2022-2023学年安徽省滁州六中九年级（上）开学数学试卷(含解析)

2022-2023学年安徽省滁州六中

九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共40分）

1. 要使式子有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.
C. 且 D. 且

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知一组数据，，，，，，，，，，那么是这组数据的(    )

A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差

4. 用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 在四边形中，，比大，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7. 顺次连接四边形各边中点，，，，如果四边形是矩形，那么四边形的对角线和一定满足的关系是(    )

A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分

8. 某口罩厂月份出货量是月份的，设月份到月份口罩出货量平均每月的下降率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在菱形中，是边上一点，且，有下列结论：；是等边三角形；是等腰三角形；，其中结论正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共4小题，共20分）

11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______．
12. 已知是方程的一个根，则______．
13. 若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是______ 三角形．
14. 如图，，矩形的顶点，分别是两边上的动点，已知，，请完成下列探究：
    若点是的中点，那么______；
    点，点两点之间距离的最大值是______．

三、解答题（本题共9小题，共90分）

15. 计算：．
16. 解方程：．
17. 如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千在静止位置时，下端离地面，荡秋千到的位置时，下端距静止位置的水平距离等于，距地面，求秋千的长．

18. 如图，，，点在边上，，和相交于点求证：≌．

19. 已知：一次函数
    若一次函数的图象过原点，求实数的值．
    当一次函数的图象经过第二、三、四象限时，求实数的取值范围．
20. 某商场“五一节”进行促销活动期间，前四天的总营业额为万元，第五天的营业额是前四天总营业额的．
    求该商场“五一节”这五天的总营业额；
    该商场月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“五一节”这五天的总营业额与月份的营业额相等求该商场、月份营业额的月增长率．
21. 为了解防疫知识宣传教育活动的效果，学校从全校名学生中随机抽取部分学生进行知识测试测试满分分，得分均为不小于的整数，并将测试成绩分为四个等级：基本合格，合，良好，优秀，制作了如图统计图部分信息未给出
    由图中给出的信息解答下列问题：
    求测试成绩为合格的学生人数，并补全频数分布直方图；
    这次测试成绩的中位数是什么等级？
    请你根据抽样测试的结果估计该校获得优秀的学生有多少人．
22. 如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，分别连接、、．
    求证、∽；
    若四边形是菱形、求的度数．

23. 正方形中，点是上一点，过点作交射线于点，连结．
    已知点在线段上
    若，求度数；
    求证：
    已知正方形边长为，且，请直接写出线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据分式有意义，分母不为，二次根式的被开方数是非负数，可以求出的范围．
【解答】
解：根据题意得：，
解得：且．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法运算，二次根式的性质，二次根式的加法运算分别计算，从而作出判断．
本题考查二次根式的性质，二次根式的运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为：，，，，，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，平均数为，
其方差为，
故选：．
将数据重新排列，再根据众数、中位数、平均数及方差的定义计算即可得出答案．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的定义．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
移项，配方，即可得出选项．
【解答】
解：，
，
，
，
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．
故选：．
利用四边形的内角和即可求出答案．
此题考查了四边形的内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意掌握四边形的内角和等于．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意画出图形如下：

证明：四边形是矩形，
，
又点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
又点，分别是，边的中点，
是的中位线，
，
，
即，
故选：．
根据题意画出图形，由四边形是矩形，得出，又根据点，分别是边，的中点，得出是的中位线，从而得出，同理可得，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，熟练掌握矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质，借助图形充分抓住已知条件，围绕结论环环相加，步步逼近，结论便会得出来．
 

8.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故选：．
根据该口罩厂月份出货量仅为月份的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将长方体展开，连接、，
根据两点之间线段最短，
如图，，，
由勾股定理得：．


如图，，，
由勾股定理得，．


只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
由于，
故选：．
要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，易证得≌，然后可证得，，即可得是等边三角形，然后可证得，即可判断正确，错误．
【解答】
解：如图，连接，

四边形是菱形，
，，，，
，
，，，
，是等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，故正确；
，
是等边三角形，故正确；
，
，
，
；
故正确．
≌，
，
同理：，
但不一定等于，故错误．
综上所述，结论正确的是．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义建立关于的方程，求出的值．
本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【解答】
解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解；是方程的一个根，
，
整理得，，
，
故答案是：．
根据方程的根的定义，把代入方程求出，易得答案．
本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

13.【答案】直角 

【解析】解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形．
故答案为直角．
根据三角形的高的概念，结合已知条件，即可得出答案．
本题主要考查三角形的高的概念，属于基础题型．注意：锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
 

14.【答案】   

【解析】解：，是中点，
．
故答案为：；
如图：

根据三角形的三边关系得：，
当点，，三点共线时，取等号，
此时是的中点，
四边形是矩形，
，
，
的最大值为：．
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解；
先确定最大时的条件，再求最值．
本题考查矩形性质以及直角三角形的性质，确定最值条件是求解本题的关键．
 

15.【答案】解：原式


． 

【解析】在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：，
，
或，
所以，． 

【解析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

17.【答案】解：设，
由题意可得出：，
，
在中，，
，
解得：，
答：秋千的长为． 

【解析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是学会利用勾股定理构建方程解决问题，属于中考常考题型．
设，在中，利用勾股定理，构建方程即可解决问题．
 

18.【答案】证明：，
即，
而，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】先利用三角形外角性质证明，然后根据“”判断≌．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
 

19.【答案】解：一次函数图象过原点，
，
解得：
一次函数的图象经过第二、三、四象限，
，
． 

【解析】根据一次函数的性质即可求出的取值范围．
本题考查一次函数，解题的关键是熟练运用一次函数的性质，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：万元．
答：该商场“五一节”这五天的总营业额为万元．
设该商场、月份营业额的月增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该商场、月份营业额的月增长率为． 

【解析】该商场“五一节”这五天的总营业额前四天的总营业额第五天的营业额，即可求出结论；
设该商场、月份营业额的月增长率为，利用该商场月份的营业额该商场月份的营业额增长率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

21.【答案】解：人，
人，
补全频数分布直方图如下：

将名学生的测试成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在良好，
人，
答：该校名学生中，获得优秀的学生有人． 

【解析】从两个统计图中可知“基本合格”的有人，占调查人数的，根据频率可求出调查人数，进而求出“合格”人数，补全频数分布直方图；
根据中位数的意义，可得到中位数是什么等级；
求出样本中“优秀”所占的百分比，即可估计总体中“优秀”的百分比，进而求出相应的人数．
本题考查频数分布直方图，中位数、理解中位数的意义，掌握频率是解决问题的关键．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，．
点、分别是、的中点，
，．
．
在与中，
，
≌．

解：四边形是菱形，
．
．
，
．
．
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和已知条件证明即可；
由菱形的性质可得：，因为，所以，问题得解．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及菱形的性质、等腰三角形的判断和性质，题目的综合性较强，难度中等．
 

23.【答案】解：为正方形，
．
又，
．
证明：正方形关于对称，
≌，
．
又，
，
，
．
如下图所示：过点作，垂直为，交于．

，
是的中点．
，
．
又四边形是矩形，为等腰直角三角形，
，
．
如下图所示：过点作，垂直为，交于．

正方形关于对称，
≌，
．
又，
，
，
．
．
又，
，
，
，
．
综上所述，的长为或 

【解析】先求得的度数，然后依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得的度数，然后可求得度数；先利用正方形的对称性可得到，然后在证明又，通过等量代换可得到；
当点在上时，过点作，垂直为，交于依据等腰三角形的性质可得到，从而可得到的长，然后可得到的长，在中可求得的长；当点在的延长线上时，先根据题意画出图形，然后再证明，然后再按照上述思路进行解答即可．
本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的法则是解题的关键．