初中数学人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程综合与测试习题

第二十一章 一元二次方程同步测试卷

一、单选题

1．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为，一次项系数、常数项分别是（       ）

A．， B．， C．， D．，

2．用配方法解一元二次方程，配方正确的是（       ）．

A． B．

C． D．

3．下列方程一定是一元二次方程的是（       ）

A． B．

C． D．

4．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（       ）

A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28

C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28

5．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm2，则其斜边长为（　　）

A．2cm B．10cm C．8cm D．4cm

6．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a2﹣1＝0的一个根为0，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．±1 D．

7．下列关于的一元二次方程有实数根的是

A． B． C． D．

8．解方程(x＋5)2－3(x＋5)＝0，较简便的方法是(     )

A．直接开平方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法

9．从，，，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为．若数使关于的一元二次方程有实数解．且关于的分式方程有整数解，则符合条件的的值的和是（   ）

A． B． C． D．2

10．用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长方形的长为xcm，则可列方程为（ ）

A．x（20+x）=64 B．x（20﹣x）=64 

C．x（40+x）=64 D．x（40﹣x）=64

二、填空题

11．若是关于的一元二次方程，则的值是______________．

12．关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是__________．

13．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为_______．

14．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为_________．

15．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．

16．如图，某工厂师傅要在一个面积为15m2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1m，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为_____．

三、解答题

17．解下列方程．

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

18．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．

(1)若丝绸花边的面积为，求丝绸花边的宽度；

(2)已知该工艺品的成本是元/件，如果以单价元/件销售，那么每天可售出件，另每天除工艺品的成本外所需支付的各种费用是元，根据销售经验，如果将销售单价降低元，每天可多售出件，请问该公司每天所获利润能否达到元，如果能应该把销售单价定为多少元？如果不能，请说明理由

19．关于的方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围：

（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于1？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．已知△ABC的两边AB，AC是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求出此时△ABC的周长．

21．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根．

22．已知关于的一元二次方程，

(1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根．

(2)若，是原方程的两根，且，求的值．

1．A

【详解】将化为一般形式为：，

∴一次项系数、常数项分别是-8，-10

故选A

2．A

【详解】解：，

移项得，

二次项系数化1的，

配方得，

即，

故选：A．

3．D

【详解】A．当时，原方程不是一元二次方程，故不符合题意；

B．原方程整理得：，不是一元二次方程，故不符合题意；

C．是一元三次方程，故不符合题意；

D．符合一元二次方程的定义，故符合题意；

故选D．

4．B

【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，

所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．

故选：B．

5．B

【详解】解：设这个直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，

根据题意得a+b＝14，ab＝24，即ab＝48，

∴c2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝142﹣2×48＝100，

∴c＝10，即斜边长为10cm．

故选：B．

6．C

【详解】把x＝0代入方程x2﹣x+a2﹣1＝0得：a2﹣1＝0，

∴a＝±1．

故选C．

7．D

【详解】解：A、这里，，，

△，

方程没有实数根，本选项不合题意；

B、这里，，，

△，

方程没有实数根，本选项不合题意；

C、这里，，，

△，

方程没有实数根，本选项不合题意；

D、这里，，，

△，

方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；

故选：D．

8．B

【详解】(x＋5)2－3(x＋5)＝0

(x＋5) (x＋5-3)＝0.

所以因式分解法比较简单, 所以选B.

9．C

【详解】方程有实数解，

∴△=4(a−4)2−4a2⩾0，

解得a⩽2

∴满足条件的a的值为−4，−2，−1，0，1，2

方程

解得y=+2

∵y有整数解

∴a=−4，0，2，4，6

综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，

符合条件的a的值的和是−2

故选：C

10．B【详解】设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（20-x）cm，

根据长方形的面积等于长乘以宽可列方程：x（20﹣x）=64，

故答案选B．

11．﹣2【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，

解得：   

故答案为

12．-3

【详解】解：由题意把x=2代入一元二次方程得：

，解得：，

∴原方程为，

解方程得：，

∴方程的另一个根为-3；

故答案为-3．

13．y＝（60﹣x）（300+20x）【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，本题得以解决.

【详解】由题意可得，

.

故答案为：.

14．0

【详解】解：设方程两根为,, 根据根与系数的关系得+=2a-a,又由题意可知+=0,所以2a-a=0,解得a=0或a=2.当a=2时, 方程化为x+1=0,显然不成立.故a=2舍去.故a=0.

故答案：0.

15．

【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根，

∴△=（-6）2-4×2k＞0，

解得k＜ ．

故答案为k＜.

16．2m2【详解】试题分析：设大正方形的边长为x米，表示出小正方形的边长，根据总面积为15平方米列出方程求解即可．

设大正方形的边长xm，则小正方形的边长为（x﹣1）m，

根据题意得：x（2x﹣1）=15，解得：x1=3，x2=﹣2.5（不合题意舍去），

小正方形的边长为（x﹣1）=3﹣1=2， 裁剪后剩下的阴影部分的面积=15﹣22﹣32=2（m2），

答：裁剪后剩下的阴影部分的面积2m2．

考点：一元二次方程的应用．

17．(1)，

(2)，

(3)，

(4)，

【分析】（1）用因式分解法即可求解；

（2）用公式法即可求解；

（3）用直接开平方法即可求解；

（4）用公式法即可求解．

（1）

，

解：因式分解得，，

解得，，；

（2）

，

解：方程化为，，

∴，，，

∴

∴方程有两个不相等的实数根，，

即，；

（3）

，

解：，

，

解得，，；

（4）

解：，，，

∴，

∴方程有两个不相等的实数根，，

即，．

18．(1)

(2)把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到元

【分析】（1）设出花边的宽，利用面积公式表示出其面积，即可列出方程求解；

（2）先根据题意设每件工艺品降价为元出售，则降价元后可卖出的总件数为件，每件获得的利润为元，此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件工艺品获得的利润-各种费用，列出二次方程，求解即可．

（1）

解：设花边的宽度为，根据题意得，

，

整理得，

解得或（舍去），

答：丝绸花边的宽度为；

（2）

设每件工艺品降价元出售，根据题意得，

，

整理得，，

解得，

∴销售单价定为（元），

答：把销售单价定为75元，公司每天所获利润能达到元．

19．（1）且；（2）不存在，理由见解析

【详解】解：（1）由题知，方程有两个不等实数根，所以，

，

解得且，

所以的取值范围是且；

（2）设方程的两个实数根为，，且倒数和等于1，

即，所以，

因为，，

所以，即，

解得：，

经检验是方程的根，

由（1）知的取值范围是：且，则不符合题意，

所以不存在这样的值使方程的两个实数根的倒数和等于1．

20．（1）k=2；（2）k=3或4，△ABC的周长为14或16．

【详解】（1）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，∴AB2+AC2=25，

∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，

∴AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC，即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，解得k=2或-5（舍去负数）；

所以k=2．

（2）△ABC是等腰三角形；

①AB=AC时，△=b2-4ac=0，

（2k+3）2-4（k2+3k+2）=0

方程无解，所以k不存在．

②AB=BC时，可知AB=BC=5，

根据韦达定理：AC+5=2k+3，5 AC= k2+3k+2，

解得：k=3或4．

当k=3时，AC=4，此时△ABC的周长为5+5+4=14；

当k=4时，AC=6，此时△ABC的周长为5+5+6=16．

∴当k=3或4，△ABC的周长为14或16．

21．（1）且；（2），

【详解】（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

且.

解得且.

的取值范围是且.

（2）在且的范围内，最大整数为.

此时，方程化为.

解得，.

22．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，证明恒大于0即可得出结论；

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，，代入即可求出的值．

（1）

证明：∵，

∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）

解：由题可知，，，

∴，

解得，

经检验m=2有意义．