高中数学8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系

知识储备

1.平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

3.平行公理(公理4)和等角定理

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

4.异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：.

5.常用结论

（1）空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补.

（2）异面直线的判定：经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.

（3）两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.

能力检测

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、单选题

1．（2020·合肥市第十一中学高二期中（文））若直线与平面平行，直线，则与位置关系：（    ）

A．平行 B．异面 C．相交 D．没有公共点

【答案】D

【解析】若直线与平面平行，直线，则直线与可能平行或异面，不可能相交，即没有公共点.故选：D.

2．（2020·重庆市万州第三中学高二期中）下列说法正确的是（    ）

A．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面

B．平面与平面相交，它们只有有限个公共点

C．经过三点，有且只有一个平面

D．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合

【答案】D

【解析】对于，当点在直线上时，说法不正确；

对于，当平面与平面相交，它们无数个公共点，这些公共点在一条公共直线上，说法不正确；

对于，经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，说法不正确；

对于，如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，说法正确.

故选：D

3．（2019·浙江高二学业考试）若直线不平行于平面，且，则下列结论成立的是（    ）．

A．内的所有直线与异面 B．内不存在与平行的直线

C．内存在唯一的直线与平行 D．内的直线与都相交

【答案】B

【解析】因为直线不平行于平面，且，所以直线与平面相交，设交点为.

A：直线可以和在平面内过点的直线相交，故本选项结论不成立；

B：假设内存在与平行的直线，设为，根据线面平行的判定定理可知直线与平面平行，这与直线与平面相交相矛盾，故假设不成立，故本选项结论成立；

C：根据B的判断，显然本选项的结论不成立；

D：由A判断，显然本选项结论不成立.故选：B

4．（2020·天津高二期中）在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，连结交于点，取的中点，连结，

因为点分布是的中点，所以，即异面直线与所成角是或是其补角，

设，则底面边长，，同理，

，中，，，

所以，所以，即异面直线与所成角是.

故选：A

5．（2020·湖南高三月考）在正方体中，是正方形的中心，点在线段上，且，是的中点，则异面直线，所成角的大小为（    ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】D

【解析】如图所示，在正方体中，在底面上的射影为，

在正方形中，分别为的中点，可得，

又由，且，所以平面，

又由平面，那么，

则异面直线所成角的大小为.故选：D.

6．（2020·大名县第一中学高二月考）若l，m为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A.

7．（2020·咸阳市高新一中高一月考）如果、是异面直线，且平面，那么与的位置关系是（    ）

A． B．与相交 C． D．不确定

【答案】D

【解析】、是异面直线，且平面，如图所示：正方体中，是对应棱上的中点，对角面是平面，直线是，满足题意，则是时，，是时与相交，是直线时，，故与的位置关系不确定.

故选：D.

8．（2020·浙江高一期末）设是直线外一定点，过点且与成角的异面直线（  ）

A．有无数条 B．有两条 C．至多有两条 D．仅一条

【答案】A

【解析】过点作直线，如图，

与直线成角的圆锥面上的母线均与成角，

所以符合题意的直线有无数条.故选：A.

二、多选题

9．（2020·湖北武汉市·高二期中）如图，在正四棱柱中，，，分别是棱，的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ）

A． B．直线与直线共面

C． D．直线与直线异面

【答案】BCD

【解析】如图，连接，

可知在正四棱柱中，，

四边形是平行四边形，，

是异面直线与所成角，

设，则，

则可得,,，

，故A错误，C正确；

如图，连接，是，的中点，，又正四棱柱中，，四边形是平行四边形，，，四点共面，即直线与直线共面，故B正确；

平面，平面，且，直线与直线异面，故D正确.故选：BCD.

10．（2020·南通西藏民族中学高二期中）分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（    ）

A．平行 B．相交

C．异面 D．以上皆不可能

【答案】ABC

【解析】当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确；

两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确；

一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确；故选：ABC.

11．（2020·山东日照市·日照一中高三月考）在正方体中，点在线段上运动，则（    ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为

【答案】BD

【解析】A错，如图，连接，，由正方体可得，且平面，则，

所以平面，故；

同理，连接，易证得，则平面，

若直线平面，则平面平面

这与平面与平面相交矛盾，所以A错；

B正确，，因为点在线段上运动，所以，

面积为定值，且到平面的距离即为到平面的距离，也为定值，故体积为定值；

C错，由,

当点与线段的端点重合时，与所成角为60°；

设的中点为,当点由的端点向中点运动时，为异面直线与所成角

在在中,，所以

在中，不变，逐渐变小.所以逐渐增大，

当点与重合时，异面直线与所成角为

所以异面直线与所成角的取值范围是,所以C不正确.

D正确，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1， 则，

由前面可得，平面，所以 为平面的一个法向量

∴直线C1M与平面所成角的正弦值为 ：

当时，有最大值

所以直线C1M与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故D正确．

故选：BD．

12．（2020·邵东市第一中学高三月考）点是正方体中侧面上的一个动点，则下面结论正确的是（    ）

A．满足的点的轨迹为直线

B．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为

C．点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等

D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是

【答案】BC

【解析】如图，在正方体中，侧面，则，又，，所以平面，

当点M在线段上时，有，所以点的轨迹为线段，故A不正确；

由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点M与重合时，三棱锥的体积取得最大，

其值为，故B正确；

平面上的点M到直线的距离等于M到的距离，则满足到直线AD和直线的距离相等，

即满足到直线AD和点的距离相等.可知M的轨迹为平面上抛物线的部分，故C正确.

异面直线与所成的角是，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，

其正切值为，所以不存在点，使异面直线与所成的角是，故D不正确，故选BC.

三、填空题

13．（2019·西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考）若a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面有__________个．

【答案】1或无数

【解析】由a ，b 是两条不相交的直线，

1、若a ，b平行时，过直线b 且平行于a 的平面有无数个；

2、若a ，b不平行时，即为异面直线，则过直线b 且平行于a 的平面有且仅有1个；

故答案为：1或无数.

14．（2020·山西吕梁市·高二期中）如图，在正方体中，、、、分别是顶点或所在棱的中点，则、、、四点共面的图形有____（填上所有正确答案的序号）．

【答案】①③④

【解析】对于①，连接、，取的中点，连接、，

在正方体中，四边形为正方形，则且，

、分别为、的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，可得，

同理可证四边形为平行四边形，所以，，则，

此时，、、、四点共面；

对于②，如下图所示：

平面，此时，、、、四点不共面；

对于③，连接、、，

在正方体中，且，

则四边形为平行四边形，可得，

、分别为、的中点，则，，

此时，、、、四点共面；

对于④，连接、、、，

在正方体中，且，

则四边形为平行四边形，所以，，

、分别为、的中点，则，同理可证，，

此时，、、、四点共面；

对于⑤，由题图可知，平面，此时，、、、四点不共面.

故答案为：①③④.

15．（2020·昔阳县中学校高二期中）如图，已知一个八面体的各条棱长均为2，四边形ABCD为正方形，给出下列说法：

①该八面体的体积为；②该八面体的外接球的表面积为8π；

③E到平面ADF的距离为；④EC与BF所成角为60°.

其中正确的说法为__________.（填序号）

【答案】②④

【解析】①八面体的体积为；

②八面体的外接球球心为正方形ABCD对角线交点，易得外接球半径为，表面积为；

③取AD的中点G，连接EG，FG，EF，

易得，平面EGF，

过E作，交FG的延长线于H，

又，，故平面ADF，

解得，所以E到平面ADF的距离为；

④因为，所以EC与BF所成角为.

故答案为：②④.

四、双空题

16．（2020·浙江省杭州第二中学高二期中）如图，在四面体中， ，、、、分别是、、、的中点，则和所成角为_________，若与所成角为，则和所成角为_________．

【答案】    或.   

【解析】（1）连接，

、、、分别是、、、的中点，

，，

四边形是平行四边形，

，，，

，故四边形是菱形，

，故和所成角为；

，

即为与所成角（或其补角），

或，

而为和所成角，且或，

即和所成角为或.

故答案为：；或.