2021学年第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形同步练习题

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第十三章 轴对称
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
一、选择题
1.如图,A,B两点在正方形网格的格点上,每个方格都是边长为1的正方形,点C也在格点上,且△ABC为等腰三角形,满足条件的点C有( )
A.6个 B.7个
C.8个 D.9个
2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E,连接CD,若∠B=70°,则∠DCB等于( )
A.20° B.30°
C.35° D.40°
4.如图,关于△ABC,给出下列四组条件:
①△ABC中,AB=AC;
②△ABC中,∠B=56°,∠BAC=68°;
③△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC;
④△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点.
其中,能判定△ABC是等腰三角形的条件共有( )
A.1组 B.2组
C.3组 D.4组
5.如图,AB∥CD,点E在线段BC上,CD=CE.若∠ABC=30°,则∠D的度数为( )
A.85° B.75° C.65° D.30°
6.如图,在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,
∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD=( )
A.a+b2 B.a-b2 C.a-b D.b-a
7.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD于D,DE∥AC,则图中的等腰三角形的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=10,BC=6,则BD的长为( )
A.2.5 B.2 C.4 D.1
9.“三等分角”大约是在公元前5世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是( )
A.60° B.65° C.75° D.80°
二、填空题
10.如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=
35°,则∠BAD= 度.
11.如图,已知∠BAC=130°,AB=AC,AC的垂直平分线交BC于点D,则∠BAD= .
12.如图,在△ABC中,∠A=30°,点D、E分别在边AB、AC上,BD=BC=CE,连接CD、BE,则∠BEC+∠BDC= .
13.如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,点D为AC边上一点,过点D作DE∥AB,交BC于点E,且DE=BE,连接BD,则∠BDE的度数是 .
14.某数学兴趣小组开展了一次数学活动,其过程如下:如图,设∠BAC=α(0°<α<90°).现把小棒依次摆放在两射线AB、AC之间,并使小棒两端分别落在两条射线上,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1,若只能摆放5根相同的小棒,则α的取值范围是 .
三、解答题
15.如图,点D是△ABC内部的一点,BD=CD,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且BE=CF.求证:△ABC为等腰三角形.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 D ①当点C为顶点,AB边为底边时,满足条件的点C有5个;
②当AB边为等腰三角形的一条腰时,满足条件的点C有4个.
所以满足条件的点C共有9个.
2.答案 B A.∵a=3,b=3,c=4,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形;
B.∵a∶b∶c=2∶3∶4,∴a≠b≠c,∴△ABC不是等腰三角形;
C.∵∠B=50°,∠C=80°,∴∠A=180°-∠B-∠C=50°,∴∠A=∠B,∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形;
D.∵∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,∴∠A=∠B,∴AC=BC,∴△ABC是等腰三角形.
3.答案 B ∵∠B=70°,AB=AC,∴∠ACB=∠B=70°,
∴∠A=180°-2×70°=40°,
又∵DE垂直平分AC,∴DA=DC,
∴∠ACD=∠A=40°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=70°-40°=30°.故选B.
4.答案 D ①∵△ABC中,AB=AC,
∴△ABC是等腰三角形,故①符合题意;
②∵△ABC中,∠B=56°,∠BAC=68°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-68°-56°=56°,
∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故②符合题意;
③∵△ABC中,AD⊥BC,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°,
∵∠B+∠BAD+∠ADB=180°,∠C+∠CAD+∠ADC=180°,
∴∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形,故③符合题意;
④∵△ABC中,AD⊥BC,D为BC的中点,
∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,故④符合题意.
故能判定△ABC是等腰三角形的条件有4组.
5. 答案 B ∵AB∥CD,∴∠C=∠ABC=30°,
又∵CD=CE,∴∠D=∠CED,
∵∠C+∠D+∠CED=180°,∴30°+2∠D=180°,
∴∠D=75°.故选B.
6. 答案 C ∵在等腰△ABC中,BD为∠ABC的平分线,
∠A=36°,∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°,
∴∠ABD=36°=∠A,∴BD=AD,
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C,∴BD=BC,
∵AB=AC=a,BC=b,∴CD=AC-AD=AC-BD=AC-BC=a-b,故选C.
7. 答案 C 如图所示:
∵DE∥AC,∴∠1=∠3,
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,
∴AE=DE,∴△ADE是等腰三角形.
∵AD⊥BD,∴∠2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,
∴∠B=∠BDE,∴BE=DE,∴△BDE是等腰三角形.
故选C.
8. 答案 B ∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=∠ECD,
∵BE⊥CD,∴∠BDC=∠EDC=90°,
∵CD=CD,∴△BDC≌△EDC(ASA),
∴CE=BC=6,BD=DE,
又∵∠A=∠ABE,∴AE=BE,
∵AC=10,CE=6,∴AE=AC-CE=4,∴BE=AE=4,
∴BD=12BE=2,故选B.
9. 答案 D
∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC,
∴∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°,∴∠ODC=25°,
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,∴∠CDE=105°-∠ODC=80°.故选D.
二、填空题
10. 答案 40
解析 ∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=35°,
∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°.
∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=70°,
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°.
故答案为40.
11. 答案 105°
解析 ∵AC的垂直平分线交BC于点D,
∴AD=CD,∴∠C=∠CAD,
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
在△ABC中,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴130°+2∠C=180°,解得∠C=25°,
∴∠ADB=∠CAD+∠C=25°+25°=50°,
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=105°,
故答案为105°.
12.答案 105°
解析 设∠BEC=α,∠BDC=β,
α=∠A+∠ABE=30°+∠ABE,
∵CE=BC,∴∠CBE=∠BEC=α,
∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠ABE+30°+∠ABE=30°+2∠ABE,
∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC=β,
∴∠BDC+∠BCD+∠DBC=2β+30°+2∠ABE=180°,
∴β=75°-∠ABE,
∴α+β=30°+∠ABE+75°-∠ABE=105°,
∴∠BEC+∠BDC=105°.故答案为105°.
13.答案 40°
解析 在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,
∴∠ABC=180°-∠A-∠C=80°,
∵DE=BE,∴∠DBE=∠BDE,
∵DE∥AB,∴∠BDE=∠ABD,
∴∠ABD=∠DBE=12∠ABC=40°,
∴∠BDE=∠DBE=40°,故答案为40°.
14..答案 15°≤α<18°
解析 ∵A1A2=AA1,∴∠A1A2A=∠A=α,∴∠A2A1A3=2α,
∵A1A2=A2A3,∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2α,
∴∠A4A2A3=3α,
∵A2A3=A3A4,∴∠A2A4A3=∠A4A2A3=3α,
∴∠A4A3A5=4α,
∵A4A3=A4A5,∴∠A4A5A3=∠A4A3A5=4α,∴∠A6A4A5=5α,
∵A4A5=A5A6,∴∠A4A6A5=∠A6A4A5=5α,∴∠A6A5C=6α,
根据三角形内角和定理可得6α≥90°,5α<90°,∴15°≤α<18°.
故答案为15°≤α<18°.
三、解答题
15.证明 ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°.
在Rt△BDE和Rt△CDF中,BD=CD,BE=CF,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴∠EBD=∠FCD,
∵BD=CD,∴∠DBC=∠DCB,
∴∠DBC+∠EBD=∠DCB+∠FCD,即∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.