高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.2 指数函数的性质与图像学案

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【课程标准】
(1)通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念．
(2)能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．
新知初探·自主学习——突出基础性
教 材 要 点
知识点一 指数函数的定义
函数________(a>0且a≠1)称为指数函数，其中x是自变量．定义域为R.
状元随笔 1.指数函数解析式的3个特征
(1)底数a为大于0且不等于1的常数．
(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.
(3)ax的系数是1.
2．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1?
提示：(1)如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0，没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义．
(2)如果a＜0，例如f(x)＝(－4)x，这时对于x＝12，14，…，该函数无意义．
(3)如果a＝1，则y＝1x是一个常量，没有研究的价值．
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0，且a≠1.
知识点二 指数函数的图象与性质
状元随笔 底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a>1时，指数函数的图象是“上升”的；当0第1课时 指数函数的概念
基 础 自 测
1．下列各函数中，是指数函数的是( )
A．y＝(－3)x B．y＝－3x
C．y＝3x－1 D．y＝13x
2．若指数函数f(x)的图象经过点(2，9)，则f(x)＝________，f(－1)＝________．
3．在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝12x的图象之间的关系是( )
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．
课堂探究·素养提升——强化创新性
题型1 指数函数概念的应用[经典例题]
例1 (1)已知指数函数f(x)过点(－2，4)，则f(6)＝( )
A.34B．164
C．43D．112
先设指数函数为f(x)＝ax，借助条件图象过点(－2 ，4)求a，最后求值．
(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点-2，14，那么f(4)·f(2)等于________．
(3)若指数函数f(x)＝(2a－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0，1) B．(1，＋∞)
C．(12，1) D．(－∞，1)
方法归纳
(1)判断一个函数是指数函数的方法
①看形式：只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征．
②明特征：指数函数的解析式具有三个特征，只要有一个特征不具备，则不是指数函数．
(2)已知某函数是指数函数求参数值的基本步骤
(3)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键．因为底数a是大于0且不等于1的实数，所以a＝－3应舍去．
跟踪训练1 (1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，则实数a的取值范围是________；
指数函数系数为1．底数>0且≠1.
(2)下列函数中是指数函数的是________．(填序号)
①y＝2·(2)x ②y＝2x－1 ③y＝π2x ④y＝xx ⑤y＝3-1x ⑥y＝x13.
题型2 指数函数的图象
例2 (1)函数y＝3－x的图象是( )
(2)已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A的坐标为( )
A．(0，1) B．(2，3)
C．(3，2) D．(2，2)
状元随笔 (1)根据指数函数的性质知：y＝3－x单调递减，且函数值恒大于0，即可知正确选项．
(2)由y＝ax过定点(0，1)来求f(x)过定点．
方法归纳
指数型函数图象过定点问题的解法
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a>0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．
跟踪训练2 (1)当a>1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是( )
(2)已知函数f(x)＝ax＋1－14(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则m＋n＝( )
A．14 B．34
C．－34 D．－14
题型3 利用指数函数的单调性比较大小
例3 (1)利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
①0.8－0.1与0.8－0.2；
②2.5a与2.5a＋1.
(2)已知a＝0.312，b＝20.2，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
状元随笔 (1)要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较．可以利用函数y＝0.8x和y＝2.5x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来．
(2)利用指数函数的性质比较即可．
方法归纳
1．由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．
2．比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练3 (1)比较下列各题中两个值的大小：
①57-1.8与57-2.5；
②23-0.5与34-0.5；
③0.20.3与
(2)已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则( )
A．aC．c4．1.2 指数函数的性质与图象
新知初探·自主学习
知识点一
y＝ax
知识点二
R (0，＋∞) (0，1) 0 1 y>1 01 增函数 减函数
第1课时 指数函数的概念
[基础自测]
1．解析：根据指数函数的定义y＝ax(a>0且a≠1)可知只有D项正确．
答案：D
2．解析：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，
因为f(x)的图象经过点(2，9)，
代入得a2＝9，解得a＝3或a＝－3(舍去)，
所以f(x)＝3x，所以f(－1)＝3－1＝13.
答案：13
3．解析：由两函数图象可知，两函数图象关于y轴对称，故选A.
答案：A
4．解析：当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．
答案：(3，－1)
课堂探究·素养提升
例1 【解析】 (1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
所以f(－2)＝a－2＝4，解得a＝12，
所以f(6)＝(12)6＝164.
(2)设y＝f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，所以a－2＝14，所以a＝2，
所以f(4)·f(2)＝24×22＝64.
(3)由已知，得0<2a－1<1，则12【答案】 (1)B (2)64 (3)C
跟踪训练1 解析：(1)若函数y＝(3－2a)x为指数函数，
则3-2a>0，3-2a≠1，解得a<32且a≠1.
(2)①中指数式(2)x的系数不为1，故不是指数函数；②中y＝2x－1＝12·2x，指数式2x的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.
答案：(1)(－∞，1)∪1，32 (2)③
例2 【解析】 (1)由y＝3－x＝(13)x知：函数在定义域内单调递减，且y>0恒成立，
∴只有B所表示的函数图象符合要求．
(2)任意a>0且a≠1，当x－2＝0，即x＝2时，恒有ax－2＝1，即f(2)＝a2－2＋2＝3，
所以函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A(2，3)，即A的坐标为(2，3)．
【答案】 (1)B (2)B
跟踪训练2 解析：(1)当a>1时，指数函数y＝ax为增函数，二次函数y＝(a－1)x2的图象开口向上，且函数y＝(a－1)x2图象的对称轴为y轴，
因此，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是A选项中的图象．
(2)由解析式知：f(－1)＝a0－14＝1－14＝34，故f(x)过定点(－1，34)．
∴m＝－1，n＝34，则m＋n＝－14.
答案：(1)A (2)D
例3 【解析】 (1)①因为0.8－0.1与0.8－0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1>－0.2，所以0.8－0.1<0.8－0.2.
②因为2.5a与2.5a＋1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为a(2)因为y＝0.3x在R上为减函数，且12>0.2>0，
所以0.312<0.30.2<0.30，即0.312<0.30.2<1，
因为y＝2x在R上为增函数，且0.2>0，
所以20.2>20＝1，
所以0.312<0.30.2<1<20.2，所以b>c>a.
【答案】 (1)见解析 (2)C
跟踪训练3 解析：(1)①因为0＜57＜1，所以函数y＝57x在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以57-1.8＜57-2.5.
②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝23x与y＝34x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得23-0.5＞34-0.5.
③因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.2＜
又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜
(2)设函数y＝1.8x，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，可得1.80.8>1.80＝1，且1.80.8<1.81.8；设函数y＝0.8x.∵0.8<1，∴y＝0.8x在R上为减函数，可得b＝0.81.8<0.80＝1.综上所述，0.81.8<1.80.8<1.81.8，即b答案：(1)见解析 (2)Ba>1
0图象
性质
定义域
________
值域
________
过定点
过点______，即x＝______时，y＝______
函数值
的变化
当x>0时，________；
当x<0时，________
当x>0时，________；
当x<0时，________
单调性
是R上的________
是R上的________