2021-2022学年吉林省长春市二道区赫行实验学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年吉林省长春市二道区赫行实验学校八年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 人体中红细胞的直径为，将这个数用科学记数表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各点中，位于平面直角坐标系第三象限的点是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列各式中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 若一次函数的图象经过一、二、四象限，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 小区新增了一家快递店，第一天揽件件，第三天揽件件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 下列图形中，不是函数图象的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 如图，平行四边形中，，点在上，且，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8. 如图，点在反比例函数，的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点且，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 函数中，自变量的取值范围是______．
10. 有一组数据：，，，，，它们的平均数是，则这组数据的众数是______．
11. 已知关于的方程有解，则的值为______．
12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象与直线的交点的纵坐标为，则该图象与直线的交点的横坐标为          ．
13. 如图，菱形中，于点，交于，若为中点，且，则到边的距离为______．

14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点的坐标为若直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

15. 计算：．
    化简：．

四、解答题（本大题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
17. 本小题分
    如图，在网格中，每个小正方形的边长为，点，在格点上．请根据条件画出符合要求的图形．
    在图甲中画出以点为顶点且一边长为的平行四边形．要求：各顶点均在格点上．
    在图乙中画出线段的中点．
    要求：仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；保留作图痕迹．
     

18. 本小题分
    某工程队承接了万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前天完成了这一任务，求原计划工作时每天绿化的面积．
19. 本小题分
    如图，在四边形中，点、分别在、上，与相交于点，且≌，．
    求证：四边形是平行四边形；
    连接，若平分，的周长为，求四边形的周长．

20. 本小题分
    为了培养学生对航天知识的学习兴趣，组织全校名学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，每名学生的成绩记为分分成四组，组：；组：；组：；组：，并得到如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：
    
    扇形统计图中表示“”的扇形圆心角的度数是______．
    请补全频数分布直方图；
    规定学生竞赛成绩为优秀，估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数是______名．
    竞赛结束后，八年级一班从本班获得优秀的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取两名宣讲航天知识．请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到甲，乙两名同学的概率是多少？
21. 本小题分
    某学校准备组织名教师和若干名学生去“百山祖国家公园”开展研学活动联系了甲、乙两家旅行社．经洽谈，两家旅行社的收费如下表所示：

设参加研学活动的学生共有人，甲、乙两家旅行社的费用分别为，．
分别求，关于的函数表达式．
若参加研学的学生有人，问学校选择哪家旅行社付费较少？

22. 本小题分
    【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容．

【定理证明】小明根据教材图的提示，证明过程为：延长至点，使，连接、，结合图帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
【定理应用】如图，在中，，垂足为点点在上，是边的中线，垂直平分，则与的关系为______．
【拓展提高】如图，在中，，，恰好是中线，则的度数为______．
 

23. 本小题分
    如图，在中，，，动点从点出发以每秒个单位的速度沿匀速向终点运动，同时点从点出发以每秒个单位的速度沿匀速向终点运动，以、为邻边构造平行四边形，当点到达点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
    求线段的长；
    当与的边平行或垂直时，求的值；
    设平行四边形与重叠部分图形的面积为，求用含的式子表示

24. 本小题分
    对于自变量的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．对于分段函数，在自变量不同的取值范围内，对应的函数表达式不同，例如：是分段函数，当时分段函数表示为．
    当时，
    直接写出此分段函数的表达式，并在平面直角坐标系内画出相应的函数图象；
    当时，直接写出函数值的取值范围；
    当时，直接写出自变量的取值范围；
    已知点的坐标点的坐标当函数的图象与线段有两个公共点时，求的取值范围；
     

25. 本小题分
    在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程我们对函数图象与性质进行探究，下表是该函数与自变量的几组对应值，请解答下列问题：

求该函数的解析式，并写出自变量的取值范围．
表中的值为______ ，的值为______ ．
在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质；______ ．

直接写出关于的不等式的解集是______ 如果取近似值，误差不超过．

26. 本小题分
    有一边长为的正方形和等腰直角，，点，，，在同一条直线上，当，两点重合时，等腰直角以秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，秒后正方形与等腰直角重合部分的面积为，解答下列问题：
    当在线段上时，______；当在线段延长线上时，______用含的代数式表示．
    当秒时，求的值．
    当重合部分为四边形时，请用含的代数式表示，并注明的取值范围．
    当点到正方形的两条竖直的边的距离之比是：时，直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解： 用科学记数法表示为，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

2.【答案】 

【解析】解：第三象限的点的横坐标是负数，纵坐标也是负数，
结合选项符合第三象限的点是．
故选：．
应先判断点在第三象限内点的坐标的符号特点，进而找相应坐标．
本题主要考查了点在第三象限内点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过一、二、四象限，
，，
解得，
故选：．
根据一次函数的图象可知，，解不等式组即可．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设该快递店揽件日平均增长率为，
根据题意，可列方程：，
故选：．
设该快递店揽件日平均增长率为，关系式为：第三天揽件数第一天揽件数揽件日平均增长率，把相关数值代入即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
 

6.【答案】 

【解析】解：选项A、、均符合自变量与函数的每一对对应，属于函数图象，
选项B对应自变量的值，除外，都有两个函数值与之对应，所以不是函数图象，
故选：．
对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象．
本题考查了函数的图象，掌握函数的定义是解答本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，则，求出，再由，得出，然后由三角形内角和定理即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理得知识；熟练掌握平行四边形的性质与三角形内角和定理是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点，
，，
：：：，
：：：，
：：，
，
反比例函数的图象在第四象限，
，
．
故选：．
先根据反比例函数的比例系数的几何意义，可知，，则：：，再根据同底的两个三角形面积之比等于高之比，得出：：：，则：：，然后根据反比例函数的图象所在的象限，即可确定的值．
本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到：：，是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，，，，它们的平均数是，
，
解得，
这组数据为，，，，，
这组数据的众数是．
故答案为：．
根据平均数的定义求出，再根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，依此即可得出答案．
此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数可能不止一个．
 

11.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
把代入得：，
解得：，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，把代入整式方程计算即可求出的值．
此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为这个条件．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，
反比例函数的图象过点，
将点代入，
得，
反比例函数解析式为，
将代入，
得．
即该图象与直线的交点的横坐标为．
故答案为：．
由题意可得，反比例函数的图象过点，则将点代入，即可求得反比例函数解析式，再将代入反比例函数解析式，即可得出答案．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练应用相关性质进行求解是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过作于，
四边形是菱形，
，，
，为中点，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，，
，
即到边的距离为，
故答案为：．
连接，过作于，证是等边三角形，得，再求出，然后由角平分线的性质得，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，点的坐标为，
，
当直线经过点时，，此时，
当直线经过点时，，此时．
直线与正方形有两个公共点，则的取值范围是．
故答案是：．
当直线过，时，求得，即可得到结论．
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，关键是掌握待定系数法正确求出函数的解析式．
 

15.【答案】解：



；




． 

【解析】根据算术平方根，零指数幂，绝对值的性质计算即可求解；
先通分，再计算减法即可求解．
本题考查了算术平方根，零指数幂，绝对值，分式的减法，关键是熟练掌握相应的计算法则．
 

16.【答案】解：去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解；
，
，
或，
所以，． 

【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
利用因式分解法解方程．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解题关键是分式方程一定注意要验根；还考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

17.【答案】解：如图甲中，四边形即为所求；
如图，点即为所求．
 

【解析】利用数形结合的思想，画出平行四边形即可；
取格点，，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，今天的的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，则原计划每天绿化的面积为万平方米，
依题意得：，即，
解得．
经检验是原方程的解，且符合题意．
所以万平方米
答：原计划工作时每天绿化的面积是万平方米． 

【解析】设实际工作时每天绿化的面积为万平方米，根据工作时间工作总量工作效率结合提前天完成任务，即可得出关于的分式方程．
考查了分式方程的应用．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

19.【答案】证明：≌，
，，
，
即，
又，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：如图，由可知，，
，
平分，
，
，
，
的周长为，
，
，
即，
由可知，四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长． 

【解析】由全等三角形的性质得，，则，即，再证，即可得出四边形是平行四边形；
证，再证，然后由平行四边形的性质列式计算即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：由题意得：名，
则扇形统计图中，表示“”的扇形圆心角的度数是，
故答案为：；
组人数为人，组人数为名，
补全频数分布直方图如下：

估算全校竞赛成绩达到优秀的学生人数为：名，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有种，
恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
由的人数除以所占百分比得出的值求出人数，用乘以“”所占的比例即可；
求出、组人数即可补全图形；
由全校总人数乘以达到优秀的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：根据题意得：
，
；
学生有人，
，
．
综上所述，选择乙旅行社． 

【解析】根据已知直接可得，关于的函数表达式；
把代入问的表达式即可解得答案．
本题考查一次函数及函数值的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

22.【答案】   

【解析】【定理证明】证明：延长到，使，连接，，
则，
是斜边上的中线，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是矩形，
，
；
【定理应用】解：，理由如下：
连接，

是边上的中线，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
故答案为：；
【拓展提高】解：过点作于，连接，

在中，，
，
，点是的中点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【定理证明】通过证明四边形是矩形，可得结论；
【定理应用】由直角三角形的性质可得，可得，由等腰三角形的性质和外角的性质可得结论；
【拓展提高】过点作于，连接，证明为等边三角形，得到，证明，得到，结合图形计算，得到答案．
本题是三角形综合题，考查的是直角三角形的性质，矩形的判定和性质．三角形的外角性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：在中，，，，
；
当时，
，
，
，
由题意得：，，
，
，
解得：；
当时，，，
，
，
解得：；
综上所述，当与的边平行或垂直时，的值为或；
分两种情况：
当时，作于，如图所示：

则，，
平行四边形；
即当
当时，如图所示：

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
直角梯形的面积；
即． 

【解析】由含角的直角三角形的性质即可得出答案；
当时，由直角三角形的性质得出，得出，则；当时，由直角三角形的性质得出，得出，则；
分两种情况，由平行四边形及梯形的面积可得出答案．
本题考查了正方形的性质、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角梯形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握正方形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：当时，分段函数表示为，
在平面直角坐标系内画出相应的函数图象如下：

当时，函数随增大而增大，
当时，，当时，，
，
当时，函数随增大而减小，
当时，，当时，，
，
综上所述，当时，；
时，，
时，，
时，，
结合图象可得时，；
当函数的图象与直线有两个公共点时，
与有一个交点，
与有一个交点，
即，
与直线交点在上或上方，与直线交点在下方，
与直线交点在下方，与直线交点在上方，
，
解得． 

【解析】将代入求解即可；
将和分别代入对应解析式求解即可；
结合图象，将和代入对应解析式求解即可；
当图象与线段有两个交点时，直线，两侧图象都与有交点，代入临界值求解即可．
本题主要考查一次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，根据图象分类讨论求解．
 

25.【答案】    时，随的增大而增大  

【解析】解：由表格得，，在函数上，
将，代入，
得：，
解得：，
该函数解析式为：，
，
，
即自变量取任意实数；
当时，，即，
当时，，即，
故答案为：，；
图象如图，时，随的增大而增大，
故答案为：时，随的增大而增大；

由图象可知，不等式的解集为：，
故答案为：．
将，代入解析式，用待定系数法求出，即可；
将，代入中已求得的解析式，求出，即可；
观察函数图象，写出函数满足的任意一条的性质即可可从增减性、对称性等考虑；
观察函数图象，有三个交点，即可求出已知不等式的解集．
本题考查函数图象和性质，能够用表格中已知点通过待定系数法求出函数解析式、利用描点法画图、利用图象直接写不等式解集是关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：当点在上时，
，
当在的延长线时，
，
故答案是或；
如图，

作于，
，，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
；
当点和点重合时，点在上，此时，
当点和重合时，此时，
当点和和点重合时，此时，
当点在上时，此时，
当时，如图，

，
，
，
，
当时，如图，

，
，
，
当时，如图，

此时是五边形或三角形，
；
设点到的距离是，到的距离是，
当点在的右侧时，
，
，
，
此时，
当点在和之间时，
当时，
，
，
此时，
当时，
，
，
此时，
当点在的左侧时，
，，
，
此时，
综上所述：或或或．
当点在上时，，当在的延长线时，；
当时，点在的右侧，此时的边长是；
先根据临界确定两种情形：和，进而确定的边长，从而求得；
分为点在的右侧，在和之间及在左侧，设到距离是，距离是，列出二元一次方程组求得．
本题考查了正方形性质，等腰直角三角形性质，分类讨论等知识，解决问题的关键是正确分类，找出数量关系．