2023辽宁省六校高三上学期期初考试数学含答案

2022—2023学年度（上）六校高三期初考试

数学试题

考试时间：120分钟满分150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知命题，，则（  ） 

A．，      B．， 

  C．，        D．，

2.已知集合则（  ）         

A．   B．   C． D．

3.设等差数列的前项和为，若则（  ）

A． 150      B．  120       C． 75      D．60

4. 在的展开式中，的系数为（  ）    

  A．10       B．         C．30        D．

5.已知函数，若，则（  ）

 A．       B．0           C．1       D．2

6. 若则（  ）

 A．      B．         C．           D．

7. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（  ）

A. 当，时，二氧化碳处于液态

B. 当，时，二氧化碳处于气态

C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态

D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态

8. 已知函数满足：，，则（  ）

A．       B．        C．              D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分.

9. 已知复数，则下列说法正确的是（  ）

 A．复数在复平面内对应的点在第四象限

B．复数的虚部为

C．复数的共轭复数

 D．复数的模

10. 已知，关于该函数有下面四个说法，正确的是（  ）

A．的最小正周期为

B．在上单调递增

C．当时，的取值范围为

D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到

11. 已知正方体的棱长为2，则（  ）

A.直线与所成的角为

B.直线与所成的角为

C.点到平面的距离为

D.直线与平面所成的角为

12. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于两点，且，则的离心率为（  ）

A. B. C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分.

13.已知，则

14.圆的过点的切线方程为_____________. 

15.已知抛物线的焦点为过的直线与交于点，则的最小值为_______. 

16.已知圆台上底面的半径为3，下底面的半径为4，高为7，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是____.   

四、解答题：本题共6小题，计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本题满分10分）

已知数列的首项，，.

（1）证明：为等比数列；

（2）证明：．

18．（本题满分12分）

在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，

满足______________(填写序号即可)．

（1）求角C的大小;

（2）若，求周长的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19．（本题满分12分）

如图，在直三棱柱中，，

点D是线段BC的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

20．（本题满分12分）

新高考的数学试卷第1至第8题为单选题，第9至第12题为多选题.多选题A、B、C、D四个选项中至少有两个选项符合题意，其评分标准如下：全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.在某次考试中，第11、12两题的难度较大，第11题正确选项为AD，第12题正确选项为ABD.甲､乙两位同学由于考前准备不足，只能对这两道题的选项进行随机选取，每个选项是否被选到是等可能的.

（1）若甲同学每题均随机选取一项，求甲同学两题得分合计为4分的概率；

（2）若甲同学计划每题均随机选取一项，乙同学计划每题均随机选取两项，记甲同学的两题得分为，乙同学的两题得分为，求的期望并判断谁的方案更优.

21．（本题满分12分）

已知椭圆的两个焦点为点在上，直线交于两点，直线的斜率之和为0.

(1)求椭圆的方程； 

(2)求直线的斜率.

22．（本题满分12分）

已知函数

（1）若，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求实数的取值范围.

数学参考答案

一．单选：BADD    BCDA

二．多选：9. BD   10. ABC     11. ABD    12.AC

三．填空： 13.  20    14.      15.   9   16. 

四．解答：

17. （1）证明：当时，，又. ……….4分

数列是以3为首项，以3为公比的等比数列. ……….5分

（2）证明：由（1）知，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，

所以，，所以，. ……….7分

所以，

……….10分

18. (1)解：若选①，由题意可知，

，………2分

所以 ……….3分

因为

所以，   ……….5分

若选②，由正弦定理，得…2分

所以，，即

………4分

………5分

（2）解法一：由正弦定理，得

因此，……….7分

的周长

，……….10分

当时，

因此，的周长的最大值为9. ……….12分

解法二：由余弦定理，得，……….7分

因此

，当且仅当时等号成立. ……….11分

的周长

因此的周长的最大值为9. ……….12分

19. （1）证法一：在中，，，，满足

. ………2.分

是直三棱柱，

平面.  

平面

.……….3分

又，平面，平面

平面.  ……….5分

又平面.

.……….6分

证法二：是直三棱柱，

平面.

在平面内的射影为  ……….2分

在中，，，，满足，

.……….4分

又平面，

由三垂线定理可知……….6分

（2）解法一：由（1）可知，平面，，.

又，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，.

设平面的一个法向量为，则

由得解得

取，则.……….8分

平面.平面的一个法向量是.……….9分

.……….10分

由图可知，二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.……….12分

解法二：取的中点为，连接，则由等腰三角形三线合一可知，

是二面角的平面角. ………9分

在中，

……….10分

所以二面角的余弦值为.……….12分

20. 解：（1）因为甲同学两题得分合计为4分，所以这两道题每道题得2分，

所以甲同学两题得分合计为4分的概率为：；………3分

（2）甲同学的两题得分的取值范围为

所以，，

，

所以的分布列为：

………5分

因此（分），………6分

设乙同学第11题可能得分为，则的取值范围为

，，

设乙同学第12题可能得分为，则的取值范围为

，，

乙同学的两题得分的取值范围为，

所以，

，

，

，

所以的分布列为：

……….10分

因此(分)，……….11分

因为，所以甲同学的方案更优. ……….12分

21. (1) 解法一：椭圆的焦点在轴上，设的方程为

由已知，又因为所以

因为点在上，所以

从而有，……….2分

解得或（舍去）. ……….3分

因此，从而椭圆的方程为.……….4分

解法二：设则根据椭圆的定义，

，

所以，……….2分

又由已知，所以……….3分

从而椭圆的方程为.……….4分

（2）解法一：设直线的方程为：代入，得

……….6分

设，因为点在椭圆上，所以

………7分

因为直线的斜率之和为0，所以在上式中以代，可得

……….8分

所以直线的斜率为

……….12分

解法二：设，，直线的方程为

联立得，……….6分

……….7分

因为直线的斜率之和为0,所以

即

整理，得 ……….10分

，（舍去）……….11分

所以直线的斜率为.……….12分

解法三：设，，则

，两式相减，得

  ①………6分

同理可得，，……….7分

因为直线的斜率之和为0，所以，

即，

整理，得 ②……….9分

又

整理，得 ③…….10分

②-③，得   ④ ……….11分

把④代入①，得所以直线的斜率为.………12分

22. 解:（1）由题意，

的定义域为

……….1分

若，则，所以在上单调递减；……….2分

若，令解得

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增. ……….4分

(2)因为,所以有两个零点，即有两个零点.

若，由（1）知，至多有一个零点. ………6分

若，由（1）知，当时，取得最小值，

最小值为

①当时，由于，故只有一个零点；……….7分

②当时，由于，即，

故没有零点；………8分

③当时，由于，即

又，

故在上有一个零点. ……9分

存在，

则

又因此在上有一个零点. ……….11分

综上，实数的取值范围为……….12分