2022-2023学年甘肃省定西市岷县七年级（上）开学数学试卷（一）（含解析）

2022-2023学年甘肃省定西市岷县七年级（上）开学数学试卷（一）

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列各数：，，，，，其中无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 在平面直角坐标系中，已知点，则点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 如图，下列判断中正确的是(    )

A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，那么
 

4. 已知和是方程的解，则，的值为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5. 方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列调查中，最适合采用全面调查普查的是(    )

A. 对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B. 对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C. 对我市中学生观看电影厉害了，我的国情况的调查
D. 对我国首艘国产航母型各零部件质量情况的调查

7. 已知不等式，其解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 关于，的方程组的解满足，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中名学生，测试了仰卧起坐次数，并绘制如图所示的频数分布直方图，请根据图中的信息，计算仰卧起坐次数在∽次的百分比是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形，如图所示．小红看见了，说：“我也来试一试．“结果小红七拼八凑，拼成如图那样的正方形，但中间留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形，则每个小长方形的长和宽分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

二、填空题（本题共6小题，共18分）

11. 如图，直线与相交于点，且，的度数为______．

12. 计算：______．
13. 点向上平移个单位长度得到的点的坐标是______．
14. 对于实数，，定义运算“”：，例如，因为，所以若，满足方程组，则______．
15. 小明做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，小芳告诉他该方程的解是负数，并且这个常数是负整数，该方程的解是______．
16. 如图是根据某校为地震灾区捐款的情况而制作的统计图，已知该校在校学生有人，请根据统计图计算该校共捐款______元．

三、解答题（本题共9小题，共72分）

17. 解下列方程组：
     
18. 解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来：
     
19. 如图，将三角形平移，使沿的延长线移至得到三角形，交于点，平分．
    猜想与之间的关系，并写出理由；
    将三角形平移至如图所示位置，得到三角形，请问：平分吗？为什么？
     

20. 如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点、的坐标分别为、，点在第一象限．
    写出点的坐标；
    若过点的直线交长方形的边于点，且把长方形的周长分成：的两部分，求点的坐标．

21. 一个被墨水污染了的方程组：，小明回忆道：“这个方程组的解是，而我求的解是，经检验后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的系数所致”根据小明的回忆，你能求出原方程组吗？
22. 已知实数，满足．
    用含的代数式表示；
    若实数满足，求的取值范围；
    实数，满足，且，，求的取值范围．
23. 随着人们生活水平的不断提高，人们对生活饮用水质量要求也越来越高，更多的居民选择购买家用净水器．一商家抓住商机，从生产厂家购进了，两种型号家用净水器．已知购进台型号家用净水器比台型号家用净水器多用元；购进台型号净水器和台型号家用净水器共用元，
    求，两种型号家用净水器每台进价各为多少元？
    该商家用不超过元共购进，两种型号家用净水器台，再将购进的两种型号家用净水器分别加价后出售，若两种型号家用净水器全部售出后毛利润不低于元，求商家购进，两种型号家用净水器各多少台？注：毛利润售价进价
24. 为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下成绩得分均为整数：

根据表中提供的信息解答下列问题：
频数分布表中的______，______，______；
已知全区八年级共有个班平均每班人，用这份试卷检测，分及以上为优秀，预计优秀的人数约为______人，分及以上为及格，预计及格的人数约为______人，及格的百分比约为______；
补充完整频数分布直方图．

25. 是三角形内一点，射线，射线．
    当点，分别在，上时，
    补全图；
    猜想与的数量关系，并证明；
    当点，都在线段上时，你在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了无理数的定义．
根据无理数的定义无理数是指无限不循环小数判断即可．
【解答】
解：在所列的个数中，无理数有，这个数，
故选C．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【解答】
解：点位于第二象限．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
【解答】
解：、如果，邻补角互补，无法得出，故此选项错误；
B、如果，同位角互补，无法得出，故此选项错误；
C、如果，对顶角相等，无法得出，故此选项错误；
D、如果，内错角相等，两直线平行，那么，正确．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：把和代入方程，得
，
解得．
故选：．
根据方程的解的定义，可以把方程的解代入方程，得到一个含有未知数，的二元一次方程，从而可以求出，的值．
解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数和为未知数的方程，再求解．
一组数是方程的解，那么它一定满足这个方程，利用方程的解的定义可以求方程中其他字母的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
得：，
把代入得：，
则方程组的解为，
故选：．
方程组利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】
解：、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
B、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
C、对我市中学生观看电影厉害了，我的国情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
D、对我国首艘国产航母型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项正确；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
由得：，
由得：，
，
表示在数轴上，如图所示，

故选：．
把已知双向不等式变形为不等式组，求出各不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
两方程相减得出，根据列出关于的不等式，解之可得．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式、能得出关于的不等式是解此题的关键．
【详解】
解：，
，得：，
，
，
解得：，
故选C．  

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
仰卧起坐次数在∽次的百分比是：，
故选：．
根据题意和统计图中的数据可以得到仰卧起坐次数在∽次的百分比，从而可以解答本题．
本题考查频数率分布直方图，解答本题的关键是明确题意，求出相应的百分比，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：设每个长方形的宽为，长为，那么可列出方程组为：，
解得：．
故选：．
要求每个长方形的面积，就要先求出它们的长和宽，再利用面积公式计算．所以首先要设每个长方形的宽为，长为，根据题中的等量关系：个长方形的宽个长方形的长，利用个矩形的宽矩形的长，列方程组求解．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，注意图片给出的等量关系，以此列出方程组，可得出答案．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
先根据对顶角相等求出的度数，再利用邻补角的和等于列式计算即可．
本题主要考查了对顶角相等，邻补角互补的性质，是基础题，比较简单．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式
故答案为：
直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简进而得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点向上平移个单位长度得到的点的坐标是，
即，
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律．
 

14.【答案】 

【解析】解：解方程组得，
，
，
故答案为．
先解二元一次方程组求，的值，下根据新定义代入计算可求解．
本题主要考查解二元一次方程组，是新定义题型，理解新定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设这个常数为，，

解得，
解是负数，是负整数，
所以，，
的值只有，
解得，
故答案．
设这个常数为，求出关于的方程，进一步探讨得出答案即可．
此题考查了方程解的定义和解方程的步骤与方法，注意审清题意，正确理解方程的解．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据扇形统计图知：
初一学生数为人，
初二学生数为人，
初三学生数为人；
根据条形统计图知：
初一捐款数为元，
初二捐款数为元，
初三捐款数为元，
则该校共捐款元；
故答案为：．
根据扇形统计图求出初一、初二、初三的人数，再根据每人的捐款数，即可求出该校共捐款的数．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

17.【答案】解：
，可得：，
解得，
把代入，解得，
原方程组的解是．

根据题意，可得

，可得：，
解得，
把代入，解得，
原方程组的解是． 

【解析】应用加减消元法，求出每个方程组的解各是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

18.【答案】解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得  ，
合并同类项，得，
系数化为，得．
数轴表示如图：


解：，
解不等式，得，
解不等式，得．
把不等式和的解集在数轴上表示出来：

所以不等式组的解集：． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：．
利用如下：如图，
平分，
，
平移得到三角形，
，，
，
，
；
平分．
理由如下：如图，平分，
，
平移得到三角形，
，，
，
，
，
即平分． 

【解析】如图，先根据角平分线的定义得到，再根据平移的性质得到，，利用平行线的性质得到，从而得到；
如图，先根据角平分线的定义得到，再根据平移的性质得到，，利用平行线的性质得到，所以．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线把角分成两相等的两部分．也考查了平移的性质．
 

20.【答案】解：；
当点在上，如图，

矩形的周长，
直线把长方形的周长分成：的两部分，
，
而，
，
点坐标为；
当点在上，如图，

矩形的周长，
直线把长方形的周长分成：的两部分，
，
而，
，
，
点坐标为，
综上所述，点的坐标为，． 

【解析】利用第一象限点的坐标特征写出点坐标；
分类讨论：先计算出矩形的周长，然后分类讨论：当点在上，如图，利用直线把长方形的周长分成：的两部分可得，则，于是得到此时点坐标为；当点在上，如图，由直线把长方形的周长分成：的两部分得到，则，所以，于是得到此时点坐标为．
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了分类讨论的思想．
 

21.【答案】解：设正确的方程组为：，
这个方程组的解是，
，
，
又他的错误是由于看错了第二个方程中的系数所致，
，
解之得：，，
原方程组为：． 

【解析】设方程组中的系数分别为，，，由于这个方程组的解是，而小明求的解是，由此可以得到、、方程组，解方程组即可求解．
此题主要考查了二元一次方程的解的应用，解题的关键是利用方程的解的定义得到的待定系数的方程组解决问题．
 

22.【答案】解：由得到：；


；

联立和得到：，
解得，
由题意得，
解得． 

【解析】把看做已知数求出即可．
根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可；
解方程组求出、，得出不等式组，求出不等式组的解集即可．
考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程，解一元一次不等式．能正确解方程组或不等式组是解此题的关键．
 

23.【答案】解：设型号家用净水器每台进价为元，型号家用净水器每台进价为元，
根据题意知，
解得：，
答：型号家用净水器每台进价为元，型号家用净水器每台进价为元；

设商家购进型号家用净水器台，则购进型号家用净水器台，
根据题意，得：，
解得：，
因为为整数，
所以或或或，
则商家购进型号家用净水器台，购进型号家用净水器台；
购进型号家用净水器台，购进型号家用净水器台；
购进型号家用净水器台，购进型号家用净水器台；
购进型号家用净水器台，购进型号家用净水器台． 

【解析】设型号家用净水器每台进价为元，型号家用净水器每台进价为元，根据“购进台型号家用净水器比台型号家用净水器多用元；购进台型号净水器和台型号家用净水器共用元”列二元一次方程组求解可得；
设商家购进型号家用净水器台，则购进型号家用净水器台，根据“购进总费用不超过元、毛利润不低于元”列不等式组，解之可得．
此题考查一元一次不等式组的实际运用，二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】           

【解析】解：根据第一组的频数和频率结合频率频数总数，可求出总数：人，
，，，
故答案为：、、；
全区八年级学生总人数为人，
预计优秀的人数约为：人，
预计及格的人数约为：人，
及格的百分比约为：，
故答案为：人、人、；
补全频数分布直方图如下：

根据第一组的频数和频率结合频率频数总数，可求出总数，继而可分别得出、、的值；
根据频率频数总数可分别求出各空的答案；
根据中、的值即可补全图形．
本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，解答本题的关键是掌握频率、频数、总数之间的关系．
 

25.【答案】解：补全图形，如图所示．

 
证明：，
  
，
，
．

不成立，此时．
理由如下：如图，反向延长射线交于点，可知．

由结论可知．
． 

【解析】根据平行线的性质，即可得到，，即可得到与的数量关系．
先反向延长射线交于点，可知，由结论可知，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．