数学人教A版 (2019)3.1 函数的概念及其表示一课一练

3.1.2函数的表示法（精练）

A夯实基础   B能力提升   C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1．（2022·河南河南·高一期末）设，，则的值为（       ）

A． B． C．1 D．e

【答案】A

解：因为，，

所以，所以．

故选：A

2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数为一次函数，且，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

设，则，解得，

，．

故选：A

3．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）设函数，则（       ）

A．6 B．7 C．9 D．10

【答案】B

故选：B

4．（2022·江苏·高一）函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是(       )

A． B．± C．0或1 D．

【答案】A

若f(x)＝2，

①x≤－1时，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；

②－1＜x＜2时，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；

③x≥2时，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).

综上，x＝.

故选：A.

5．（2022·吉林市教育学院模拟预测（理））已知，函数，若，则（       ）

A．0 B．2 C．5 D．6

【答案】B

因为，所以，

故选：B

6．（2022·广西北海·高二期末（文））若函数，且，则实数的值为（       ）

A． B．或 C． D．3

【答案】B

令（或），，，，.

故选；B

7．（2022·全国·高三专题练习）二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

因为二次函数开口向下，所以，

所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C

因为过点，所以，所以，

所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；

故选：D.

8．（2022·全国·高三专题练习）若，则的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

设，则，

则，

所以函数的解析式为.

故选：D.

二、多选题

9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

设，

由题意可知，

所以，解得或，

所以或.

故选：AD.

10．（2022·全国·高一）下列命题中，正确的有（       ）

A．函数与函数表示同一函数

B．已知函数，若，则

C．若函数，则

D．若函数的定义域为，则函数的定义域为

【答案】BC

解：的定义域是， 的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;

函数，若，则所以，故B正确；

若函数，则，故C正确；

若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.

故选：BC

三、填空题

11．（2022·全国·高一专题练习）如图，曲线AB是抛物线的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是顶点），曲线BC是双曲线的一部分，曲线AB与BC组成图形W．由点C开始不断重复图形W形成一组“波浪线”．那么______；若点，在该“波浪线”上，则的值为______，的最大值为______．

【答案】     5     4     5

∵，

∴点，代入，

解得；

根据平移规律，确定点在抛物线上，且与的纵坐标相同，

∴，

∵抛物线的最大值为5，

∴n的最大值为5.

故答案为：5；4；5．

12．（2022·全国·高三专题练习）函数的值域为，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

由题意，

当时，显然单调递减，则；

当时，是开口向，对称轴为的二次函数，则，

又函数的值域为，

所以只需，解得.

故答案为：.

四、解答题

13．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数的解析式：

（1）已知f(＋1)＝x＋2；

（2）若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1；

（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．

【答案】（1）f(x)＝x2－1(x≥1)；（2）f(x)＝x＋1；（3）f(x)＝x2＋x＋1.

【解】(1)(方法1)(换元法)：设t＝＋1，，则x＝(t－1)2(t≥1)．代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1)．

(方法2)(配凑法)：∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1，

∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)，即f(x)＝x2－1(x≥1)．

(2)用－x换x得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，与原式2f(x)－f(－x)＝3x＋1联立消去f(－x)得f(x)＝x＋1.

(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.

14．（2021·全国·高一专题练习）已知

（1）求；

（2）若，求a的值；

（3）若其图像与y=b有三个交点，求b的取值范围.

【答案】（1）3（2）12（3）

（1），

，

（2）当时，，

当时，，

解得，

综上，

（3）作出的图象，如图，

由图象可知，当时，与y=b有三个交点.

 B能力提升 

1．（2021·河南·南阳中学高一阶段练习）已知函数，则不等式的解集是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

函数，则不等式等价于或者，

解得：，解得：或，于是得或，

所以不等式的解集是.

故选：A

2．（2021·福建·莆田第四中学高一期中）若函数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

因为函数满足 ---①

所以 ---②

联立①②，得，解得，

∴

故选：A

3．（2021·全国·高一专题练习）设函数 ，若，则实数的取值是_________.

【答案】

解：因为，所以当时，，

因为，所以，

令，所以，解得或（舍），

所以

所以当时，，解得，

当时，，方程无解.

所以实数的取值是

故答案为：

4．（2021·全国·高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式；

（1）若满足，则____________；

（2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立.

（3）已知；

（4）已知等式对一切实数､都成立，且；

【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.

（1）因为①

用代替，②

由①②组成的方程组得.

故答案为: .

（2）将代入等式得出，

联立，变形得：，

解得.

（3）

，

令，由双勾函数的性质可得或，

，

或.

（4）因为对一切实数､都成立，且，

令则，又因为

所以，即.

C综合素养

1．（2021·全国·高一课时练习）定义：表示不超过实数x的最大整数，称为“地板函数”．某学校高一年级要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时可增选1名代表，则各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用“地板函数”可以表示为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

设各班人数除以10的余数为，当时，，，，；

当时，，，，

．

故选：C．

2．（2021·全国·高一课时练习）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．

（1）求及定义域；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

【答案】（1）；（2）甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.

解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120-x万元．

∴，

依题意得，解得．

故．

（2）令，则．

∴．

当，即万元时，y的最大值为44万元

∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．