高中数学8.3 简单几何体的表面积与体积导学案

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

【学习目标】

【自主学习】

一．棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体__     __的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的__   _的面积的和.

1.棱柱的表面积

棱柱的表面积：S表＝      ．

其中底面周长为C，高为h的直棱柱的侧面积：S侧＝      ；

长、宽、高分别为a，b，c的长方体的表面积：S表＝             ；

棱长为a的正方体的表面积：S表＝      .

2.棱锥的表面积

棱锥的表面积：S表＝S侧＋S底；底面周长为C，斜高(侧面三角形底边上的高)为h′的正棱锥的侧面积：S侧＝         .

3.棱台的表面积

棱台的表面积：S表＝                 ．

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积之和．

二．棱柱、棱锥、棱台的体积

1．棱柱的体积

(1)棱柱的高是指      之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)棱柱的底面积S，高为h，其体积V＝   .

2．棱锥的体积

(1)棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，   与    (垂线与底面的交点)之间的距离．

(2)棱锥的底面积为S，高为h，其体积V＝     .

3．棱台的体积

(1)棱台的高是指       之间的距离．

(2)棱台的上、下底面面积分别是S′、S，高为h，其体积V＝           ．

【小试牛刀】

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)几何体的表面积就是其侧面面积与底面面积的和． (　　)

(2)几何体的侧面积是指各个侧面的面积之和． (　　)

(3)等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相同． (　　)

(4)在三棱锥P­ABC中，VP­ABC＝VA­PBC＝VB­PAC＝VC­PAB． (　　)

3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为(　　)

A．6,22 B．3,22 

C．6,11 D．3,11

【经典例题】

题型一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

点拨：棱柱、棱锥、棱台的表面积求法

(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.

(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.

例1 侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)

A．a2　　 B．a2

C．a2   D．a2

【跟踪训练】1 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.

题型二　棱柱、棱锥、棱台的体积

例2 已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

【跟踪训练】2 棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于        .

题型三　求体积的等积法与分割法

点拨：求几何体体积的常用方法

例3 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.

【跟踪训练】3 如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.

【当堂达标】

1.已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A．　　　  B．      C．　　　   D．

2.已知正四棱锥底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为 (　　)

A.6               B.12  C.24         D.48

3.把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________．

4.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，则三棱锥P­ABC的体积V＝________.

5.已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.

6.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.

【课堂小结】

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键．

2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．

3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．

【参考答案】

【自主学习】

各个面  各个面  S侧＋2S底   Ch  2(ab＋ac＋bc)  6a2    Ch′  S侧＋S上底＋S下底  

两底面 Sh  顶点   垂足  Sh   两个底面 h(S′＋＋S)

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√

2.A解析:V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.

【经典例题】

例1 A解析：∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，

∴S表＝a2＋3××＝a2.

【跟踪训练】1 解 如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，

体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56．∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝2＋2＝＝＝64，

∴AB＝8．

∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160．

∴直四棱柱的底面积S底＝AC·BD＝20.

∴直四棱柱的表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.

例2 D 解析: 设三棱锥B1－ABC的高为h，则V三棱锥B1－ABC＝S△ABCh＝××3＝.

【跟踪训练】2  6＋2  解析：体积V＝(2＋＋4)×3＝6＋2.

例3 解析：在三棱锥A1－ABD中，AB＝AD＝AA1＝a，A1B＝BD＝A1D＝a，

∵VA1－ABD＝VA－A1BD，∴×a2×a＝××a××a×d.解得d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.

【跟踪训练】3 解  如图，连接EB，EC，AC.

V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16．∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.

∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4．

∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20．

【当堂达标】

1.D

2.D 解析:正四棱锥的斜高h′= 4,S侧=4× ×6×4=48.

3.18a2 解析：原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.

4. 4 解析：三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.

5.解析 ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，

∴各侧面都是全等的正三角形.

设E为AB的中点，连接SE，则SE⊥AB，

∴S侧＝4S△SAB＝4×AB×SE＝2×5×＝25，S表＝S侧＋S底＝25＋25＝25(＋1).

6.解析：由V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E，

∵S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，

又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，

∴V三棱锥F－A1D1E＝×a×a2＝a3，

∴V三棱锥A1－D1EF＝a3．