高中人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积导学案

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

【学习目标】

【自主学习】

一．    圆柱、圆锥、圆台的表面积

二．    圆柱、圆锥、圆台的体积

三．    球的表面积和体积公式

1．球的表面积公式S＝      (R为球的半径).

2．球的体积公式V＝      .

思考：用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系．

用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如下图所示．若球的半径为R，截面圆的半径为r，OO′＝d.在Rt△OO′C中，OC2＝OO′2＋O′C2，即R2＝r2＋d2.

【经典例题】

题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积

例1-1已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为(　　)

A．12π　　  B．12π     C．8π　 　 D．10π

例1-2已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为____.

【跟踪训练】1 (1)圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的表面积为________cm2.(结果中保留π)

(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是____.

题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积

点拨：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.

例2-1 把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．

例2-2 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为(　 　)

A．5π　　  B．6π　 　C．20π　 　 D．10π

【跟踪训练】2 (1)圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　)

A.       B．2π     C.π   D.π

(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　)

A．　　  B．      C．64π　　   D．128π

题型三　球的体积与表面积

点拨：求球的体积与表面积的策略

(1)计算球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.

(2)球的截面特点

①当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径;

②球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;

③若球的半径为R,截面圆的半径为r,则球心到截面的距离为d=

例3-1 球的体积是，则此球的表面积是(　　)

A．12π　　B．16π　 　C．　　 D．

例3-2一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是(　　)

A．12π cm3　 B．36π cm3      C．64π cm3　　 D．108π cm3

【跟踪训练】3 (1)两个球的体积之比为8:27，那么这两个球的表面积之比为(　　)

A．2:3　　　　　　　B．4:9     C.:      D.:

(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为________．

题型四  球的相切问题

1.要注意球心的位置，一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如几何体的中心或长方体对角线的中点等.

2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.

例4-1 一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为____.

例4-2 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.

【跟踪训练】4 (1)圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为____.

(2)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)

A．4π(r＋R)2　　　　　B．4πr2R2        C．4πrR   D．π(R＋r)2

【当堂达标】

1.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于(　　)

A.         B．1        C．2   D．3

2.若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是____.

3.一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为____.

4.圆台的上、下底面半径和高的比为1︰4︰4，若母线长为10，则圆台的表面积为__ __.

5.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是__  __cm.

6.轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积．

【当堂达标】

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

2.球的表面积和体积仅与球半径有关，因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决．

3.解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．

【参考答案】

【自主学习】

2πr2  2πrl  2πr(r＋l)  πr2  πrl  πr(r＋l)  πr′2  πr2   π(r′l＋rl)  π(r′2＋r2＋r′l＋rl)  πr2h 

 πr2h    π(r2＋rr′＋r′2)h   4πR     πR3

【经典例题】

例1-1 B解析：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，所以该圆柱的表面积为2×π×()2＋2π××2＝12π.

例1-2  2π 解析：由题意，母线长l＝2，底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.

【跟踪训练】1 (1) 1 100π 解析：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，

因为扇环的圆心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10 cm，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以S表面积＝S侧＋S上底＋S下底＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．

故圆台的表面积为1 100π cm2.

(2)1 解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，解得r＝1，l＝2．

例2-1：解:设圆柱的底面半径为r，母线长为l.

如图所示，当2πr＝4，l＝2时，r＝，h＝l＝2，∴V圆柱＝πr2h＝，

当2πr＝2，l＝4时，r＝，h＝l＝4，∴V圆柱＝πr2h＝.

综上所述，这个圆柱的体积为或.

例2-2 D解析： 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.

【跟踪训练】2 (1)D解析：设圆台的高为h，上底面的半径为r，下底面的半径为R，母线长为l.由题可知πr2＝π，πR2＝4π，则r＝1，R＝2.又因为圆台的侧面积为6π，所以πl(r＋R)＝6π，所以l＝2.因为h2＋(R－r)2＝l2，所以h＝.故圆台的体积V＝×(π＋4π＋)×＝π.

 (2)A 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，

∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，

∴2r＝，即l＝r，

由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝πr2＝16π，

∴r＝4．∴l＝4，高h＝＝4．

∴圆锥的体积V＝Sh＝π×42×4＝π，故选A．

例3-1 B 解析：设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2．故球的表面积S表＝4πR2＝16π.

例3-2 B解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.

在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，

∴球的半径R＝OA＝＝3(cm)，

∴球的体积V＝×π×33＝36π(cm3).

【跟踪训练】3 (1)B 解析：两个球的体积之比为827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为23，从而这两个球的表面积之比为49，故选B.

(2)  解析：两个小铁球的体积为2×π×13＝，设大铁球的半径为R，则大铁球的体积π×R3＝，所以大铁球的半径为.

例4-1  解析：由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.

例4-2   解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝18，∴a＝.

设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，∴R＝.

故球的体积V＝πR3＝π×3＝.

【跟踪训练】4 (1) 100π 解析：如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.

(2)C 解析：如图为球与圆台的轴截面，过D作DE⊥BC，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝(舍负)．故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.

【当堂达标】

1.D 解析：设球的半径为r，则由题意得πr3＝4πr2，解得r＝3.

2.12π解析：易知圆锥的高h＝4，所以V圆锥＝π×32×4＝12π.

3. 4πS 解析：设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝，底面周长c＝2πR.

故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·＝4πS.

4.168π 解析：先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8．

故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，

S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.

5. 2－ 解析：正六棱柱体积为6××22×2＝12，圆柱体积为π2·2＝，所求几何体体积为12－.

6.解：如图所示，作出轴截面，

因为△ABC是正三角形，所以CD＝AC＝2，

所以AC＝4，AD＝×4＝2，

因为Rt△AOE∽Rt△ACD，

所以＝.

设OE＝R，则AO＝2－R，

所以＝，所以R＝.

所以V球＝πR3＝π·3＝.

所以球的体积等于.