高中2.5 直线与圆、圆与圆的位置达标测试

2.5.2圆与圆的位置关系（精练）

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．圆与圆的位置关系是（       ）

A．相离 B．相交 C．外切 D．内切

【答案】D

圆的圆心坐标是，半径是1；

圆的圆心坐标是，半径是6，

所以圆心距为，故两个圆内切.

故选：D.

2．已知两圆和相交于两点，则直线的直线方程为（        ）

A． B． C． D．

【答案】D

把两圆与的方程相减，可得，

此直线的方程既能满足第一个圆的方程、又能满足第二个圆的方程，故必是两个圆的公共弦所在的直线方程.

故选：D.

3．圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数等于（       ）

A．7 B．3 C．3或7 D．不确定

【答案】C

，

因为圆与圆有且仅有一个公共点，故圆与圆相内切或外切，

故或，从而或，

故选：C

4．已知在圆：上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

由题意可知圆与圆相交，则，解得或.

故选：C

5．在平面直角坐标系中，已知圆，圆的公切线有2条，则m的取值范围为（       ）

A． B．或

C． D．或

【答案】B

解：由题意，圆与圆有2条公切线，则两圆相交，

圆的圆心，半径为，

圆，

即，圆心，半径为1，

要使两圆相交，则，

解得：或，

故选：B．

6．若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为（       ）

A． B． C．1 D．3

【答案】C

解：由题意可得两圆相外切

两圆的标准方程分别为

圆心分别为，半径分别为2和1

故有，

当且仅当，即时，等号成立.

故选：C

7．已知，两圆与相交于A、B两点，且在点A处两圆的切线互相垂直，则线段AB的长度为（       ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】B

解：由题知，，半径分别为，

根据两圆相交，可得圆心距大于两圆的半径之差而小于半径之和，

即．

又，所以有，

，

再根据，

求得，

故选：B．

8．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽､数字“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心､牢记使命､艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为的相交大圆，分别内含一个半径为的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2）.已知，则由其中一个圆心向另一个大圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

由其中一个圆心向另一个大圆引的切线长为

两圆的公共弦长为

所以它们的比为

故选：B

二、多选题

9．点在圆上，点在圆上，则（       ）

A．的最小值为3 B．的最大值为7

C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交

【答案】ABC

根据题意，圆，其圆心，半径，

圆，即，其圆心，半径，圆心距>R+r，故两圆外离，故D错误；

则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确；

对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C正确.

故选：ABC.

10．圆和圆相交于两点，则有（       ）

A．公共弦所在直线方程为

B．圆到直线距离等于1的点有2个

C．公共弦的长为

D．为圆上的一个动点，则到直线距离的最大值为

【答案】ABD

对于A，由圆与圆的交点为A，B，

两式作差可得，

即公共弦AB所在直线方程为，故A正确；

对于B，圆

所以圆心为，半径为，圆心它到直线的距离为：

，而故B正确；

对于C，圆，圆心到的距离为

，半径

所以，故C不正确；

对于D，P为圆上一动点，圆心到的距离为，半径，即P到直线AB距离的最大值为，故D正确.

故选：ABD

三、填空题

11．圆与圆，则圆A与圆B的公切线方程为___________.

【答案】，，或

【详解】

，圆心，半径；

，圆心，半径，

因为两圆的圆心距，

所以两圆相离，即圆A与圆B的公切线有条，

当直线的斜率不存在时，与两圆均相切；

当直线的斜率存在时，设，即，

所以，解得 ，或，

所以圆A与圆B的公切线方程有， 或

，

故答案为：，，或

12．已知：与：相交于A，B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且，则的方程为___________．

【答案】

由题意作出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O、，

则在中，，，，斜边上的高为，

由三角形等面积法可得：，

由勾股定理可得：，

由以上两式可解得：，，可得圆的方程为：．

故答案为：.

四、解答题

13．1.已知圆：，其中．

(1)如果圆与圆外切，求的值；

(2)如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值．

【答案】(1)20(2)8

(1)圆的圆心为，半径为，若圆与圆外切，故两圆的圆心距等于两圆半径之和，故，解得：

(2)圆的圆心到直线的距离为，由垂径定理得：，解得：

14．已知圆和．

(1)求证圆和圆相交；

(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；

(3)求过点且与圆相切的直线方程．

【答案】(1)证明见详解(2)，(3)或

(1)由已知圆，圆心，半径

，圆心，半径，

则，

又

则圆和圆相交；

(2)将两圆方程相减得，即，

圆和圆的公共弦所在直线的方程为

圆心到公共弦的距离为

公共弦长为.

(3)若过点的直线斜率不存在时，此时方程为，与圆相切，符合题意

若过点的直线斜率存在时，设为，即，

则，解得

，即

综合得过点且与圆相切的直线方程为或

B能力提升

1．已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（       ）

A．12 B．11 C．10 D．9

【答案】B

，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，

又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而，

得．

故选：B

2．已知p：，q：与的公共弦长为，则p是q的（       ）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

【答案】A

由题意与的公共弦所在直线方程为即，

在圆中由弦心距，半弦长，半径满足勾股关系得，

解得，

所以p：，q：与的公共弦长为，则p是q的充分不必要条件，

故选：A．

3．(多选）以下四个命题表述正确的是（       ）

A．直线恒过定点.

B．两平行直线与的距离是.

C．若圆与圆恰有三条公切线，则

D．若圆和圆的交点为，，则圆上一动点到直线距离的最大值为.

【答案】ACD

直线化简得，由，解得，

即直线恒过定点，A正确；

化简得，两平行直线之间的距离为，B错误；

圆化简得，圆心，半径为1，圆化简得

，圆心，半径为，恰有三条公切线，则两圆外切，

即，解得，C正确；

直线的方程为，即，圆上一动点到直线距离的最大值即圆心到直线的距离加半径，

，化简得，圆心，半径为1，圆心到直线的距离为，

故圆上一动点到直线距离的最大值为，D正确.

故选：ACD.

4．（多选）已知：，直线l：，P为l上的动点，过点P作的切线，切点为，当最小时，则（       ）

A．直线AB的方程为 B．

C．直线AB的方程为 D．

【答案】BCD

圆的方程可化为，

点M到直线l的距离为，

所以直线l与圆相离，

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，

所以，

而，

当直线时，，，此时最小，

即，

由，解得

所以以MP为直径的圆的方程为，即，

两圆的方程相减可得：，即为直线AB的方程．

故选：BCD．

5．已知圆：，圆：，、分别是圆，上动点是轴上动点，则的最大值是_________.

【答案】##

由题设，且半径，且半径，

所以，即圆包含圆，

又、分别是圆，上动点是轴上动点，

要使的最大，共线且在的两侧，

所以.

故答案为：

C综合素养

1．如图，圆，点为直线上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B.

(1)求直线AB的方程，并写出直线AB所经过的定点的坐标；

(2)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S､T两点，求的最小值.

【答案】(1)），直线过定点(2)

(1)，，∴

故以P为圆心，以为半径的圆P的方程为，

显然线段AB为圆P和圆M的公共弦，

直线AB的方程为，

即，所以，所以直线AB过定点.

(2)设切线方程为，即，

故到直线的距离，即，

设PA，PB的斜率分别为，，则，，

把代入，得，

，

当时，取得最小值.

2．已知圆M与圆N：相外切，与y轴相切原点O．

(1)求圆M的方程；

(2)若圆M与圆N的切点在第一象限，过原点O的两条直线与圆M分别交于P，Q两点，且两直线互相垂直，求证：直线PQ过定点，并求出该定点坐标．

【答案】(1)M：或M：

(2)证明见解析，

(1)由题意知，圆M与y轴相切原点O，所以设圆M的方程为，

因为圆M与圆N：相外切，且N：，

所以，所以或，

所以M：或M：；

(2)由题意知M：，

设OP所在直线方程为，联立，

得，，

同理把k换做，可得，，

所以PQ所在直线方程为，

化简为：

故直线PQ过定点．