2021-2022学年北京市平谷三中八年级（下）月考数学试卷（6月份）-普通用卷

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2021-2022学年北京市平谷三中八年级（下）月考数学试卷（6月份）

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形是(    )

A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形

2. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下面是入围年北京冬奥会会徽设计评选的四副作品的主体图案，其中可以抽象为中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 方程的解是(    )

A.  B.
C. ， D. ，

6. 矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如果用配方法解方程，那么原方程应变形为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是(    )

A. 矩形
B. 菱形
C. 正方形
D. 无法判断

9. 下列函数的图象不经过第一象限，且随的增大而减小的是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，是用图象反映的某地男女生身高生长速度厘米年与年龄岁的对应关系．根据图象，有以下四个推断：
    岁时，男生、女生的身高增长速度相同
    岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快
    岁时，男生、女生的身高增长速度达到最高值
    岁以前，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度慢
    其中合理的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共30分）

11. 函数中，自变量的取值范围是______．
12. 在平面直角坐标系中，点在第______象限．
13. 已知是关于的一元二次方程的一个根，则实数的值是______．
14. 在中，，分别是边，的中点，如果，那么______．
15. 如果一次函数的图象经过一、二、三象限，写出一组满足条件的，的值：______，______．
16. 菱形中，对角线，相交于点，请你添加一个条件，使得菱形成为正方形，这个条件可以是______写出一种情况即可
17. 如图，在平面直角坐标系中，点，，点为线段的中点，则点的坐标为______．

18. 如图，在平面直角坐标系中，直线，分别是函数和的图象，则可以估计关于的不等式的解集为______．

19. 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则______．

20. 在研究平面图形的面积时，我们经常用到割补法．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现．九章算术已经能十分灵活地应用“出入相补”原理解决平面图形的面积问题．下面举例说明：在九章算术中，三角形被称为圭田．圭田术曰：“半广以乘正纵”，也就是说三角形的面积等于底的一半乘高．刘徽注为：“半广者，以盈补虚，为直田也”，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．如图中的三角形下盈上虚，以下补上．
    如果图中阴影部分的面积为，那么图中长方形的面积是______．

三、解答题（本题共7小题，共40分）

21. 解方程：．
22. 已知：，平分．
    求作：菱形，使点在边上点在边上，下面是尺规作图过程作法：分别以、为圆心，大于为半径作弧，两弧分别交于点、；
    作直线分别与、交于点、；
    连接、，与的交点记为点；四边形为所求作的菱形．
    利用直尺和圆规依做法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：，，
    为的垂直平分线．
    ，
    ．
    平分，
    ．
    ．
    ______ ______ ______ 填推理依据．
    同理可证，
    四边形为平行四边形．
    又 ______ ，
    四边形为菱形．

23. 在平面直角坐标系中，直线：和直线：相交于点．
    求的值；
    在给定的坐标系中画出直线和直线；
    过动点且垂于轴的直线与、的交点分别为，，当点位于点上方时，直接写出的取值范围．
24. 如图，在▱中，，相交于点，点在上，点在上，经过点求证：四边形是平行四边形．
     

25. 已知关于的一元二次方程．
    若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
    在的条件下，选择一个恰当的的值，使方程的两个实数根为整数，并求出这两个根．
26. 如图，在菱形中，交延长线于点，点为点关于的对称点，连接，分别延长，至点，，使，连接，交于点．
    依题意补全图；
    猜想和的数量关系并证明；
    若，是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
     

27. 在平面直角坐标系中，为直线：上一点，是直线外一点，且直线与轴不平行，若为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线的“伴随矩形”如图为直线的“伴随矩形”的示意图．
    已知点在直线：上，点的坐标为
    若点的纵坐标为，则以为对角线的直线的“伴随矩形”的面积是；
    若以为对角线的直线的“伴随矩形”是正方形，求直线的表达；
    点在直线：上，且点的纵坐标为，若在以点，，，为顶点的四边形上存在一点，使得以为对角线的直线的“伴随矩形”为正方形，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一个多边形的每个外角都是，
这个多边形的边数为，
即这个多边形是六边形，
故选：．
根据多边形的外角和等于和已知即可求出答案．
本题考查了多边形的外角与内角，能灵活运用多边形的外角和等于进行计算是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故选：．
根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，利用关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
为的中点，
，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求值即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，，
，．
故选：．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，四边形是矩形，
，
，
，


故选：．
只要证明，根据三角形的外角的性质即可解决问题；
本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：
四边形为平行四边形，
过点作于，于．

两张长方形纸条的宽度相等，
．
又平行四边形的面积，
，
平行四边形为菱形．
故选：．
由条件可知，，再证明即可解决问题．
本题考查了菱形的判定，解题的关键是添加辅助线，证明，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：当，正比例函数的图象经过第二、四象限；
当，时，一次函数的图象经过第二、三、四象限．
故选：．
由正比例函数的性质可得出：当，正比例函数的图象经过第二、四象限；由一次函数的图象与系数的关系可得出：当，时，一次函数的图象经过第二、三、四象限．再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了正比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，找出图象不经过第一象限的两种情况是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：岁时，男生、女生的身高增长速度相同，故正确；
岁以后，男生的身高增长速度比女生的身高增长速度快，故正确；
岁时，只有男生的身高增长速度达到最高值，故错误；
在岁以后，岁以前，男生的身高增长速度明显比女生的身高增长速度慢，故错误；
故选：．
依据男女生身高生长速度厘米年与年龄岁的对应关系，即可得到正确的结论．
本题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．解决此类识图题，要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据二次根式有意义的条件是，即可求解．
本题考查了函数自变量的取值范围的求法，求函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

12.【答案】四 

【解析】解：点的横坐标是正数，纵坐标是负数，
点在平面直角坐标系的第四象限．故答案填：四．
应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限．
解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入方程得：，
解方程得．
故答案为：
已知是关于的一元二次方程的一个根，把代入方程，即可得到一个关于的方程，解方程即可求出值．
本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，分别是边，的中点，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】   

【解析】解：一次函数的图象经过一、二、三象限，
其图象如图所示，
直线从左向右逐渐上升，
，
直线与轴的交点在轴的上方，
，
可取，
故答案为：，答案不唯一
可画出符合条件的一次函数的图象，由图象可取符合条件的数．
本题主要考查一次函数的图象，根据条件画出函数图象是解题的关键．
 

16.【答案】或答案不唯一 

【解析】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：；
故添加的条件为：或．
故答案为或．
知道四边形是菱形和菱形的对角线，要在菱形的对角线的性质的基础上加上合适的条件使菱形成为正方形，再结合正方形的对角线的性质就可以得出需要添加的条件．
本题是一道条件开放性试题，考查了菱形的性质的运用，正方形的性质的运用，解答时熟悉正方形的判定方法是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：过作轴，轴，
点，，点为线段的中点，
，，
点的坐标为，
故答案为：，
根据三角形的中位线定理和坐标解答即可．
本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的中位线定理和坐标解答．
 

18.【答案】 

【解析】解：当时，，
所以不等式的解集为．
故答案为．
观察函数图象得到当时，直线在直线的上方，于是可得到不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

19.【答案】 

【解析】解：连接、，
四边形，是正方形，且边长分别为和，
，，，
，
由勾股定理得：，
为线段的中点，
．
故答案为：．
作辅助线，连接，，可得三角形为直角三角形，求出，根据直角三角形斜边中线可得结论．
本题考查了正方形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质；作辅助线构建直角三角形是关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
则阴影部分的面积，
图中长方形的面积是，
故答案为：．
根据题意得到长方形的面积阴影部分的面积倍，．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积，正确的连接题意是解题的关键．
 

21.【答案】解：      ，
，
   或，   
  ，   ． 

【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．属于基础题．
关键在于利用因式分解法解出方程．
 

22.【答案】解：如图，四边形为所求作；

     内错角相等两直线平行   

【解析】

解：如图，四边形为所求作；

证明：，，
为的垂直平分线．
，
．
平分，
．
．
内错角相等，两直线平行，
同理可证，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
故答案为，，内错角相等两直线平行；．
【分析】
根据几何语言画出对应的几何图形；
先证明，，则可判断四边形为平行四边形，然后利用得到四边形为菱形．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形和菱形的判定．  

23.【答案】解：直线：过点，
，
点的坐标为．
直线：过点，
；
如图所示：

由题可得，当点位于点上方时，垂于轴的直线在点的右侧，即． 

【解析】先求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
利用函数解析式，在给定的坐标系中画出直线和直线；
由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出的范围．
本题考查两条直线平行或相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围．
 

24.【答案】证明：在▱中，，相交于点，
，，
，．
≌，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，属于中档题．
想办法证明，即可解问题；
 

25.【答案】解：根据题意得，
解得；
在的条件下，当时，该方程可化为，
解得，． 

【解析】根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
取，方程化为，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

26.【答案】解：补全的图形，如图所示．


．
证明：四边形是菱形，
，，．
点为点关于的对称点，
垂直平分．
，．
．
又，
．
，，
．
≌，
．

不存在．理由如下：
由可知，，，
．
不可能是等边三角形． 

【解析】根据题意补全图形；
根据全等三角形：≌的对应边相等证得：．
不存在．由可知，，，根据的一内角大于，即，推知不可能是等边三角形．
考查了四边形综合题．涉及到了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，关于点的对称的性质，等边三角形的判定与性质以及平行线的性质，难度较大，综合性比较强．
 

27.【答案】解：如图中，，．

以为对角线的直线的“伴随矩形”的面积．

如图中，

根据题意，当以为对角线的直线的“伴随矩形”为正方形时，
点的坐标为或．
可得，直线的表达式为：或．

如图中，

当坐标为时，可得；
当坐标为时，可得；
当坐标为时，可得；
当坐标为时，可得；
观察图象可知：在以点，，，为顶点的四边形上存在一点，使得以为对角线的直线的“伴随矩形”为正方形时，的范围为或． 

【解析】根据“伴随矩形”的定义画出图形即可解决问题；
根据题意，当以为对角线的直线的“伴随矩形”为正方形时，点的坐标为或，利用待定系数法即可解决问题；
如图中，求出经过特殊位置时当坐标即可解决问题：当坐标为时，可得；当坐标为时，可得；当坐标为时，可得；当坐标为时，可得；再结合图象即可解决问题；
本题考查一次函数综合题、矩形的性质、正方形的性质、“伴随矩形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点解决问题，属于中考压轴题．