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初中数学9上2017-2018学年山东省临沂市河东区上期中数学试卷含答案解析含答案
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这是一份初中数学9上2017-2018学年山东省临沂市河东区上期中数学试卷含答案解析含答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
2017-2018学年山东省临沂市河东区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣=0的一个根，则m2﹣m的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．﹣
4．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
6．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=128 B．168（1﹣x）2=128 C．168（1﹣2x）=128 D．168（1﹣x2）=128
7．（3分）若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
8．（3分）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
10．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（ ）
A．2a B．a C． D．
11．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
12．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
13．（3分）如图：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC，使点E恰巧落在AB上，连接BF，则BF的长度为（ ）
A． B．2 C．1 D．
14．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则ba的值为 ．
16．（3分）已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB和CD的距离为 ．
17．（3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1）．则代数式1﹣a﹣b的值为 ．
18．（3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围 ．
19．（3分）该试题已被管理员删除
三、简答题（本大题共6小题，共63分）
20．（10分）用适当的方法解下列方程
①x2﹣4x﹣3=0；
②（x+3）2=﹣2（x+3）
21．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 ．
22．（9分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．
23．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2．
（1）如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
25．（13分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N点，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，当m为何值时，△BNC的面积最大．
2017-2018学年山东省临沂市河东区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）ADCB
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
2．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选A．
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣=0的一个根，则m2﹣m的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．﹣
【解答】解：把m代入方程x2﹣x﹣=0，得到m2﹣m﹣=0，
所以m2﹣m=．
故选C．
4．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【解答】解：如图，设AO与BC交于点D．
∵∠AOB=60°，，
∴∠C=∠AOB=30°，
又∵AB=AC，
∴=
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴在直角△ACD中，CD=AC•cos30°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选：C．
6．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=128 B．168（1﹣x）2=128 C．168（1﹣2x）=128 D．168（1﹣x2）=128
【解答】解：根据题意得：168（1﹣x）2=128，
故选B．
7．（3分）若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【解答】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴x==3；
故选C．
8．（3分）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d=5，r=6，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故选：A．
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选D
10．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（ ）
A．2a B．a C． D． [来源:学科网]
【解答】解：边长为a的正六边形可以分成六个边长为a的正三角形，而正多边形的内切圆的半径即为每个边长为a的正三角形的高，所以正多边形的内切圆的半径等于．故选C．
11．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
【解答】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE===6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE===2．
故选：D．
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
12．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：B．
13．（3分）如图：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC，使点E恰巧落在AB上，连接BF，则BF的长度为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴A′C=AC=1，AB=2，BC=，
∵∠A=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′=AB=1，
∴A′C=A′B，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∵△A′FC是△ABC旋转而成，
∴∠A′CF=90°，BC=FC，
∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，
∴△BCF是等边三角形，
∴BF=BC=．
故选A．
14．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
即x=﹣3时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣3，
而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，
∴m＜n，所以③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），
而抛物线的对称轴为直线x=﹣3，
∴点（﹣1，﹣4）关于直线x=﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确．
故选C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则ba的值为 9 ．
【解答】解：由题意，得[来源:Z,xx,k.Com]
a=2，b=﹣3，
ba=（﹣3）2=9，
故答案为：9．
16．（3分）已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB和CD的距离为 1cm或7cm ．
【解答】解：如图所示，
如图（一），当AB、CD在圆心O的同侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，交AB于F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AF=4cm，CE=3cm，[来源:学*科*网]
∴OA=OC=5cm，
∴OE===4cm，
同理，OF===3cm，
∴EF=OE﹣OF=4﹣3=1cm；
如图（二），当AB、CD在圆心O的异侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，反向延长OE交AB于F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AF=4cm，CE=3cm，
∴OA=OC=5cm，
∴OE===4cm，
同理，OF===3cm，
∴EF=OE+OF=4+3=7cm．
故答案为：1cm或7cm．
17．（3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1）．则代数式1﹣a﹣b的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．
故答案为﹣1．
18．（3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围 b≥﹣8 ．
【解答】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1，
则，
（x﹣3）2﹣1=2x+b，
x2﹣8x+8﹣b=0，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故答案是：b≥﹣8．
19．（3分）该试题已被管理员删除
三、简答题（本大题共6小题，共63分）
20．（10分）用适当的方法解下列方程
①x2﹣4x﹣3=0；
②（x+3）2=﹣2（x+3）
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3=0，
（x﹣2）2=7，
x﹣2=±，
x1=2﹣，x2=2+；
（2）（x+3）2=﹣2（x+3），
（x+3）（x+5）=0，
x+3=0，x+5=0，
x1=﹣3，x2=﹣5．
21．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 （1，0） ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 ．
【解答】解：（1）由题意，得
B1（1，3﹣3），
∴B1（1，0）．
故答案为：（1，0）；
（2）如图，①，过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，
②，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，
∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得
A2（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）；
（3）由勾股定理，得
OA=，
∴线段OA扫过的图形的面积为： =．
故答案为：．
22．（9分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．
【解答】证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC，
∴AD=BD．
（2）连接OD；
∵AD=BD，OB=OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
23．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可得：w=（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
=﹣10（x﹣20）（x﹣50）
=﹣10x2+700x﹣10000；
（2）∵w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x=35时，w取到最大值2250，
即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元．
24．（12分）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2．
（1）如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
【解答】解：（1）当CC'=时，四边形MCND'是菱形．
理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°，
∵CN是∠ACC'的角平分线，
∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B，
∴∠D'E'C'=∠NCC'，
∴D'E'∥CN，
∴四边形MCND'是平行四边形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，
∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，
∴MC=CE'，NC=CC'，
∵E'C'=2，
∵四边形MCND'是菱形，
∴CN=CM，
∴CC'=E'C'=；
（2）①AD'=BE'，
理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，
由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，
∴△ACD'≌△BCE'，
∴AD'=BE'，
当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，
即：AD'=BE'，
综上可知：AD'=BE'．
②如图连接CP，
在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，
∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，
如图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'=，
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'==2．
25．（13分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N点，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，当m为何值时，△BNC的面积最大．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，
则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图，由（2）知，MN=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
∴S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．
2017-2018学年山东省临沂市河东区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣=0的一个根，则m2﹣m的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．﹣
4．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
6．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=128 B．168（1﹣x）2=128 C．168（1﹣2x）=128 D．168（1﹣x2）=128
7．（3分）若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
8．（3分）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
10．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（ ）
A．2a B．a C． D．
11．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
12．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
13．（3分）如图：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC，使点E恰巧落在AB上，连接BF，则BF的长度为（ ）
A． B．2 C．1 D．
14．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则ba的值为 ．
16．（3分）已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB和CD的距离为 ．
17．（3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1）．则代数式1﹣a﹣b的值为 ．
18．（3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围 ．
19．（3分）该试题已被管理员删除
三、简答题（本大题共6小题，共63分）
20．（10分）用适当的方法解下列方程
①x2﹣4x﹣3=0；
②（x+3）2=﹣2（x+3）
21．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 ．
22．（9分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．
23．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2．
（1）如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
25．（13分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N点，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，当m为何值时，△BNC的面积最大．
2017-2018学年山东省临沂市河东区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）ADCB
1．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项错误．
故选：C．
2．（3分）抛物线y=2（x﹣3）2+4顶点坐标是（ ）
A．（3，4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（2，4）
【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故选A．
3．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣=0的一个根，则m2﹣m的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．﹣
【解答】解：把m代入方程x2﹣x﹣=0，得到m2﹣m﹣=0，
所以m2﹣m=．
故选C．
4．（3分）抛物线y=（x+2）2﹣3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3个单位即可得到抛物线y=（x+2）2﹣3．
故平移过程为：先向左平移2个单位，再向下平移3个单位．
故选：B．
5．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=60°，AB=AC=2，则弦BC的长为（ ）
A． B．3 C．2 D．4
【解答】解：如图，设AO与BC交于点D．
∵∠AOB=60°，，
∴∠C=∠AOB=30°，
又∵AB=AC，
∴=
∴AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴在直角△ACD中，CD=AC•cos30°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选：C．
6．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1+x）2=128 B．168（1﹣x）2=128 C．168（1﹣2x）=128 D．168（1﹣x2）=128
【解答】解：根据题意得：168（1﹣x）2=128，
故选B．
7．（3分）若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4
【解答】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴x==3；
故选C．
8．（3分）已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【解答】解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，
∵d=5，r=6，
∴d＜r，
∴直线l与圆相交．
故选：A．
9．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
【解答】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故选D
10．（3分）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（ ）
A．2a B．a C． D． [来源:学科网]
【解答】解：边长为a的正六边形可以分成六个边长为a的正三角形，而正多边形的内切圆的半径即为每个边长为a的正三角形的高，所以正多边形的内切圆的半径等于．故选C．
11．（3分）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
【解答】解：∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，
∴AC=AB=4，
设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC=4，OC=r﹣2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5，
∴AE=2r=10，
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE=90°，
在Rt△ABE中，
∵AE=10，AB=8，
∴BE===6，
在Rt△BCE中，
∵BE=6，BC=4，
∴CE===2．
故选：D．
[来源:学,科,网Z,X,X,K]
12．（3分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：B．
13．（3分）如图：在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，现将△ABC绕点C逆时针旋转至△EFC，使点E恰巧落在AB上，连接BF，则BF的长度为（ ）
A． B．2 C．1 D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴A′C=AC=1，AB=2，BC=，
∵∠A=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′=AB=1，
∴A′C=A′B，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∵△A′FC是△ABC旋转而成，
∴∠A′CF=90°，BC=FC，
∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，
∴△BCF是等边三角形，
∴BF=BC=．
故选A．
14．（3分）如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），下列结论：①b2＞4ac；②ax2+bx+c≥﹣6；③若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），
即x=﹣3时，函数有最小值，
∴ax2+bx+c≥﹣6，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣3，
而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，
∴m＜n，所以③错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），
而抛物线的对称轴为直线x=﹣3，
∴点（﹣1，﹣4）关于直线x=﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确．
故选C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
15．（3分）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则ba的值为 9 ．
【解答】解：由题意，得[来源:Z,xx,k.Com]
a=2，b=﹣3，
ba=（﹣3）2=9，
故答案为：9．
16．（3分）已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB和CD的距离为 1cm或7cm ．
【解答】解：如图所示，
如图（一），当AB、CD在圆心O的同侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，交AB于F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AF=4cm，CE=3cm，[来源:学*科*网]
∴OA=OC=5cm，
∴OE===4cm，
同理，OF===3cm，
∴EF=OE﹣OF=4﹣3=1cm；
如图（二），当AB、CD在圆心O的异侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，反向延长OE交AB于F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AF=4cm，CE=3cm，
∴OA=OC=5cm，
∴OE===4cm，
同理，OF===3cm，
∴EF=OE+OF=4+3=7cm．
故答案为：1cm或7cm．
17．（3分）二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1）．则代数式1﹣a﹣b的值为 ﹣1 ．
【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（1，1），
∴a+b﹣1=1，
∴a+b=2，
∴1﹣a﹣b=1﹣（a+b）=1﹣2=﹣1．
故答案为﹣1．
18．（3分）将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围 b≥﹣8 ．
【解答】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x﹣3）2﹣1，
则，
（x﹣3）2﹣1=2x+b，
x2﹣8x+8﹣b=0，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故答案是：b≥﹣8．
19．（3分）该试题已被管理员删除
三、简答题（本大题共6小题，共63分）
20．（10分）用适当的方法解下列方程
①x2﹣4x﹣3=0；
②（x+3）2=﹣2（x+3）
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3=0，
（x﹣2）2=7，
x﹣2=±，
x1=2﹣，x2=2+；
（2）（x+3）2=﹣2（x+3），
（x+3）（x+5）=0，
x+3=0，x+5=0，
x1=﹣3，x2=﹣5．
21．（9分）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．
（1）将△AOB向下平移3个单位后得到△A1O1B1，则点B1的坐标为 （1，0） ；
（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A2OB2，请在图中作出△A2OB2，并求出这时点A2的坐标为 （﹣2，3） ；
（3）在（2）中的旋转过程中，线段OA扫过的图形的面积 ．
【解答】解：（1）由题意，得
B1（1，3﹣3），
∴B1（1，0）．
故答案为：（1，0）；
（2）如图，①，过点O作OA的垂线，在上面取一点A2使OA2=OA，
②，同样的方法求出点B2，顺次连接A2、B2、O就得出△A2OB2，
∴△A2OB2是所求作的图形．由作图得
A2（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）；
（3）由勾股定理，得
OA=，
∴线段OA扫过的图形的面积为： =．
故答案为：．
22．（9分）已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．
求证：（1）AD=BD；
（2）DF是⊙O的切线．
【解答】证明：（1）连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴CD⊥AB．
∵AC=BC，
∴AD=BD．
（2）连接OD；
∵AD=BD，OB=OC，
∴OD是△BCA的中位线，
∴OD∥AC．
∵DE⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
23．（10分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现；当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）由题意可得：w=（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]
=﹣10（x﹣20）（x﹣50）
=﹣10x2+700x﹣10000；
（2）∵w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250，
∴当x=35时，w取到最大值2250，
即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元．
24．（12分）边长为6的等边△ABC中，点D、E分别在AC、BC边上，DE∥AB，EC=2．
（1）如图1，将△DEC沿射线EC方向平移，得到△D′E′C′，边D′E′与AC的交点为M，边C′D′与∠ACC′的角平分线交于点N，当CC′多大时，四边形MCND′为菱形？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接AD′、BE′．边D′E′的中点为P．
①在旋转过程中，AD′和BE′有怎样的数量关系？并说明理由；
②连接AP，当AP最大时，求AD′的值．（结果保留根号）
[来源:学*科*网Z*X*X*K]
【解答】解：（1）当CC'=时，四边形MCND'是菱形．
理由：由平移的性质得，CD∥C'D'，DE∥D'E'，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC'=180°﹣∠ACB=120°，
∵CN是∠ACC'的角平分线，
∴∠D'E'C'=∠ACC'=60°=∠B，
∴∠D'E'C'=∠NCC'，
∴D'E'∥CN，
∴四边形MCND'是平行四边形，
∵∠ME'C'=∠MCE'=60°，∠NCC'=∠NC'C=60°，
∴△MCE'和△NCC'是等边三角形，
∴MC=CE'，NC=CC'，
∵E'C'=2，
∵四边形MCND'是菱形，
∴CN=CM，
∴CC'=E'C'=；
（2）①AD'=BE'，
理由：当α≠180°时，由旋转的性质得，∠ACD'=∠BCE'，
由（1）知，AC=BC，CD'=CE'，
∴△ACD'≌△BCE'，
∴AD'=BE'，
当α=180°时，AD'=AC+CD'，BE'=BC+CE'，
即：AD'=BE'，
综上可知：AD'=BE'．
②如图连接CP，
在△ACP中，由三角形三边关系得，AP＜AC+CP，
∴当点A，C，P三点共线时，AP最大，
如图1，在△D'CE'中，由P为D'E的中点，得AP⊥D'E'，PD'=，
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD'中，由勾股定理得，AD'==2．
25．（13分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N点，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，当m为何值时，△BNC的面积最大．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．
（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：
，
解得；
故直线BC的解析式：y=﹣x+3．
已知点M的横坐标为m，MN∥y，
则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如图，由（2）知，MN=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
∴S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，
=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．
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