高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课后测评，文件包含312函数的表示法精讲解析版docx、312函数的表示法精讲原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共44页， 欢迎下载使用。

3.1.2函数的表示法（精讲）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
重点题型一：函数的三种表示法的应用
重点题型二：求函数的解析式
角度1：待定系数法：
角度2：换元法：
角度3：配凑法：
角度4：方程组（消去）法：
角度5：赋值法求抽象函数的解析式
重点题型三：分段函数的求值
重点题型四：根据函数的图象求解析式
重点题型五：函数图象的相关问题
重点题型六：分段函数的实际应用
第五部分：新定义问题
第六部分：高考（模拟）题体验



第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局


第二部分：知 识 点 精 准 记 忆


知识点一：函数的表示法
1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.
2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.

优点
缺点
联系
解析法
①简明、全面的概括了变量之间的关系；
②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值；
③便于利用解析式研究函数的性质；
①并不是所有的函数都有解析式；
②不能直观地观察到函数的变化规律；
解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．
图象法
①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势；
②可以直接应用图象来研究函数的性质；
①并不是所有的函数都能画出图象；
②不能精确地求出某一自变量相应的函数值；
列表法
①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值；
①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系；
②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律；
知识点二：求函数解析式
1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．
2、换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.
3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，
4、方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。
知识点三：分段函数
对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数．
注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同；
（2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围；
（3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集．
知识点四：函数的图象
1、函数图象的平移变换（左“+”右“-”；上“+”下“-”）

①
②
③
④
注：左右平移只能单独一个加或者减，注意当前系数不为1,需将系数提取到外面.
2、函数图象的对称变换
①的图象的图象；
②的图象的图象；
③的图象的图象；
3、函数图象的翻折变换（绝对值变换）
①的图象的图象；
（口诀；以轴为界，保留轴上方的图象；将轴下方的图象翻折到轴上方）
②的图象的图象.
（口诀；以轴为界，去掉轴左侧的图象，保留轴右侧的图象；将轴右侧图象翻折到轴左侧；本质是个偶函数）



第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试

1．（2022·全国·高一课时练习）判断正误．
（1）分段函数由几个函数构成．( )
（2）分段函数有多个定义域．( )
（3）函数是分段函数．( )
（4）函数可以用分段函数表示．( )
【答案】     错误     错误     错误     正确
如果一个函数在定义域内不同部分上有不同的解析式表达式，那么这样的函数是分段函数，所以分段函数是一个函数，而不是几个函数；定义域是各部分定义域的并集，故（1）（2）（3）错误，（4）正确.
2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数由下表给出，则等于( )
x

2


1
2
3
A．1       B．2       C．3       D．不存在
【答案】C
∵3
∴
故选：C．
3．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的解析式是___________．
【答案】
令，则，
将它代入可得，
∴
故答案为：
4．（2022·湖南·娄底市第四中学高一阶段练习）已知，则=_________．
【答案】4
.
故答案为：4.
5．（2022·全国·高一）已知函数，那么的表达式是___________.
【答案】
，令，则，故，故，
故答案为：
第四部分：典 型 例 题 剖 析


重点题型一：函数的三种表示法的应用
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）某公共汽车，行进的站数与票价关系如下表：
行进的站数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
票价
1
1
1
2
2
2
3
3
3
此函数的关系除了图表之外，能否用其他方法表示？
【答案】能，具体见详解.
解：根据题意，可知除了图表法之外，还可以用解析式法和图象法表示，
解析式法：设票价为元，站点的个位为，
则.
图象法：

例题2．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数，分别由下表给出


1

2

3



1

3

1



1

2

3



3

2

1

则的值为________________；满足的的值是______________．
【答案】1，2
=；
当x=1时，，不满足条件，
当x=2时，，满足条件，
当x=3时，，不满足条件，
∴ 只有x=2时，符合条件．
同类题型演练
1．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（       ）．

1
2
3

2
3
0
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
观察函数的图象得：，由表格知：，
所以.
故选：B
2．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已和，对应值如表所示，则的值为

0
1
-1

1
0
-1

-1
0
1
A．-1 B．0 C．1 D．不存在
【答案】C
根据表格的对应关系可得，，所以，
故选C.
3．（2022·广东广州·高一期末）某人去上班，先跑步，后步行.如果y表示该人离单位的距离，x表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（       ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
解：由题意可知：时所走的路程为0，离单位的距离为最大值，排除A、C，
随着时间的增加，先跑步，开始时随的变化快，后步行，则随的变化慢，
所以适合的图象为D；
故选：D
重点题型二：求函数的解析式
角度1：待定系数法：
典型例题
例题1．（2022·浙江·高三专题练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；
【答案】（1）；
解：（1）因为是一次函数，所以可设
则，
所以，解得 ，
所以．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知为二次函数，，，求的解析式．
【答案】
解：因为为二次函数，所以设，因为，所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，，，所以，，所以．
同类题型演练
1．（2022·贵州黔东南·高一期末）已知函数是二次函数，，．
求的解析式；
【答案】(1)
(1)由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，       
所以设                                           
因为，即                                
所以得                                                              
所以
2．（2022·全国·高一）（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋3，求f（x）的解析式．
（2）若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，求g（x）的解析式．
【答案】（1）f（x）＝－2x－9；（2）g（x）＝3x2－2x.
（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0），
则f（x＋1）－2f（x－1）＝kx＋k＋b－2kx＋2k－2b＝－kx＋3k－b，
即－kx＋3k－b＝2x＋3不论x为何值都成立，
∴解得∴f（x）＝－2x－9.
（2） 设g（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），∵g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，
∴解得
∴g（x）＝3x2－2x.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________
【答案】或.
因为为一次函数，所以设，
所以，
因为，所以恒成立，
所以，解得：或，
所以或，
故答案为：或.
角度2：换元法：
典型例题
例题1．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知，则（       ）．
A． B． C． D．
【答案】D
令，则，；
所以.
故选：D.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，则_________．
【答案】
令，，则，
，
.
故答案为：.
同类题型演练
1．（2022·江苏·高一）设，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
因为，所以
又因为，所以，
令，则，
，
所以.
故选：B.
2．（2022·江苏·高一）若函数，则__________.
【答案】
令，则，，函数的解析式为.
故答案为：.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的解析式为___________.
【答案】
设，则，，
，
∴．
故答案为：．
角度3：配凑法：
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知，则＝________.
【答案】
因为f(x－)＝x2＋，
所以，
所以f（x+），
故答案为：
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知，则=_____.
【答案】或
解：


，
或．
故答案为：或．
角度4：方程组（消去）法：
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为的函数满足，则___________.
【答案】
因为，
所以，
同除以2得，
两式相加可得，即.
故答案为：.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知，求.
【答案】.
∵，①，
∴f（）+2f（x），②
①-②×2得：﹣3f（x）＝x，
∴
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数，满足，且，则________．
【答案】
由，可知，联立可得，所以，又因为，所以，所以.
故答案为：
2．（2022·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．
已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．
【答案】.
将代入，得，因此，解得.
角度5：赋值法求抽象函数的解析式
典型例题
例题1．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高二阶段练习）对任意实数，，都有，求函数的解析式．
【答案】
方法一：对任意实数,都成立,
令,得,
再令,
得,

方法二：在已知式子中,令,
得,
,
,
令,得
例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知，对于任意实数，等式，求的解析式.
【答案】
对于任意实数等式恒成立，
不妨令则有
再令得函数解析式为：
同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．
求的解析式；
【答案】；
令，，则，
又因为，所以，
令，则，所以.
2．（2022·全国·高一期末）已知函数对一切实数都有成立，且.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
【答案】（1）；（2）；
（1）令，，
则由已知，
有
（2）令，则，
又∵，
∴
重点题型三：分段函数的求值
典型例题
例题1．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测（理））已知函数，则（   ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
，
，
故选：B
例题2．（2022·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为，则.
故选：C.
例题3．（2022·全国·高一专题练习）设函数，若，则实数的值为_____．
【答案】
由题意知，；
当时，有，解得(舍去)；
当时，有，解得(舍去)或．
所以实数的值是：．
故答案为：.
例题4．（2022·全国·高三专题练习）已知实数，函数，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
因为，
当时，，
此时等价于，
所以，解得：，不满足，舍去；
当时，，
此时等价于，
所以，解得：，符合题意，
综上可得：，
故选：A．

同类题型演练
1．（2022·陕西·长安一中高一期末）若，则________.
【答案】16
因为，所以，
故答案为：16
2．（2022·江西抚州·高一期末）设函数，若，则______.
【答案】或2##2或-1
因为函数，由，
所以或
解得：或2.
故答案为：或2
3．（2022·浙江·高三专题练习）已知，函数若，则___________.
【答案】
由解析式可得：，
∴，可得.
故答案为：.
4．（2022·全国·高三专题练习（文））设函数，若，则实数___________.
【答案】1或16
由题意得：，
若，则，即，解得，满足题意；
若，则，即，解得，满足题意，
综上，m的值为1或16.
故答案为：1或16

重点题型四：根据函数的图象求解析式
典型例题
例题1．（2022·湖南·高一课时练习）某农场种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系可用如图所示的一条折线表示，写出市场售价与时间的函数解析式．

【答案】
解：当时，设，
将点代入得，
，解得，
所以，，
当时，设，
将点代入得，
，解得，
所以，，
综上可得.

同类题型演练
1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，函数的图象是折线段ABC，其中A、B、C的坐标分别为(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函数的解析式．

【答案】
设线段所对应的函数解析式为，
将与代入，
得，得，
所以，
同理，线段所对应的函数解析式为，
所以.
2．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知函数的图象是由射线、抛物线的一部分及线段拼接而成的，写出函数的解析式．

【答案】
解：当时，设函数的解析式为，
将，的坐标代入，得，解得，
此时函数的解析式为；
当时，设函数的解析式为，
将，的坐标代入，得，解得，
此时函数的解析式为；
当时，设函数的解析式为，
结合图象，可将的坐标代入解析式，得，即，
此时函数的解析式为，
综上，函数的解析式为．
重点题型五：函数图象的相关问题
典型例题
例题1．（2022·海南华侨中学高二期末）李华在参加一次同学聚会时，用如图所示的圆口杯喝饮料，他想：如果向杯子中倒饮料的速度一定（即单位时间内倒入的饮料量相同），那么抔子中饮料的高度h是关于时间t的函数，则函数的图象可能是（       ）


A． B．
C． D．
【答案】B
由于杯子的形状是下面稍窄上面稍宽,所以刚开始饮料的高度增长相对较快,后面饮料的高度增加就越来越慢,所以B的图象的增长趋势与饮料高度增长的情形较一致，
故选：B
例题2．（2022·全国·高一）已知正方形的边长为4，动点从点开始沿折线向点运动．设点运动的路程为，的面积为，则函数的图象是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
依据题意，有
则函数的图象是由三段折线段构成，故排除选项ABC.
故选：D
同类题型演练
1．（2022·全国·高一）已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
解：A是函数图象，其值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
B是函数的图象，定义域为，值域为，故符合题意；
C是函数图象，值域为，与已知函数的值域为不符，故不符合题意；
D是函数图象，值域为，故不符合题意.
故选：B
2．（2022·河南平顶山·高一期末）定义运算，则函数的部分图象大致是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
，
其图象如图所示：

故选：B
重点题型七：分段函数的实际应用
典型例题
例题1．（2022·广东茂名·高一期中）新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）的函数关系式近似满足：
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？
【答案】(1)；
(2)年产量为30万台，利润最大.
(1)，
∴.
(2)当时，，故在上单调递增，
∴时，取最大值，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴当时，，
综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.
例题2．（2022·湖南省临湘市教研室高一期末）十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)百辆，最大利润为万
(1)由题意得当时，，
当时，，
所以,
(2)由（1）得当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，时，，，
时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
同类题型演练
1．（2022·江苏南通·高一期末）某农民专业合作社在原有线下门店销售的基础上，不断拓展营销渠道，成立线上营销队伍，大力发展直播电商等网络销售模式通过调查，线下门店每人每月销售额为10千元：线上每月销售额y（单位：千元）与销售人数n（n∈N）之间满足．已知该农民专业合作社共有销售人员50人，设线上销售人数为x，每月线下门店和线上销售总额为w（单位：千元），
(1)求w关于x的函数关系式；
(2)线上销售安排多少人时，该合作社每月销售总额最大，最大是多少千元？
【答案】(1)；
(2)线上安排40人时，合作社月销售额最大，最大值为1100千元.
(1)由题意，当时，；
当时，，
所以；
(2)由（1）知：当时，单调递增，则当x＝20时w取最大值900；
当时，，当且仅当，即x＝40时取等号，
综上，线上安排40人时合作社月销售额最大，最大值为1100千元．
2．（2022·山西运城·高一期末）王先生发现他的几位朋友从事电子产品的配件批发，生意相当火爆.因此，王先生将自己的工厂转型生产小型电子产品的配件.经过市场调研，生产小型电子产品的配件.需投入固定成本为2万元，每生产万件，还需另投入万元，在年产量不足8万件时，（万元）；在年产量不低于8万件时，（万元）.每件产品售价为4元.通过市场分析，王先生生产的电子产品的配件都能在当年全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
(2)求年产量为多少万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大?并求出年利润的最大值?
【答案】(1)；
(2)当年产量为13万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大，年利润的最大值为6万元.
(1)∵每件商品售价为4元，则万件商品销售收入为万元，
当时，；
当时，.
∴；
(2)若，则.
当时，取得最大值万元.
若，则，
当且仅当，即时，取得最大值6万元.
∵，
∴当年产量为13万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大.年利润的最大值为6万元.
第五部分：新 定 义 问 题


1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（       ）
A．的最大值为1，没有最小值
B．的最小值为0，没有最大值
C．没有最大值，没有最小值
D．的最大值为1，最小值为0
【答案】B
由高斯函数的定义可得：
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，

观察可得函数有最小值0，没有最大值.
故选：B.
2．十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数被称为狄利克雷函数.狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，若点在其图象上，则____________．
【答案】0.
∵，又，
∴，
故答案为：0
第六部分：高 考 （模 拟） 题 体 验


1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数，则（       ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C

故选：C
2．（2022·新疆喀什·一模（文））已知函数，则的值为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
.
故选：D
3．（2022·浙江湖州·模拟预测）若函数，则_____________，不等式的解集是_____________．
【答案】     3     ．
因为，
所以，所以.
当时，，得，得；
当时，恒成立，
所以不等式的解集是.
故答案为：3；.
4．（2022·上海崇明·二模）设是定义在R上且周期为2的函数，当时，其中．若，则________．
【答案】##0.2
∵是周期为2的函数
∴，
又∵，即，则
∴
故答案为：．
5．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，若，则实数______．
【答案】
当时，由得，此方程无实数解；
当时，由得，解得．
故答案为：.