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，经历多次试验后，记录抽到红桃的频率为20%，则红桃大约有________ 张．
18.设x1、x2是方程2x2﹣x﹣1=0的两个根，则x1+x2=________，x1•x2=________．
三.解答题（共6题；共36分）
19.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
20.如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
21.甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）.
路程（千米）
运费（元/吨·千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.
(1)写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？
(2)如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？
22.中考报名前各校初三学生都要进行体检，某次中考体验设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处进行中考体检，请用表格或树状图分析：
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．
23.某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．
（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）
（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）
24.（1）解方程：x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0．
（2）已知抛物线y=﹣2x2+8x﹣6，请用配方法把它化成y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出此抛物线的顶点坐标和对称轴．
四.综合题（共10分）
25.如图，D是⊙O直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若E是劣弧 上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为9，且cos∠BFA= ，求△ACF的面积．
湖南省长沙市宁乡县2018届九年级上期末模拟数学试卷
答案与解析
一.单选题
1.【答案】C
【考点】圆与圆的位置关系
【解析】析：首先求得点A到点O的距离是，再根据圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．
【解答】根据题意得点A到点O的距离是，即两圆的圆心距是2，
所以半径与圆心距的关系是3-1=2，
根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．
故选C．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，则：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r．
2.【答案】C
【考点】反比例函数的应用，相切两圆的性质
【解析】【解答】∵⊙O1过原点O，⊙O1的半径O1P1 ，
∴O1O=O1P1 ，
∵⊙O1的半径O1P1与x轴垂直，点P1（x1 ， y1)在反比例函数y=（x＞0)的图象上，
∴x1=y1 ， x1y1=1，
∴x1=y1=1．
∵⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2的半径O2P2与x轴垂直，
∴EO2=O2P2=y2 ，
OO2=2+y2 ，
∴P2点的坐标为：（2+y2 ， y2)，
∵点P2在反比例函数y=（x＞0)的图象上，
∴（2+y2)•y2=1，
解得：y2=-1+或-1-（不合题意舍去)，
∴y1+y2=1+（-1+)=，
故选C．
【分析】根据⊙O1与⊙O2相外切，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，分别得出x1=y1 ， EO2=O2P2=y2 ， 再利用反比例函数y= 1 x 得出P1点坐标，即可表示出P2点的坐标，再利用反比例函数的性质得出y2的值，即可得出y1+y2的值．此题主要考查了反比例函数的综合应用和相切两圆的性质，根据已知得出O1O=O1P1以及OO2=2+y2是解题关键．
3.【答案】B
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，
可设A（﹣， b），B（， b），C（a，a2），D（0，b）
则因斜边上的高为h，
故：h=b﹣a2 ，
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴得CD=
∴ =方程两边平方得：（b﹣a2）=（a2﹣b）2
即h=（﹣h）2
因h＞0，得h=1，是个定值．
故选B．
【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h或h的范围．
4.【答案】C
【考点】坐标与图形变化-旋转
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为，
∴点B的纵坐标为=2，
∴菱形的中心的坐标为（0，2），
∴该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位的点C的对应点C′的坐标为（5，2）．
故选C．
【分析】根据勾股定理列式求出点B的纵坐标，从而得到菱形的中心，再根据旋转的性质以及平移变换求出点C′的坐标即可．
5.【答案】B
【考点】二次根式的乘除法
【解析】解答：
=9．
故选：B．
分析：根据二次根式的乘除运算法则直接求出即可．
6.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】
【分析】设原来正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】设原来正方形的边长为xcm，增加后边长为（x+2)cm，
根据题意得：（x+2)2-x2=24，
解得：x=5，
则这个正方形原来的边长为5cm．
故选A
【点评】此题考查了平方差公式，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键
7.【答案】B
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：此圆锥的侧面积= •4•2π•2=8π． 故选：B．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
8.【答案】D
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%)×（1+x%)-1=（2+x%)x%．
故选D．
【分析】设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%)，那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%)×（1+x%)，化简即可．本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系．
9.【答案】D
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在Rt△ACB中，AB=，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，∴S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．故选D．
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
10.【答案】C
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM= OA= ，
∴BM= = ，
∴DM= ，
∴OD=DM﹣OM= ﹣ = ，
∴BD2=OD2+OB2= = = OD．
故选C．
【分析】首先连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求得BM与OD的长，继而求得BD2的值．
二.填空题
11.【答案】13
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=（2 + ）× = ×
=13．
故答案为13．
【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可．
12.【答案】y=500+1000x%；560
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵本息和=本金×（1+利率）， ∴一年后的本息和为：500+500x%，
两年后本息和y=500+500x%×2=500+1000x%，
当x=6%时，y=560元．
故填空答案：y=500+1000x%，560．
【分析】确定一年后的本息和和第2年后本息和，然后代入x=6%即可取出对应的函数值．
13.【答案】2016
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1 ， x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ba ，x1x2= ca ．也考查了一元二次方程根的定义．
14.【答案】y=（x+1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），把（﹣1，0）向下平移2个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式是y=（x+1）2﹣2．
故答案为y=（x+1）2﹣2．
【分析】先由二次函数的性质得到抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根据点平移的规律，点（﹣1，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
15.【答案】0≤k＜1且k≠
【考点】一元二次方程的定义，根的判别式
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0有两个不相等实数根， ∴△=（2 ）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）
=4k﹣8k+4＞0，
解得：0＜k＜1且1﹣2k≠0，k≥0，
∴k的取值范围为0＜k＜1且k≠ ．
故答案为：0≤k＜1且k≠ ．
【分析】由x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0有两个不相等实数根，可得△＞0，且1﹣2k≠0，k≥0，三者联立求得答案即可．
16.【答案】b-a=-2
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：把x=﹣1代入ax2+bx﹣2=0，得
a﹣b﹣2=0，
则a﹣b=2．
所以b﹣a=﹣2．
故答案是：﹣2．
【分析】把x=﹣1代入已知方程来求b﹣a的值．
17.【答案】6
【考点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，红桃大约有：30×20%=6张．
【分析】根据概率的频率定义可知，由于抽到红桃的频率为20%，即红桃的概率为20%，根据概率公式即可求出红桃的张数．
18.【答案】12；﹣ 12
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2= 12 ，x1•x2=﹣ 12 ，
故答案为： 12 ，﹣ 12 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．
三.解答题
19.【答案】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，
整理，得x2﹣15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
20.【答案】解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=﹣4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数y=a（x﹣2）2或y=a（x+2）2
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2或y=0.5x2+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；
（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴=，
∴=，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2 ，
将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=，
当D为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2 ，
∴△ABO∽△AP2D，
∴=，
=，
解得：AP2=11.25，
则OP2=11.25﹣4=7.25，
故P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：，
∴，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x﹣2）2 ， 进而求出即可；
（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．
21.【答案】（1）解：设甲库运往A地粮食x吨，则甲库运到B地（100-x）吨，乙库运往A地（70-x）吨，乙库运到B地 [80-（70-x）]=（10+x）吨．
根据题意得：w=12×20x+10×25（100-x）+12×15（70-x）+8×20（10+x）
=-30x+39200(0≤x≤70)．
∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w=-30x+39200(0≤x≤70)．
∵一次函数中w=-30x+39200中，k=-30＜0
∴w的值随x的增大而减小
∴当x=70吨时，总运费w最省，
最省的总运费为：-30×70+39200=37100（元）
答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100元．
（2）解： 因为运费不能超过38000元，
所以w=-30x+39200≤38000，
所以x≥40.
又因为40≤x≤70，
所以满足题意的x值为40,50,60,70，
所以总共有4种方案.
【考点】二次函数的性质，二次函数的应用
【解析】【分析】（1）设甲库运往A地粮食x吨，则甲库剩下（100-x）要送到B地，所以A地还需要（70-x）吨要从乙库运过来，所以从乙库运送[80-（70-x）]=（10+x）吨到B地，根据数量关系：总运费=某库到某地的路程×运的吨数×每吨每千米的运费；（2）由题可得w=-30x+39200≤38000，解出x的取值范围，再取其中x为10的整数倍的数.
22.【答案】解：（1）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的结果数为2，
所以甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率=28=14；
（2）甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的结果数为4，
所以甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率=48=12．
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【分析】（1）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）找出甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的结果数，然后根据概率公式求解．
23.【答案】解：（1）答：P（恰好是A，a）的概率是=19；
（2）依题意画树状图如下：
孩子
家长
ab
ac
bc
AB
AB，ab
AB，ac
AB，bc
AC
AC，ab
AC，ac
AC，bc
BC
BC，ab
BC，ac
BC，bc
共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有（AB，ab），（ AC，ac），（ BC，bc）3种，故恰好是两对家庭成员的概率是P=39=13．
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率则为13×13=19 ．
（2）画出树形图，找到恰好是两对家庭成员的情况即可求出其概率．
24.【答案】解：（1）x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣1）=0，
可化为：x﹣1=0或x﹣1=0，
解得：x1=1，x2=2；
（2）∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x2﹣4x+4）+8﹣6=﹣2（x﹣2）2+2，
∴此抛物线的顶点坐标是（2，2），对称轴为直线x=2．
【考点】二次函数的性质
【解析】【分析】（1）先将把方程左边化为两个一次因式积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到原方程的解；
（2）先利用配方法提出二次项系数，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
四.综合题
25.【答案】（1）证明：连接BO，
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB，
又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA= = ，
∴ =（ ）2= ，
又∵S△BEF=9
∴S△ACF=16．
【考点】切线的判定
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠D=∠ABD，∠ABO=∠AOB，再根据三角形内角和定理得到∠OBD=90°，即BD是⊙O的切线；（2）由两角相等∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，得到△ACF∽△BEF，再由AC是⊙O的直径，得到∠ABC=90°，在Rt△BFA中，由三角函数值cos∠BFA得到S△ACF的面积.
湖南省长沙市宁乡县2018届九年级上期末模拟数学试卷
一.单选题（共10题；共30分）
1.在直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为3，⊙A的圆心A的坐标为（），半径为1，那么⊙O与⊙A的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交
2.如图，平面直角坐标系中，⊙O1过原点O，且⊙O1与⊙O2相外切，圆心O1与O2在x轴正半轴上，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，且点P1（x1 ， y1）、P2（x2 ， y2）在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则y1+y2=（ ）
A. 1 B. -1 C. D. +1
3.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）
A. h＜1 B. h=1 C. 1＜h＜2 D. h＞2
4.边长为的菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，将该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点C′的坐标为（ ）
A. （2，4） B. （2，5） C. （5，2） D. （6，2）
5.计算： 得（ ）
A. 3 B. 9 C. 1 D.
6.一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加了24cm2 ， 这个正方形原来的边长是（ ）
A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm
7.圆锥的母线长为4，底面半径为2，则此圆锥的侧面积是（ ）
A. 6π B. 8π C. 12π D. 16π
8.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x%，第三季度的产值又比第二季度的产值增长了x%，则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（ ）
A. 2x% B. 1+2x% C. （1+x%）x% D. （2+x%）x%
9.如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A. π﹣1 B. π﹣2 C. π﹣2 D. π﹣1
10.小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（i）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；
（ii）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（ ）
A. BD2= OD B. BD2= OD C. BD2= OD D. BD2= OD
二.填空题（共8题；共24分）
11.计算：（ + ）× =________．
12.小立存入银行人民币500元，年利率为x%，两年到期，本息和为y元（不含利息税），y与x之间的函数关系是________，若年利率为6%，两年到期的本利共________元．
13.（2016•达州）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=________．
14.将抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，得到新抛物线的函数解析式是________
15.已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围为________．
16.已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣2=0的一个根，那么b﹣a的值等于________．
17.有30张牌，牌面朝下，每次抽出一张记下花色再放回，洗牌后再抽，经历多次试验后，记录抽到红桃的频率为20%，则红桃大约有________ 张．
18.设x1、x2是方程2x2﹣x﹣1=0的两个根，则x1+x2=________，x1•x2=________．
三.解答题（共6题；共36分）
19.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
20.如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．
（1）求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
21.甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和费用如下表：（表中运费“元/吨·千米”表示每吨水泥运送1千米所需要人民币）.
路程（千米）
运费（元/吨·千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A地
20
15
12
12
B地
25
20
10
8
设甲库运往A地水泥x吨，总运费W元.
(1)写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？
(2)如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方案？
22.中考报名前各校初三学生都要进行体检，某次中考体验设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处进行中考体检，请用表格或树状图分析：
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．
23.某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．
（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）
（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）
24.（1）解方程：x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0．
（2）已知抛物线y=﹣2x2+8x﹣6，请用配方法把它化成y=a（x﹣h）2+k的形式，并指出此抛物线的顶点坐标和对称轴．
四.综合题（共10分）
25.如图，D是⊙O直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．
（1）求证：BD是⊙O的切线．
（2）若E是劣弧 上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为9，且cos∠BFA= ，求△ACF的面积．
湖南省长沙市宁乡县2018届九年级上期末模拟数学试卷
答案与解析
一.单选题
1.【答案】C
【考点】圆与圆的位置关系
【解析】析：首先求得点A到点O的距离是，再根据圆心距与半径之间的数量关系判断⊙O1与⊙O2的位置关系．
【解答】根据题意得点A到点O的距离是，即两圆的圆心距是2，
所以半径与圆心距的关系是3-1=2，
根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．
故选C．
【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，则：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r．
2.【答案】C
【考点】反比例函数的应用，相切两圆的性质
【解析】【解答】∵⊙O1过原点O，⊙O1的半径O1P1 ，
∴O1O=O1P1 ，
∵⊙O1的半径O1P1与x轴垂直，点P1（x1 ， y1)在反比例函数y=（x＞0)的图象上，
∴x1=y1 ， x1y1=1，
∴x1=y1=1．
∵⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2的半径O2P2与x轴垂直，
∴EO2=O2P2=y2 ，
OO2=2+y2 ，
∴P2点的坐标为：（2+y2 ， y2)，
∵点P2在反比例函数y=（x＞0)的图象上，
∴（2+y2)•y2=1，
解得：y2=-1+或-1-（不合题意舍去)，
∴y1+y2=1+（-1+)=，
故选C．
【分析】根据⊙O1与⊙O2相外切，⊙O1的半径O1P1、⊙O2的半径O2P2都与x轴垂直，分别得出x1=y1 ， EO2=O2P2=y2 ， 再利用反比例函数y= 1 x 得出P1点坐标，即可表示出P2点的坐标，再利用反比例函数的性质得出y2的值，即可得出y1+y2的值．此题主要考查了反比例函数的综合应用和相切两圆的性质，根据已知得出O1O=O1P1以及OO2=2+y2是解题关键．
3.【答案】B
【考点】二次函数的应用
【解析】【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴，
知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，
可设A（﹣， b），B（， b），C（a，a2），D（0，b）
则因斜边上的高为h，
故：h=b﹣a2 ，
∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，
∴得CD=
∴ =方程两边平方得：（b﹣a2）=（a2﹣b）2
即h=（﹣h）2
因h＞0，得h=1，是个定值．
故选B．
【分析】由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h或h的范围．
4.【答案】C
【考点】坐标与图形变化-旋转
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为，
∴点B的纵坐标为=2，
∴菱形的中心的坐标为（0，2），
∴该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位的点C的对应点C′的坐标为（5，2）．
故选C．
【分析】根据勾股定理列式求出点B的纵坐标，从而得到菱形的中心，再根据旋转的性质以及平移变换求出点C′的坐标即可．
5.【答案】B
【考点】二次根式的乘除法
【解析】解答：
=9．
故选：B．
分析：根据二次根式的乘除运算法则直接求出即可．
6.【答案】A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】
【分析】设原来正方形的边长为xcm，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】设原来正方形的边长为xcm，增加后边长为（x+2)cm，
根据题意得：（x+2)2-x2=24，
解得：x=5，
则这个正方形原来的边长为5cm．
故选A
【点评】此题考查了平方差公式，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键
7.【答案】B
【考点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：此圆锥的侧面积= •4•2π•2=8π． 故选：B．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
8.【答案】D
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】第三季度的产值比第一季度的增长了（1+x%)×（1+x%)-1=（2+x%)x%．
故选D．
【分析】设第一季度产值为1，第二季度比第一季度增长了x%，则第二季度的产值为1×（1+x%)，那么第三季度的产值是由第二季度产值增长了x%来确定，则其产值为1×（1+x%)×（1+x%)，化简即可．本题考查一元二次方程的应用，关键在于理清第一季度和第二季度的产值增长关系．
9.【答案】D
【考点】扇形面积的计算
【解析】【解答】在Rt△ACB中，AB=，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，∴S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．故选D．
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
10.【答案】C
【考点】正多边形和圆
【解析】【解答】解：如图2，连接BM，
根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，
∵OA的垂直平分线交OA于点M，
∴OM=AM= OA= ，
∴BM= = ，
∴DM= ，
∴OD=DM﹣OM= ﹣ = ，
∴BD2=OD2+OB2= = = OD．
故选C．
【分析】首先连接BM，根据题意得：OB=OA=1，AD⊥OB，BM=DM，然后由勾股定理可求得BM与OD的长，继而求得BD2的值．
二.填空题
11.【答案】13
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式=（2 + ）× = ×
=13．
故答案为13．
【分析】先把各二次根式化简为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算即可．
12.【答案】y=500+1000x%；560
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵本息和=本金×（1+利率）， ∴一年后的本息和为：500+500x%，
两年后本息和y=500+500x%×2=500+1000x%，
当x=6%时，y=560元．
故填空答案：y=500+1000x%，560．
【分析】确定一年后的本息和和第2年后本息和，然后代入x=6%即可取出对应的函数值．
13.【答案】2016
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的实数根，
∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018，
∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m2+3m+n=2018﹣2=2016．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=﹣2m+2018，则m2+3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1 ， x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣ ba ，x1x2= ca ．也考查了一元二次方程根的定义．
14.【答案】y=（x+1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），把（﹣1，0）向下平移2个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），所以平移后的抛物线的解析式是y=（x+1）2﹣2．
故答案为y=（x+1）2﹣2．
【分析】先由二次函数的性质得到抛物线y=（x+1）2的顶点坐标为（﹣1，0），再根据点平移的规律，点（﹣1，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣1，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
15.【答案】0≤k＜1且k≠
【考点】一元二次方程的定义，根的判别式
【解析】【解答】解：∵关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0有两个不相等实数根， ∴△=（2 ）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）
=4k﹣8k+4＞0，
解得：0＜k＜1且1﹣2k≠0，k≥0，
∴k的取值范围为0＜k＜1且k≠ ．
故答案为：0≤k＜1且k≠ ．
【分析】由x的方程（1﹣2k）x2﹣2 x﹣1=0有两个不相等实数根，可得△＞0，且1﹣2k≠0，k≥0，三者联立求得答案即可．
16.【答案】b-a=-2
【考点】一元二次方程的解
【解析】【解答】解：把x=﹣1代入ax2+bx﹣2=0，得
a﹣b﹣2=0，
则a﹣b=2．
所以b﹣a=﹣2．
故答案是：﹣2．
【分析】把x=﹣1代入已知方程来求b﹣a的值．
17.【答案】6
【考点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，红桃大约有：30×20%=6张．
【分析】根据概率的频率定义可知，由于抽到红桃的频率为20%，即红桃的概率为20%，根据概率公式即可求出红桃的张数．
18.【答案】12；﹣ 12
【考点】根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵x1、x2是方程2x2﹣x﹣1=0的两个根，
∴x1+x2= 12 ，x1•x2=﹣ 12 ，
故答案为： 12 ，﹣ 12 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可．
三.解答题
19.【答案】解：设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）=6000，
整理，得x2﹣15x+50=0，
解这个方程，得x1=5，x2=10．
要使顾客得到实惠，应取x=5．
答：每千克水果应涨价5元
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【分析】设每千克水果应涨价x元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利×日销售量，依题意得方程求解即可．
20.【答案】解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=﹣4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2
∴可设二次函数y=a（x﹣2）2或y=a（x+2）2
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x2﹣2x+2或y=0.5x2+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；
（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴=，
∴=，
得：OP1=1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2 ，
将y=0.5x+2与y=0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=，
当D为直角顶点时
∵∠DAP2=∠BAO，∠BOA=∠ADP2 ，
∴△ABO∽△AP2D，
∴=，
=，
解得：AP2=11.25，
则OP2=11.25﹣4=7.25，
故P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：，
∴，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】（1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC=2．得出可设二次函数y=ax2+bx+c=a（x﹣2）2 ， 进而求出即可；
（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．
21.【答案】（1）解：设甲库运往A地粮食x吨，则甲库运到B地（100-x）吨，乙库运往A地（70-x）吨，乙库运到B地 [80-（70-x）]=（10+x）吨．
根据题意得：w=12×20x+10×25（100-x）+12×15（70-x）+8×20（10+x）
=-30x+39200(0≤x≤70)．
∴总运费w（元）关于x（吨）的函数关系式为w=-30x+39200(0≤x≤70)．
∵一次函数中w=-30x+39200中，k=-30＜0
∴w的值随x的增大而减小
∴当x=70吨时，总运费w最省，
最省的总运费为：-30×70+39200=37100（元）
答：从甲库运往A地70吨粮食，往B地运送30吨粮食，从乙库运往B地80吨粮食时，总运费最省为37100元．
（2）解： 因为运费不能超过38000元，
所以w=-30x+39200≤38000，
所以x≥40.
又因为40≤x≤70，
所以满足题意的x值为40,50,60,70，
所以总共有4种方案.
【考点】二次函数的性质，二次函数的应用
【解析】【分析】（1）设甲库运往A地粮食x吨，则甲库剩下（100-x）要送到B地，所以A地还需要（70-x）吨要从乙库运过来，所以从乙库运送[80-（70-x）]=（10+x）吨到B地，根据数量关系：总运费=某库到某地的路程×运的吨数×每吨每千米的运费；（2）由题可得w=-30x+39200≤38000，解出x的取值范围，再取其中x为10的整数倍的数.
22.【答案】解：（1）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的结果数为2，
所以甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的概率=28=14；
（2）甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的结果数为4，
所以甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率=48=12．
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【分析】（1）画树状图展示所有8种等可能的结果数，再找出甲、乙、丙三名学生在同一处中考体验的结果数，然后根据概率公式求解；
（2）找出甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的结果数，然后根据概率公式求解．
23.【答案】解：（1）答：P（恰好是A，a）的概率是=19；
（2）依题意画树状图如下：
孩子
家长
ab
ac
bc
AB
AB，ab
AB，ac
AB，bc
AC
AC，ab
AC，ac
AC，bc
BC
BC，ab
BC，ac
BC，bc
共有9种情形，每种发生可能性相等，其中恰好是两对家庭成员有（AB，ab），（ AC，ac），（ BC，bc）3种，故恰好是两对家庭成员的概率是P=39=13．
【考点】列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率则为13×13=19 ．
（2）画出树形图，找到恰好是两对家庭成员的情况即可求出其概率．
24.【答案】解：（1）x（x﹣1）﹣（x﹣1）=0，
分解因式得：（x﹣1）（x﹣1）=0，
可化为：x﹣1=0或x﹣1=0，
解得：x1=1，x2=2；
（2）∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x2﹣4x+4）+8﹣6=﹣2（x﹣2）2+2，
∴此抛物线的顶点坐标是（2，2），对称轴为直线x=2．
【考点】二次函数的性质
【解析】【分析】（1）先将把方程左边化为两个一次因式积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到原方程的解；
（2）先利用配方法提出二次项系数，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可写出抛物线的对称轴和顶点坐标．
四.综合题
25.【答案】（1）证明：连接BO，
∵AB=AD
∴∠D=∠ABD
∵AB=AO
∴∠ABO=∠AOB，
又∵在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD=180°
∴∠OBD=90°，即BD⊥BO
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠C=∠E，∠CAF=∠EBF
∴△ACF∽△BEF
∵AC是⊙O的直径
∴∠ABC=90°
在Rt△BFA中，cos∠BFA= = ，
∴ =（ ）2= ，
又∵S△BEF=9
∴S△ACF=16．
【考点】切线的判定
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到∠D=∠ABD，∠ABO=∠AOB，再根据三角形内角和定理得到∠OBD=90°，即BD是⊙O的切线；（2）由两角相等∠C=∠E，∠CAF=∠EBF，得到△ACF∽△BEF，再由AC是⊙O的直径，得到∠ABC=90°，在Rt△BFA中，由三角函数值cos∠BFA得到S△ACF的面积.
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