2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区崇文中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省宿迁市宿豫区崇文中学九年级（上）开学数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 把一元二次方程化成一般形式，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 用配方法解关于的一元二次方程，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 已知，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知和是关于的一元二次方程的两根，则关于的方程的根为(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

8. 已知二次函数在时，取得的最大值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9. 一元二次方程的解是______ ．
10. 已知是一元二次方程的解，则代数式的值为______．
11. 已知抛物线的解析式为，则抛物线的对称轴是直线______．
12. 已知是关于的方程的一个根，则的值是______．
13. 已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为______．
14. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是______．
15. 如图，在一块长为米，宽为米的矩形荒地上，要建造一个花园阴影部分，使得花园的面积为荒地面积的，小明设计出如图所示的方案，则图中的值为______．

16. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是______．
17. 如图，点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与轴交于、两点在的左侧，点的横坐标最小值为，则点的横坐标最大值为______．

18. 已知、是关于的方程的两个实数根，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    用配方法解方程．
    用适当的方法解方程．
20. 本小题分
    已知函数．
    当为何值时，此函数是一次函数？
    当为何值时，此函数是二次函数？
21. 本小题分
    已知关于的一元二次方程．
    当取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？
    若是这个方程的一个根，求的值和另一根．
22. 本小题分
    关于的一元二次方程．
    求证：方程总有两个不相等的实数根；
    若、是方程的两个实根，且，求的值．
23. 本小题分
    已知二次函数的图象为抛物线．
    抛物线顶点坐标为______；
    将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由；
    当时，求该二次函数的函数值的取值范围．
24. 本小题分
    某超市销售一种衬衫．平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售、增加盈利，该超市准备适当降价，经过一段时间测算，发现每件衬衫每降低元，平均每天可多售出件．
    若每件衬衫降价元时，平均每天可售出多少件衬衫？此时每天销售获利多少元？
    在每件盈利不少于元的前提下，要使该衬衫每天销售获利为元，问每件衬衫应降价多少元？
    该衬衫每天的销售获利能达到元吗？如果能，请写出降价方案，如果不能．请说明理由．
25. 本小题分
    已知：，是关于的一元二次方程的两个实数根，一等腰三角形的一边长为若，恰好是另外两边的长，求这个三角形的周长．
26. 本小题分
    如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．
    求此抛物线的解析式；
    直接写出点和点的坐标；
    若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标．

27. 本小题分
    如图，在中，，，，点从点开始沿边向点移动，速度为；点从点开始沿边向点移动，速度为，点、分别从点、同时出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．
    几秒时，的长度为？
    几秒时，的面积为？
    当为何值时，四边形的面积最小？并求这个最小值．

28. 本小题分
    已知点是二次函数图象上的点．
    求二次函数图象的顶点坐标；
    当时，求函数的最大值与最小值的差；
    当时，若函数的最大值与最小值的差为，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键利用一元二次方程的定义判断即可求出的值．
【解答】

解：由关于的方程是一元二次方程，得到．
故选B．

 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线为，
顶点坐标是．
故选：．
由抛物线的顶点式直接看出顶点坐标是．
要求熟练掌握抛物线的顶点式．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
故选：．
先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是、、为常数，．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
则，即，
故选：．
常数项移到方程的右边，两边都加上配成完全平方式即可得出答案．
本题主要考查配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程．
 

5.【答案】 

【解析】解：将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式为：，即．
故选：．
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，且，
可以得出，是的两个实数根，
，，
则．
故选：．
根据，，且，得出，是的两个实数根，再利用根与系数的关系，，，进而求出即可．
此题主要考查了根与系数的关系，根据已知得出，是的两个实数根是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，则方程化为，
由题意可知：，，
和，
和，
方程的两根为和，
故选：．
设，则方程化为，利用方程的解得到，，然后分别计算对应的的值可确定方程的解．
本题考查了换元法解一元二次方程：我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数，
抛物线的对称轴为，顶点，
当时，，
当时，，
解得或，
当时，的最大值为，
，
故选：．
先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出时，的值，再根据二次函数的性质得出答案．
本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点坐标公式是解答此题的关键．
 

9.【答案】， 

【解析】解：或，
所以，．
故答案为：，．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
 

10.【答案】 

【解析】解：将代入，
，
，
故答案为：．
将代入即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解方程的解的定义，本题属于基础题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线．
故答案为：．
根据抛物线的顶点式，可得出抛物线的对称轴．
本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在中其顶点坐标为，称轴为直线．
 

12.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：
解得：．
故答案是：．
把代入方程，即可得到一个关于的方程，求得的值．
本题主要考查了方程的解的定义，正确求解的值是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
，
．
故答案为：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据点，，到对称轴的距离大小求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：关于的方程中，，，；
若方程有实数根，则，解得；
故的取值范围是：．
若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式，可据此求出的取值范围．
一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：图中四块空白的部分可合成长为米，宽为米的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
故答案为：．
图中四块空白的部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据花园的面积为荒地面积的即其余部分占荒地面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，，
，即，
解得：．
原方程有两个不相等的实数根，
，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再由根的判别式，即可确定的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合，找出关于的方程是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：当点横坐标为时，抛物线顶点为，对称轴为，此时点横坐标为，则；
当抛物线顶点为时，抛物线对称轴为，故C，；
由于此时点横坐标最大，
故点的横坐标最大值为；
故答案为：．
当点横坐标最小时，抛物线顶点必为，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；
当点横坐标最大时，抛物线顶点为，再根据此时抛物线的对称轴及的长，可判断出点横坐标最大值．
本题主要考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次方程等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意知，，，
，
，
，
的最小值是．
根据，由一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于的代数式，转化为求代数式的最小值问题；
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

19.【答案】解：方程整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，． 

【解析】方程利用配方法求出解即可；
方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二方程因式分解法，以及配方法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：函数是一次函数，
且，
解得：；
当时，此函数是一次函数；
函数是二次函数，
，
解得：且，
当且时，此函数是二次函数． 

【解析】直接利用一次函数的定义进而分析得出答案；
直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．
此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握一次函数以及二次函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
即．
当时，，
，
，
解得．
即另一根是． 

【解析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，从而可以求得的取值范围；
把代入已知方程，得到关于的一元一次方程，通过解该方程来求的值，则可得出答案．
本题考查根的判别式，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟练运用根的判别式和方程的解的定义．
 

22.【答案】证明：

，
方程总有两个不相等的实数根；

解：根据题意得，，
，
，
解得或，
即的值为或． 

【解析】先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断，然后根据根的判别式的意义得到结论；
根据根与系数的关系得到，，则由得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为．
故答案为：；
将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，
：，
把代入得，，
抛物线不经过点；
，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，
当时，；
当时，；
当时，二次函数的函数值的取值范围为．
根据抛物线解析式的顶点式可求得抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式，然后把的坐标代入检验即可；
根据二次函数的性质可得出答案．
本题考查了二次函数的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：件，
元．
答：均每天可售出件衬衫，此时每天销售获利元．
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又每件盈利不少于元，
．
答：每件衬衫应降价元．
该衬衫每天的销售获利不能达到元，理由如下：
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：．
，
该方程无实数根，
即该衬衫每天的销售获利不能达到元． 

【解析】利用日销售量每件衬衫降低的价格，可求出日销售量，再利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可求出每天销售该种衬衫获得的利润；
设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
该衬衫每天的销售获利不能达到元，设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该种衬衫获得的利润每件盈利日销售量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程无实数根，即该衬衫每天的销售获利不能达到元．
本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混用运算以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：，恰好是另外两边的边长，而等腰的一边长为，
当是腰时，必是一元二次方程的一个解，
把代入方程得，
整理得，解得，，
当时，，解得，而，故舍去；
当时，，解得，则三角形周长为；
若，则，方程化为，解得，则，故舍去，
所以这个三角形的周长为．
综上所述，这个三角形的周长为． 

【解析】分类讨论：若时，把代入方程得，解得，，当时，由根与系数的关系得，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，属于拔高题．
 

26.【答案】解：将、代入，
，解得：，
抛物线的解析式为．
当时，，
点的坐标为；
抛物线的解析式为，
顶点的坐标为．
设点的坐标为，
，，
，
，
，
，
解得：不合题意，舍去，，
点的坐标为． 

【解析】根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
代入求出值，由此可得出点的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出顶点的坐标；
设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再代入值求出值，取其正值即可得出结论．
本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；利用二次函数性质求出顶点的坐标；根据三角形的面积公式结合求出点的纵坐标．
 

27.【答案】解：设运动时间为秒时，的长度为，
依题意得：，，
．
，
，
，
解得：或负数不合题意，舍去．
．
秒时，的长度为；
设运动时间为秒时，的面积为，
依题意得：，，，
．
的面积为，
．
解得：或．
或秒时，的面积为．
四边形的面积




，
当时，四边形的面积最小，最小值为． 

【解析】设运动时间为秒，分别用的代数式表示出线段，的长度，利用勾股定理列出方程即可求解；
利用中的方法，利用三角形的面积公式列出方程即可求解；
利用中的方法求得四边形的面积，利用二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了勾股定理，二次函数的极值，一元二次方程分应用，本题是动点问题，利用代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．
 

28.【答案】解：已知是二次函数图象上的点

解得，
此二次函数的解析式为：，
，
顶点坐标为；
抛物线开口向上，顶点坐标为，
当时，，
当时，，
当时，函数的最大值与最小值的差为；
当时，对进行分类讨论，
当时，即，随着的增大而减小，
当时，
当时，，

，
解得不合题意，舍去；
当时，顶点的横坐标在取值范围内，
，
当时，在时，，
，
解得，不合题意，舍去；
当时，在时，，
，
解得，不合题意，舍去；
当时，随着的增大而增大，
当时，，
当时，，
，
解得不合题意，舍去；
综上所述，或． 

【解析】利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；
根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当时，，当时，，从而求得结论；
分四种情况讨论：
当时，即，，，
解得不合题意，舍去；
当时，，当时，，解得，不合题意，舍去；
当时，在时，，解得，不合题意，舍去；
当时，，，解得不合题意，舍去．
本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．