2020-2021学年3.1.1 函数及其表示方法导学案

第2课时　函数的表示方法

课程标准

在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．

新知初探·自主学习——突出基础性

教 材 要 点

知识点　函数的表示方法

状元随笔　1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．

2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.

基 础 自 测

1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1，2，3，4})的函数为(　　)

A．y＝2x

B．y＝2x(x∈R)

C．y＝2x(x∈{1，2，3，…})

D．y＝2x(x∈{1，2，3，4})

2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0，3)，(3，0)，则f(f(0))＝(　　)

A．2    B．4

C．0    D．3

3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是(　　)

A．3x＋2    B．3x＋1

C．3x－1    D．3x＋4

4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．

则f(g(1))的值为________．

当g(f(x))＝2时，x＝________．

　课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1　列表法表示函数[逻辑推理、数学运算]

例1　观察下表：

则f(g(2))－f(－1)＝(　　)

A. 2　      B. 3　　　

C. 4　　    D. 5

方法归纳

列表法表示的函数的求值问题的解法

解决此类问题关键在于弄清表格中每一个自变量x与y的对应关系，对于f(g(x))这类函数值的求解，应从内到外逐层求解，而求自变量x时，则由外向内逐层求解．

跟踪训练1　已知函数f(x)按下表给出，满足f(f(x))＞f(3)的x的值为________．

状元随笔　观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较．

题型2　求函数的解析式[经典例题]

例2　(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x)的解析式；

(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；

(3)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；

(4)已知2f()＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．

状元随笔　(1)(2)待定系数法：设一次函数的一般式f(x)＝kx＋b(k≠0)．设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (3)换元法：设＋1＝t，注意新元的范围．

跟踪训练2　(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；

(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________；

(3)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，则f(x)＝________；

(4)已知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋3x，则f(x)的解析式为________.

状元随笔　(1)换元法：设x2＋2＝t.

(2)待定系数法：设f(x)＝ax＋b.

题型3　函数图象

状元随笔　函数图象可由列表、描点、连线的方法作图，在列表取值时要注意函数的定义域．

例3　(1)作出下列函数的图象并求出其值域．

①y＝2x＋1，x∈[0，2]；

②y＝，x∈[2，＋∞)；

③y＝x2＋2x，x∈[－2，2].

(2)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　)

状元随笔　由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律． 

方法归纳

 (1)画一次函数图象时，只需取两点，两点定直线．

(2)画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，先用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式，确定抛物线的开口方向(a＞0开口向上，a＜0开口向下)、对称轴(x＝h)和顶点坐标(h，k)，在对称轴两侧分别取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线．

(3)对于不熟悉的函数，可采用列表、描点、连线的方法画图．

跟踪训练3　(1)作出下列函数的图象：

①y＝－x＋1，x∈Z；

②y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；

状元随笔　②先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图象)． 

(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．

教材反思

理解函数的表示法应关注三点

(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．

(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．

(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．

第2课时　函数的表示方法

新知初探·自主学习

[教材要点]

知识点

数学表达式　图象　表格

[基础自测]

1．解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1，2，3，4}，故选D.

答案：D

2．解析：结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0))＝f(3)＝0.

答案：C

3．解析：方法一　令2x＋1＝t，则x＝.

∴f(t)＝6×＋5＝3t＋2.∴f(x)＝3x＋2.

方法二　∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.

答案：A

4．解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，

∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.

答案：1　1

课堂探究·素养提升

例1　【解析】　g(2)＝－2，f(－2)＝1，f(－1)＝－1，

所以f(g(2))－f(－1)＝f(－2)－f(－1)＝1－(－1)＝2.

【答案】　A

跟踪训练1　解析：由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))＞f(3)即为f(f(x))＞1.

∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.

答案：3或1

例2　【解析】　(1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋b＝2x＋21，

所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.

(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

由f(0)＝1，得c＝1.

又因为f(x－1)－f(x)＝4x，

所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，

所以f(x)＝－2x2－2x＋1.

 (3)方法一　(配凑法 )

因为f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，

所以f(x)＝x2－1(x≥1)．

方法二　(换元法)

令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，

所以f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．

所以f(x)＝x2－1(x≥1)．

【解析】(4)f(x)＋2f()＝x，令x＝，

得f()＋2f(x)＝.

于是得到关于f(x)与f()的方程组

解得f(x)＝(x≠0)．

跟踪训练2　解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，

令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．

(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，

则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.

又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.

所以解得或

所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.

 (3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．

因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.

所以解得

所以f(x)＝－x2＋x－3.

解析：(4)由题意知函数y＝f(x)满足f(x)＝2f()＋3x，即f(x)－2f()＝3x，用代换上式中的x，

可得f()－2f(x)＝，

联立得

解得f(x)＝－x－(x≠0)．

答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)　(2)2x－或－2x＋1　(3)－x2＋x－3　(4)f(x)＝－x－(x≠0)

例3　【解析】　(1)①列表：

当x∈[0，2]时，图象是直线的一部分，观察图象可知，其值域为[1，5].

②列表：

当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0，1].

③列表：

画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，由图可知函数的值域是[－1，8].

 (2)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.

【答案】　(1)见解析　(2)D

跟踪训练3　解析：(1)①函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．

②由于0≤x<3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之间的部分，如图(b)．

【解析】(2)列表法：

图象法：如图所示．

解析法：y＝3 000x，x∈{1，2，3，…，10}．