2021-2022学年江西省萍乡市七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江西省萍乡市七年级（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件是必然事件的是(    )

A. 早上的太阳从西方升起 B. 打开电视机，它正在播放动画片
C. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 D. 人中有两人的生日在同一天

2. 流感病毒可分为人流感病毒和动物流感病毒，形状呈直径约为米的球形．数据用科学记数法记作(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，已知，那么下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在中．，，是的角平分线，过点作交于，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 小军旅行箱的密码是一个六位数，由于他忘记了密码的末位数字，则小军能一次打开该旅行箱的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，垂直平分交于点，交于点垂直平分交于点，交于点，且点在点的左侧，连接、，若，则的周长是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 小亮从家出发步行到公交站台后，再等公交车去学校，如图，折线表示这个过程中小亮行驶的路程千米与时间分之间的关系．下列说法错误的是(    )

A. 他家离公交车站台千米远 B. 他等公交车的时间为分钟
C. 公交车的速度是米分 D. 他步行速度是千米分

9. 如图，在中，平分，平分，若，则(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，已知为的高线，，以为底边作等腰，连接，，延长交于点，下列结论：≌；；；，其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 一个长方形的长为，宽为，则它的面积为______．
12. 如图，用尺规作图，“过点作”，其作图依据是______．

13. 已知，，则的值为______．
14. 若、、分别为的三边的长，则______．
15. 如图，已知，，则的度数为______度．

16. 某厂有一种产品现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量万件将随计划所定的的值而确定，那么与之间的关系式应表示为______．
17. 如图，是的平分线，交于，于点，于点，，，，则的长为______．

18. 如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接
    ，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为______ 秒时，与全等．

三、解答题（本大题共8小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    ；
    ．
20. 本小题分
    先化简，再求值：，其中，．
21. 本小题分
    如图，交于点，交于点，，，请问与平行吗？说明理由．

22. 本小题分
    经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转．由于该十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为．
    假设平均每天通过该路口的汽车为辆，求汽车在此左转、右转、直行的车辆各是多少辆；
    目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间均为秒，在绿灯总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你利用概率的知识对此路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整．
23. 本小题分
    如图所示，中，，点是上一点，于点，于点，交于点．
    若，求的度数；
    若点是的中点，请仅用无刻度直尺画出的边上的高，并说明：．

24. 本小题分

某中学为筹备校庆活动，准备印制一批校庆纪念册，该纪念册每册需要张大小的纸，其中张为彩色页，张为黑白页．印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩色页元张，黑白页元张；印刷费与印数的关系见表．

直接写出印制这批纪念册的制版费为多少元；

若印制千册，那么共需多少费用？

如印制千册，所需费用为元，请写出与之间的关系式．

25. 本小题分
    如图，已知长方形，，，点为长方形边上的动点，动点从点出发，沿着运动到点停止，速度为，设点运动的时间为秒，的面积为，与的关系如图所示：
    
    和时，求点走过的路程分别是多少？
    当时，求对应的值；
    当时，求对应的值．
26. 本小题分
    问题背景：某数学兴趣小组在课外托管延时服务中进行如下探究活动：把两个等腰直角三角形的直角顶点重合，发现了一些有趣的结论．
    结论一：如图，在、中，，，，连接，，请说明≌；
    结论二：如图，在的条件下，若点在边上，请说明；
    应用；如图，在四边形中，，，连接，，，过点作，交的延长线于点，求四边形的面积．友情提示：在图中，
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：早上的太阳从西方升起是不可能事件，故A不符合题意；
B.打开电视机，它正在播放动画片是随机事件，故B不符合题意；
C.车辆随机经过一个路口，遇到红灯是随机事件，故C不符合题意；
D.人中有两人的生日在同一天是必然事件，故D不符合题意．
故选：．
根据必然事件的概念判断即可，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
本题考查了必然事件的定义，能根据定义正确区分各类事件是解题的关键，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，整式的除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
是的角平分线，
，
，
．
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：两直线平行，内错角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：一共有种等可能的结果，，，，，，，，，，小军能一次打开该旅行箱的只有种情况，
小军能一次打开该旅行箱的概率是：．
故选：．
由一共有种等可能的结果，小军能一次打开该旅行箱的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：直线为线段的垂直平分线，
，
又直线为线段的垂直平分线，
，
的周长，
故选：．
由直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理：可得，同理可得，然后表示出三角形的三边之和，等量代换可得其周长等于的长．
此题考查了线段垂直平分线定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由函数图象可知他家到公交车站台需行千米，他等公交车的时间分钟，故A、B正确，与要求不符；
公交车的速度米分，故C正确，与要求不符；
他步行与乘公交车行驶的平均速度米分，故D错误，与要求相符．
故选：．
观察函数图象可对、直接作出判断，依据函数图象确定出乘公交车的时间和路程可求得公交车的速度，故此可对作出判断，依据函数图象确定出步行和乘公交车的总时间，然后依据速度路程时间可求得他步行与乘公交车行驶的平均速度．
本题主要考查的是一次函数的应用，能够从函数图象中获取有效信息是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，平分，平分，
，
．
，
，
解得．
故选B．
先根据三角形内角和定理用表示出的度数，再由角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，由即可得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质本题中求证≌和≌是解题的关键．
易证，即可求证：≌；
根据结论可得，进而求得，即可解题；
证明≌即可；
易证是等腰直角三角形，则，，由≌，可知，所以．
【解答】
解：

为的高线，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
故正确；
≌，
，
，
，
，
；
故正确；
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
故正确；
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
≌，
，
．
故正确；
故选：．  

11.【答案】 

【解析】解：长方形的面积为：
故答案为：．
根据长方形的面积计算公式先计算，然后将结果用科学记数法表示．
本题考查了科学记数法，科学记数法就是用幂的方式来表示，科学记数法表示数时要注意其指数是正指数、还是负指数．
 

12.【答案】同位角相等，两直线平行 

【解析】解：由作图可知，，
同位角相等，两直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
根据同位角相等，两直线平行进行解答即可．
本题考查作图复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
故答案为：．
利用完全平方公式变形推出，再将，代入即可求值．
本题考查完全平方公式，利用完全平方公式变形推出是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：、、分别为的三边的长，
，，
，，
．
故答案是：．
利用三角形的三边关系去绝对值，然后合并同类项．
本题考查了三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
 

15.【答案】 

【解析】解：，




是等边三角形
．
故填．
由已知许多线段相等，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得许多角的关系，利用这些关系即可求得的度数．
此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质和三角形外角的性质．多次运用三角形外角的性质是正确解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：与之间的关系应表示为．
故答案为：．
根据平均增长问题，可得答案．
本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加倍是原来的倍．
 

17.【答案】 

【解析】解：平分，，，
，
设，
，
即，
解得，
的长为．
故答案为：．
根据角平分线性质得出，设，根据三角形的面积公式得出关于的方程，求出方程的解即可．
本题主要考查了角平分线的性质的运用，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

18.【答案】或 

【解析】解：因为，若，，根据证得≌，
由题意得：，
所以，
因为，若，，根据证得≌，
由题意得：，
解得．
所以，当时．和全等．
故答案为：或．
分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式

；
解：原式
． 

【解析】根据零指数幂、负整数指数幂、积的乘方的法则先化简，然后计算加减；
根据同底数幂、幂的乘方法则先化简，再合并同类项．
本题考查了实数以及整式的混合运算，熟记运算法则并灵活运用是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式


，
当，时，
原式
． 

【解析】先算括号内的，再算除法，化简后将、的值代入计算即可．
本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握平方差公式，完全平方公式及整式相关运算的法则，把所求式子化简．
 

21.【答案】解：，理由如下：
，，
，
，
又，
，
，
又，
，
． 

【解析】根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】解：汽车在此左转的车辆数为辆，
在此右转的车辆数为辆，
在此直行的车辆数为辆．
根据频率估计概率的知识，
得：汽车向左转，汽车向右转，汽车直行，
可调整绿灯亮的时间如下：左转绿灯亮的时间为秒，
右转绿灯亮的时间为秒，
直行绿灯亮的时间为秒． 

【解析】用汽车总量乘以频率即可得出结果；
由频率估计概率，即可得出结果．
本题考查了频率估计概率；熟练掌握频率和概率之间的关系是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；

证明：如图，连续，即为所求等腰三角形底边上的中线是底边上的高．

，且点为的中点，
，，
，，
，
． 

【解析】利用等腰三角形的性质三角形内角和定理求解即可；
如图，连续，即为所求．利用等腰三角形的性质，等角的余角相等证明即可．
本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

24.【答案】解：印制这批纪念册的制版费为：元，
印制这批纪念册的制版费为元．
印制千册时，需要的费用为：元，
若印制千册，那么共需元的费用．
由已知得：
当时，；
当时，．
综上可知：与之间的关系式为． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：根据数量关系列式计算；根据数量关系找出关于的函数关系式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列式计算或找出函数关系式是关键．
根据制版费彩页制版费黑白制版费，代入数据即可求出数值；
根据总费用制版费印刷费，代入数据即可求出数值；
分和两种情况找出关于的函数关系式，合并在一起即可得出结论．
 

25.【答案】解：由题意得：，，
当时，点所走的路程为：，
当时，点所走的路程为：；

，，
，
，
，
当时，，则；

分两种情况：
当在上时，如图，

当时，
，
，
；
当在上时，如图，

则，
，
，
当时，，
，
综上所述，当时，的值是或． 

【解析】从图中看，时面积越来越大，从到面积不变；结合图可知，当点在线段上运动时，的面积会越来越大，点在上时，的面积不变，由此可知：，，直接写出当和时，点走过的路程；
当，即，，此时的面积即为，利用面积公式即可求解；
由图知，当时有两种情况，画图进行讨论即可．
本题是四边形的综合题，考查了矩形、轴对称的性质，此题动点运动路线与三角形面积和函数图象相结合，理解函数图象的实际意义是本题的关键，根据图象的变化特征确定点的位置，从而得出结论．
 

26.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌；
证明：由得≌，
，
又，
，
；
解：如图，，
，
又，
，
，

，
在和中，
，
≌，
，，
 

【解析】由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由余角的性质可得结论；
由“”可证≌，可得，，由面积和差关系可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．