2023汕头金山中学高三上学期摸底考试数学含答案

汕头市金山中学2023届高三第一学期摸底考试

数  学

一、单选题（1～8题）

1．已知集合，，则=(    )

A．    B．   C．   D．

2．设复数满足，则=(    )

A．    B．    C．    D．

3．已知平面向量满足，，，则的最小值为(    )

A．1        B．    C．2       D．3

4．等差数列的前项和为，若，，则=(    )

A．27             B．45            C．18            D．36

5．若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值范围是(    )

A．     B．

C．       D．

6．已知，则=(    )

A．    B．   C．    D．

7．已知三棱锥的顶点都在球的球面上，底面为等边三角形，且其所在圆的面积为若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为(   )

A．   B．   C．   D．

8．设函数有4个不同零点，则正实数的范围为(    )

A．   B．   C．   D．

（9-12多选题）

9．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是(    )

A．    B．

C．    D．的解集为或

10．函数在一个周期内的图象可以是(    )

11．下列判断，正确的选项有(    )

A．若的图象关于点对称是奇函数

B．曲线的图象关于直线对称；

C．函数定义在上的可导函数，其导函数为奇函数，则为偶函数．

D．函数定义在上的可导函数，导函数，且是偶函数，则

的图象关于点对称．

12．如图，正方形中，，，将沿

翻折到位置，点平面内，记二面角大

小为，在折叠过程中，满足下列什么关系(   )

A．四棱锥最大值为    B．角可能为61°

C．       D．

二、填空题

13．已知向量，，且，则=.

14．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴

所在的直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，

水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25

米，塔底部塔口半径为米，则该双曲线的离心率为

____．

15．已知，若存在常数，使恒成立，则的取值

范围是.

16．直线过抛物线的焦点且与抛物线交于两点，则的最小值为.

三、解答题（17题10分，其余每题各12分）

17．记为数列的前项和，已知

1)证明：是等差数列；

2)若成等比数列，求的最小值．

18．设的三个内角所对的边分别为且.

1)求角的大小；

2)若，求的取值范围．

19．全国中学生生物学竞赛隆重举行．为做好考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这50名学生成绩的中位数；

(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记为3人中成绩在[80，90)的人数，求的分布列和数学期望；

20．如图，在四棱锥中，底面正方形，平面底面，平面

底面，，分别是

的中点，为的

中点．

1)证明：平面；

2)求与平面所成角的正弦值．

21．已知为椭圆的左焦点，直线与交于两

点，且的周长和面积分别是和2．

1)求椭圆的方程；

2)如图，若关于原点的对称点为，不经过且斜率为的直线与交于点直线与交于点，证明点在定直线上．

22．已知函数，和,

1)若与有相同的最小值，求的值；

2)设有两个零点，求的取值范围．

数学参考答案

单选1～8题  CADB  ACBA

（9～12多选题）9．ABC   10．AC   11．ACD   12．AD

-18，，  

17．1)由已知①②

由①-②，得即

，且是以2为公差的等差数列．  ………………5分

(2)由(1)可得，成等比数列，

即，解得

当且仅当，即时，的最小值为-13  ……………………………10分

18．解：1）在中，.    ……………………………1分

，

，……………………………2分

由正弦定理……………………………3分

，，…………………………4分

，……………………………5分

2），…………………………7分

……………………………10分

， ………………………11分

，当取得最大值

所求的………………………12分

19．1)由频率分布直方图的性质可得，，

设中位数为，解得．………4分

2)的三组频率之比为0.28：0.12：0.04=7：3：1

从中分别抽取7人，3人，1人，………………………6分

所有可能取值为0，1，2，3，……………………7分

，，，

故的分布列为：

……………………10分

故………………………12分

20．

1)如图，取中点，连接分别是的中点，，又分别是的中点，，平面平面，平面，同理，分别是的中点，平面，平面平面，又，平面平面平面平面平面，平面，……………………………………6分

2）先证平面………………………………7分

如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，可得，，…………………………8分

设平面的法向量为，可得，即，令，得，………………………………10分

故，

即与平面所成角的正弦值为．……………………12分

21．

(1)解：将代入中，解得，则，……………………1分

所以的面积为，所以. ①   ……………………2分

设的右焦点为，连接，由椭圆的对称性可知，

所以的周长为，所以

，②由①②解得，……………………4分

所以的标准方程为.   …………………………5分

(2)解：设，直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程，并消去得，

则，得且，且，…………7分

，，

所以直线的方程为，即，

直线的方程为，即，……9分

联立直线与直线的方程，得，

得，，所以

所以，即点在定直线上.   ……………………12分

22．解：1），

当时，单调递减，无最值，，得

说单调……………………………………2分

说单调……………………………3分

依题……………………………4分

2）

，令，，……………………………6分

…………………………8分

又，得………………………9分

，

在与各有一个零点．……………………………11分

所以所求的……………………………12分