初中人教版第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第1课时巩固练习

这是一份初中人教版第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形第1课时巩固练习，共12页。试卷主要包含了3　等腰三角形等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度人教版初中八年级数学课堂提升训练试卷班级             姓名          第十三章　轴对称13.3　等腰三角形13.3.2　等边三角形第1课时 一、选择题1.如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论中:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP,正确的有(　　)A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个2. 如图,△ABC是等边三角形,AD是角平分线,△ADE是等边三角形,下列结论不正确的是(　　)A.AD⊥BC　　B.EF=FD　　C.BE=BD　　D.AE=AC3.如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3、…在射线ON上,点B1、B2、B3、…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形,若OA1=,则△A6B6A7的边长为(　　)A.6　　B.12　　C.16　　D.324.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于(　　)A.10°　　B.15°　　C.20°　　D.25°5.已知直线l1∥l2,将等边三角形按如图所示的方式放置,若∠α=40°,则∠β等于(　　)A.20°　　B.30°　　C.40°　　D.50°6.△ABC中,①若AB=BC=CA,则△ABC是等边三角形;②属于轴对称图形,且有一个角为60°的三角形是等边三角形;③有三条对称轴的三角形是等边三角形;④有两个角是60°的三角形是等边三角形.上述结论中正确的有(　　)A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个 二、填空题7.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,D是BC上一点,BD=2,DE⊥BC交AB于点E,则AE=　　　　. 8.如图,AD是等边三角形ABC的中线,AE=AD,则∠EDC=　　　　. 9.如图,等边△ABC的两条中线BD、CE交于点O,则∠BOC=　　　　. 10.如图,AB=AC=5,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE的长为　　　　. 三、解答题11.如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:∠BQM=60°.      12.如图所示,已知等边△ABC中,AB=AC=BC=10厘米,M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边顺时针运动,已知点M的速度是1厘米/秒,点N的速度是2厘米/秒,当点N第一次到达B点时,M、N同时停止运动.(1)M、N运动几秒后重合?(2)M、N运动几秒后,可得到等边△AMN?(3)M、N在BC边上运动时,是否存在以MN为底边的等腰△AMN?如果存在,请求出此时M、N运动的时间;如果不存在,请说明理由.   13.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,使DB=DE.(1)求∠BDE的度数;(2)求证:△CED为等腰三角形.      14.等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形?试说明你的结论.    
答案全解全析一、选择题1.答案　D　∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;∵△ABC为等边三角形,∴由①可得PB=PC,∵∠B=∠C,∠BRP=∠CSP=90°,∴△BPR≌△CPS,∴BR=CS,∵AB=AC,∴AS=AR,故②正确;∵AQ=PQ,∴∠QAP=∠QPA,∴∠PQC=2∠PAC=∠BAC,∴QP∥AR,故③正确;∵∠PQC=∠BAC=60°=∠C,∴△PQC是等边三角形,∵PS⊥AC,∴△PQS≌△PCS,∴△BRP≌△QSP,故④正确.∴正确的有4个.2.答案　D　∵△ABC是等边三角形,△ADE是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,AE=AD=ED,∠EAD=60°,∵AD是△ABC的角平分线,∴∠DAB=∠DAC=30°,∴AD⊥BC(A结论正确),∠EAB=30°=∠BAD,∴AB⊥ED,EF=DF(B结论正确),∴BE=BD(C结论正确),无法得出AE=AC,故D结论错误.3.答案　C　如图,∵△A1B1A2是等边三角形,∴A1B1=A2B1,∠3=∠4=∠12=60°,∴∠2=120°,∵∠MON=30°,∴∠1=180°-120°-30°=30°,又∵∠3=60°,∴∠5=180°-60°-30°=90°,∵∠MON=∠1=30°,∴A1B1=OA1=,∴A2B1=,∵△A2B2A3、△A3B3A4都是等边三角形,∴∠11=∠10=∠13=60°,∴∠4=∠10=∠11=∠3=∠13,∴A1B1∥A2B2∥A3B3,B1A2∥B2A3,∴∠6=∠7=∠1=30°,∠8=∠5=90°,∴A2B2=2B1A2,B3A3=2B2A3,∴A3B3=4B1A2=2,A4B4=8B1A2=4,A5B5=16B1A2=8,……∴△AnBnAn+1的边长为×2n-1,∴△A6B6A7的边长为×26-1=×25=16.故选C.4. 答案　C　∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC,∴AD所在直线是BC的垂直平分线,∠ABC=60°,∵E是AD上一点,∴EB=EC,∴∠EBD=∠ECD,∵∠CED=50°,∴∠ECD=40°,∴∠EBD=40°,∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°-40°=20°,故选C.5. 答案　A　过点A作AD∥l1,如图,则∠BAD=∠β.∵l1∥l2,∴AD∥l2,∴∠DAC=∠α=40°.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠β=∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°.故选A.6. 答案　D　①三边相等的三角形是等边三角形,正确;②属于轴对称图形,且有一个角为60°的三角形是等边三角形,正确;③有三条对称轴的三角形是等边三角形,正确;④有两个角是60°的三角形是等边三角形,正确.故正确的有4个.故选D.二、填空题7.答案　2解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,∵DE⊥BC,∴∠EDB=90°,∴∠BED=30°,∴BE=2BD,∵BD=2,∴EB=2BD=4,∴AE=AB-BE=6-4=2,故答案为2.8.答案　15°解析　∵AD是等边△ABC的中线,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=×60°=30°,∴∠ADC=90°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED==75°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.9. 答案　120°解析　∵△ABC是等边三角形,BD、CE是中线,∴BD⊥AC,∠ACE=∠ACB=30°,∴∠BDC=90°,∴∠BOC=∠ODC+∠ACE=120°,故答案为120°.10. 答案　2.5解析　 ∵AB=AC,∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形,点A在BC的垂直平分线上,∴BC=AB=5,∵DB=DC,∴点D在BC的垂直平分线上,∴AD垂直平分BC,∴BE=BC=2.5.三、解答题11.证明　∵BM=CN,BC=AC,∴CM=AN,又∵AB=AC,∠BAN=∠ACM=60°,∴△AMC≌△BNA,∴∠AMC=∠BNA,∵∠MAN+∠ANB+∠AQN=180°,∠MAN+∠AMC+∠ACB=180°,∴∠AQN=∠ACB,∵∠BQM=∠AQN,∴∠BQM=∠ACB=60°.12.解析　(1)设点M、N运动x秒后重合,由题意得x×1+10=2x,解得x=10,故M、N运动10秒后重合.(2)设点M、N运动t秒后,可得到等边△AMN,如图1,易知AM=t×1=t厘米,AN=AB-BN=(10-2t)厘米,∵△ABC为等边三角形,∴∠A=60°,∵△AMN是等边三角形,∴AM=AN,即t=10-2t,解得t=,∴点M、N运动秒后,可得到等边△AMN.(3)当点M、N在BC边上运动时,存在以MN为底边的等腰△AMN.由(1)知10秒时M、N两点重合,恰好在C处,如图2,假设△AMN是等腰三角形,且AN=AM,∴∠AMN=∠ANM,∴∠AMC=∠ANB,∵△ABC是等边三角形,∴∠C=∠B,AC=AB,在△ACM和△ABN中,∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN,设当点M、N运动的时间为y秒时,△AMN是等腰三角形,∴CM=(y-10)厘米,NB=(30-2y)厘米,∴y-10=30-2y,解得y=,故假设成立.∴当点M、N在BC边上运动时,存在以MN为底边的等腰△AMN,此时M、N运动的时间为秒.13.解析　(1)∵DB=DE,∴∠E=∠DBE,∵△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,∴∠DBC=30°,∴∠E=∠DBE=30°,∴∠BDE=180°-30°-30°=120°.(2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∵∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,∴CD=CE,∴△CED是等腰三角形.14.解析　△APQ为等边三角形.证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.在△ABP与△ACQ中,∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°,∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°,∴△APQ是等边三角形.