湘教版（2019）必修 第一册5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质导学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册5.4 函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质导学案，共14页。
第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质教材要点要点一　A、ω、φ的意义函数y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)，在这里常数A叫________，T＝叫________，f＝＝叫________，ωx＋φ叫________，φ叫________．要点二　函数y＝A sin (ωx＋φ)，A＞0，ω＞0的有关性质名称性质定义域________值域________周期性T＝对称中心(k∈Z)对称轴x＝(k∈Z)奇偶性当φ＝________时是奇函数；当φ＝________时是偶函数单调性由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得________区间；由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得________区间状元随笔　研究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的基本策略(1)借助周期性：研究函数的单调区间、对称性等问题时，可以先研究在一个周期内的单调区间、对称性，再利用周期性推广到全体实数．(2)整体思想：研究当x∈[α，β]时的函数的值域时，应将ωx＋φ看作一个整体θ，利用x∈[α，β]求出θ的范围，再结合y＝sin θ的图象求值域．基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)y＝A sin (ωx＋φ)的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)(2)在y＝A sin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴的距离为1个周期．(　　)(3)函数y＝sin 的图象对称轴为x＝(k∈Z)．(　　)(4)函数f(x)＝sin 的图象的对称中心是(k∈Z)(　　)2．函数y＝2sin 的周期、振幅依次是(　　)A．4π，－2    B．4π，2C．π，2       D．π，－23．函数f(x)＝4sin 图象的对称轴方程为(　　)A．x＝(k∈Z)    B．x＝＋kπ(k∈Z)C．x＝(k∈Z)    D．x＝(k∈Z)4．若函数y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝________.    题型1　由图象求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式例1　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．          方法归纳给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法(1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．跟踪训练1　(1)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)的解析式为(　　)A．f(x)＝sin     B．f(x)＝sin C．f(x)＝cos     D．f(x)＝cos (2)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的图象如图所示，则f＝________．题型2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象在物理中的简单应用例2　如图所示是某简谐运动的图象，试根据图象回答下列问题：(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？(2)写出这个简谐运动的函数解析式．      方法归纳明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练2　一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U(单位V)关于时间t(单位s)的函数解析式．     题型3　函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质的综合应用例3　已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为.(1)求f的值；(2)求函数y＝f(x)＋f的最大值及对应的x的值．           方法归纳研究函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的基本策略(1)首先将所给函数的解析式转化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式；(2)熟记正弦函数y＝sin x的图象与基本性质；(3)充分利用整体代换思想解决问题；(4)熟记有关y＝A sin (ωx＋φ)的奇偶性、对称性、单调性的重要结论．跟踪训练3　已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)的一段图象如图所示． (1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合．        课堂十分钟1．简谐运动y＝4sin 的相位与初相分别是(　　)A．5x－     B．5x－，4C．5x－，－    D．4，2．y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y＝f(x)的解析式为(　　)A．y＝3sin (x＋1)    B．y＝－3sin (x＋1)C．y＝3sin (x－1)    D．y＝－3sin (x－1)3．下列区间中，函数f(x)＝7sin 单调递增的区间是(　　)A．    B．C．    D．4．函数y＝sin 的图象的一条对称轴方程是________．5．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的周期为π，且图象上的一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的最值．      第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质新知初探·课前预习要点一振幅　周期　频率　相位　初相要点二R　[－A，A]　kπ(k∈Z)　kπ＋ (k∈Z)　单调递增　单调递减[基础自测]1．答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．解析：周期T＝＝4π，振幅为2，故选B.答案：B3．解析：结合正弦函数的性质，可得函数图象的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，解得对称轴方程为x＝＋(k∈Z).故选D.答案：D4．解析：由图象可得＝·＝－x0＝，解得ω＝4.答案：4题型探究·课堂解透例1　解析：方法一(逐一定参法)：由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin (2x＋φ).∵点在函数图象上，∴0＝3sin .∴－×2＋φ＝kπ，得φ＝＋kπ(k∈Z).∵|φ|＜，∴φ＝.∴y＝3sin .方法二(待定系数法)：由图象知A＝3.∵图象过点和，∴解得∴y＝3sin .方法三(图象变换法)：由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，所以所求函数y＝3sin 2， 即y＝3sin .跟踪训练1　解析：(1)由图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入函数f(x)解析式得sin ＝1，又－＜φ＜，所以φ＝，因此函数f(x)＝sin .故选B.(2)函数的周期为T＝＝，则图中相邻两个零点之间的距离为，又＋＝，所以f＝0.答案：(1)B　(2)0例2　解析：(1)振幅A＝3，周期T＝4，频率f＝.(2)设简谐运动的函数解析式为：y＝A sin (ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)，由(1)可知，ω＝＝π，则y＝3sin ，当x＝＝2.2时，y取最小值，则sin ＝－1，∴×2.2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，令k＝0，则φ＝，故简谐运动的函数解析式为：y＝3sin ，x∈[0，＋∞).跟踪训练2　解析：周期为0.02，频率为50，电压的最大值为311 V.电压和时间的函数解析式为U＝311sin 100πt，t∈[0，＋ ∞) .例3　解析：(1)f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝2＝2sin .因为f(x)为偶函数，所以φ－＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝＋kπ(k∈Z).又0＜φ＜π，所以φ＝.所以f(x)＝2sin ＝2cos ωx.由题意得＝2×，所以ω＝2.所以f(x)＝2cos 2x.故f＝2cos ＝.(2)y＝2cos 2x＋2cos ＝2cos 2x＋2cos ＝2cos 2x－2sin 2x＝2sin .当－2x＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，y有最大值2.跟踪训练3　解析：(1)由图象可以得到函数f(x)的振幅A＝3，设函数周期为T，则T＝4π－＝，所以T＝5π，则ω＝，由ωx0＋φ＝0，得×＋φ＝0，所以φ＝－，所以f(x)＝3sin .(2)由＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得＋5kπ≤x≤4π＋5kπ(k∈Z)，所以函数的减区间为，k∈Z.函数f(x)的最大值为3，当且仅当x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋5kπ(k∈Z)时函数取得最大值．所以函数的最大值为3，取得最大值时的x的集合为.[课堂十分钟]1．解析：相位是5x－，初相是当x＝0时的相位，即－.故选C.答案：C2．解析：A＝3，ω＝＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f(x)＝3sin [x＋(π－1)]＝－3sin (x－1).故选D.答案：D3．解析：因为函数y＝sin x 的单调递增区间为(k∈Z)，对于函数f(x)＝7sin ，由2kπ－＜x－＜2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)，取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，则⊆，(，π)，A选项满足条件，B不满足条件；取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为，(π，)且 (π，)，(，2π)，CD选项均不满足条件．故选A.答案：A4．解析：由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝.答案：x＝(答案不唯一)5．解析：(1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M，得A＝2.由周期T＝π，得ω＝＝＝2.由点M在图象上，得2sin ＝－2，即sin ＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ∈，所以k＝1，φ＝，所以函数的解析式为f(x)＝2sin .(2)因为x∈，所以2x＋∈，所以当2x＋＝， 即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值.