2022潍坊四中高一上学期开学收心考试数学试题含解析

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潍坊四中2021—2022学年第一学期收心考试高一数学学科一.单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 2014年3月14日，“玉兔号”月球车成功在距地球约384400公里远的月球上自主唤醒，将384400写成科学记数法可以表示为（    ）A. 3844×102 B. 38.44×105C. 384.4×104 D. 3.844×105【答案】D【解析】【分析】由科学计数法的定义，即得解【详解】由科学计数法的定义，384400写成科学记数法可以表示为3.844×105故选：D2. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）A.  B. C  D. 【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形；B．此图案仅是轴对称图形；C．此图案仅是中心对称图形；D．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；故选：A．3. 如图，将一个含有45°角的直角三角板摆放在矩形上，若∠1＝25°，则∠2的度数为（    ）A. 70° B. 75° C. 80° D. 85°【答案】A【解析】【分析】直角利用三角形外角的性质，结合平行四边形的性质，即可求解.【详解】由题意，因为，，所以，又因为矩形对边平行，所以，故选：A4. 三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程x2-8x-20=0一个实数根，则该三角形的面积是（    ）A. 24 B. 48 C. 24或8 D. 8【答案】A【解析】【分析】先求出三角形的第三边长是10，判断出三角形是直角三角形，其中直角边为6或8，即可求出其面积.【详解】由x2-8x-20=0解得：或.因为三角形的第三边长是一元二次方程x2-8x-20=0一个实数根，所以第三边长是10.又因为三角形两边长分别是8和6，所以，所以三角形是直角三角形，其中直角边为6和8，所以三角形的面积为.故选：A.5. 若集合中有且仅有一个元素，则实数的值为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】讨论与方程有一实根即可求解．【详解】当时，，符合题意；当时，有一实根，所以，符合题意；所以实数的值为或故选：C6. 集合且，则满足条件的实数的值为（    ）A. 1或0 B. 1，0或2 C. 0，2或-2 D. 1或2【答案】C【解析】【分析】由，可得，即，或，求得，验证，即可得出结果.【详解】，，且，，，或，解得，2，0或1，时不满足集合元素的互异性，舍去，满足条件的实数x的值为，2或0.故选:C.【点睛】本题考查集合的交集运算求解参数问题，考查计算能力，属于基础题.7. 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M，N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的长度（    ）A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】由矩形对角线，且的长度不变即可求解【详解】因为矩形PAOB的对角线，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，但的长度不变，所以的长度不变，故选：C8. 已知命题，.若为真命题，则实数的取值范围是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】根据题意，不等式上恒成立，则，所以，故选.二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9. 关于二次函数，下列说法正确的是（    ）A. 图象与y轴的交点坐标为B. 图象的对称轴在y轴的左侧C. 当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为﹣3【答案】BD【解析】【分析】把代入函数中可判断A；由对称轴为直线，可判断BC；抛物线顶点可以判断D【详解】∵，∴当时，，故选项A错误，该函数的对称轴是直线，故选项B正确，当时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当时，y取得最小值，此时，故选项D正确，故选：BD.10. 下列说法中正确的是（    ）A. 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形B. 两条对角线相等的四边形是矩形C. 两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形D. 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形【答案】ACD【解析】【分析】利用菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定依次判断可求解．【详解】对于选项A，两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故A说法正确；对于选项B，两条对角线相等的平行四边形是矩形，故B说法错误；对于选项C，两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形，故C说法正确；对于选项D，两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D说法正确；故选：ACD．11. 下列说法正确的是（    ）A. 命题“”的否定是“”.B. 命题“，”的否定是“，”C. “”是“”的必要条件.D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题判断A,B选项，根据充分条件，必要条件的定义判断C,D选项.【详解】对于A选项，命题“”否定是“，”，故A选项错误；对于B选项，命题“，”的否定是“，”，故B选项正确；对于C选项，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C选项错误；对于D选项，关于x的方程有一正一负根,所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D选项正确.故选：BD【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定，充要条件的判断，考查逻辑推理能力，是中档题.本题D选项解题的关键在于根据韦达定理和判别式得等价条件，进而解不等式求得讨论即可.12. 函数和在同一直角坐标系中图像不可能是图中的（    ）A.  B.  C.  D.  【答案】BCD【解析】【分析】结合二次函数与反比例函数的图像性质，分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：由二次函数与反比例函数图象可知当，此时开口向下，且与轴交点在轴正半轴，故A正确，C 错误由二次函数与反比例函数图象可知当，此时图象开口向上，且与轴交点在轴负半轴，故BD错误；故选：BCD三.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13. 若是方程两个实数根，则的值等于___________.【答案】2006【解析】【分析】由题得，进而提公因式求解即可得答案.【详解】解：因为是方程的两个实数根，所以根据韦达定理得，所以故答案为：14. 如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度.测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直上.测得边DE离地面的高度GB为1.4m，点D到AB的距离DG为6m.已知DE=30cm，EF=20cm，那么树AB的高度等于___________m.【答案】5.4【解析】【分析】由题意，由此得线段之间的比例关系，建立方程组，解之可得答案.【详解】解：根据题意得，所以，又，所以，解得，又，所以m，故答案为：5.4.15. 一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合.一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为.类比实数有加法运算，集合也可以“相加”.定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A＋B.若，，则_________.【答案】【解析】【分析】直接利用集合 “相加”的定义得到答案.【详解】按照题意，集合 “相加”的定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，因为，，所以.故答案为：16. 若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为_________；若“”是“”的充分条件但“”不是“”的必要条件, 则实数的取值范围为_________.【答案】    ①.     ②. 【解析】【分析】根据充分条件以及必要条件的定义集合的包含关系得出实数的取值范围.【详解】∵若“”是“”的充分条件，∴，∴∵若“”是“”的充分条件但“”不是“”的必要条件,∴，∴故答案为：，【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将充分条件以及必要条件的问题转化为集合的包含关系，由集合的知识进行求解.四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. （1）先化简再求值：，其中a＝，b＝.（2）【答案】（1）；（2）5.【解析】【分析】（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可；（2）指数幂的运算法则和绝对值的含义，即可求出结果.【详解】（1）原式＝   ；当时， ， ，∴原式.（2）.18. 数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.【答案】（1）条形统计图见解析，；（2）不同，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案.【详解】（1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了人，所以用银行卡支付的人有人，用微信支付的人有人，用现金支付所占比例为，所以，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝.（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：∵共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为.19. 如图，D是△ABC的BC边上一点，连接AD，作△ABD的外接圆，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上.（1）求证：AE＝AB；（2）若∠CAB＝90°，cos∠ADB＝，BE＝2，求BC的长.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先由△ADE≌△ADC，得到∠AED＝∠ACD，AE＝AC，由同弧对应的圆周角相等得到∠ABD＝∠AED，即可证明∠ABD＝∠ACD，从而证明AE＝AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，先求出cos∠ABE＝，求出AC＝AB＝3，利用勾股定理求出BC.【详解】（1）由折叠的性质可知，△ADE≌△ADC，∴∠AED＝∠ACD，AE＝AC，∵∠ABD＝∠AED，∴∠ABD＝∠ACD，∴AB＝AC，∴AE＝AB；（2）如图，过A作AH⊥BE于点H，∵AB＝AE，BE＝2，∴BH＝EH＝1，∵∠ABE＝∠AEB＝∠ADB，cos∠ADB＝，∴cos∠ABE＝cos∠ADB＝，∴.∴AC＝AB＝3，∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴BC＝3.20. 已知集合，.（1）求；（2）求；（3）若，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）由并集的定义求解即可；（2）由交集和补集的定义求解即可；（3），则，列出不等式组，即可求解【详解】（1）∵，，∴；（2）∴或；（3）若，且，则，所以，解得，∴的取值范围.21. 已知下列三个方程：，，至少有一个方程有实根，求实数的取值范围.【答案】或【解析】【分析】至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数的取值范围，其补集即为个方程 ，，至少有一个方程有实根成立的实数的取值范围．此种方法称为反证法【详解】假设没有一个方程有实数根，则：得解得： 所以至少有一个方程有实根，则实数的取值范围为或.22. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点D.（1）若点C的坐标为（0，3），求该抛物线的解析式；（2）E是线段AB上一动点（点E不与A、B重合），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，若EF＝AE，在（1）的条件下，试求点F的坐标；（3）当a＜0时，设的面积为S1，的面积为S2，求值.【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）F（2，3）；（3）.【解析】【分析】（1）将点代入即可求解；（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，0），由EF＝AE，得﹣x2+2x+3＝x+1，解出x即可求解；（3）设出抛物线方程，表示出C， D的坐标，表示出，即可求解【详解】（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），代入y＝ax2+bx+c，得，解得，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3.（2）设点F（x，﹣x2+2x+3），则点E（x，0），∵EF＝AE，∴﹣x2+2x+3＝x+1，解得x＝2或x＝﹣1，∵点E不与A、B重合，∴x＝2，∴yF＝﹣x2+2x+3＝﹣22+2×2+3＝3，∴点F（2，3）；（3）∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0），∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴点C坐标为（0，﹣3a），D坐标为（1，﹣4a），如图连接CD，AD，且AD与y轴交于点M，过点D作DN⊥x轴于N，∴，即，解得MO＝﹣2a，∴CM＝CO﹣OM＝﹣3a﹣（﹣2a）＝﹣a，，S2＝×AB×DN＝×4×（﹣4a）＝﹣8a，∴＝.