2022-2023学年安徽省卓越县中联盟高三（上）开学数学试卷(含答案)

这是一份2022-2023学年安徽省卓越县中联盟高三（上）开学数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省卓越县中联盟高三（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数，则＝（　　）
A． B． C． D．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣mx＜0}，B＝{x|lnx＜1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，e] B．[﹣e，e] C．[e，+∞） D．（﹣∞，e]
3．（5分）已知向量满足，则＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（　　）
A． B．3π C． D．
5．（5分）如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分．假设有6名航天员（4男2女）在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（　　）

A．14 B．18 C．30 D．36
6．（5分）已知，且，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）当圆C：x2﹣2x+y2﹣3＝0截直线l：x﹣my+m﹣2＝0所得的弦长最短时，实数m＝（　　）
A． B．1 C． D．﹣1
8．（5分）设正项等比数列{an}的前n项乘积为Tn，已知a5＝1，T3＝2T7，则Tn的（　　）
A．最大值为 32 B．最大值为 1024
C．最小值为 D．最小值为
9．（5分）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与E交于A，B两点．若＝3，则l的倾斜角θ＝（　　）
A． B．或 C．或 D．或
10．（5分）若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为圆x2+y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积（　　）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为4﹣m D．为m
11．（5分）若a＝log515，b＝log49，c＝，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
12．（5分）若∀x∈（0，+∞），函数f（x）＝ex﹣ax的图象恒在函数g（x）＝ln（ax）﹣x的图象上方（无公共点），则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，e） B．（0，2e） C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知曲线y＝e1﹣x﹣xlnx在x＝1处的切线与直线mx+y+2＝0垂直，则实数m＝　 　．
14．（5分）已知甲盒装有3个红球，m个白球，乙盒装有3个红球，1个白球，丙盒装有2个红球，2个白球，这些球除颜色以外完全相同．先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，若取得白球的概率是，则m＝　 　．
15．（5分）有下列命题：
①函数y＝tanx在定义域内是增函数；
②函数的最小正周期为3π；
③直线x＝π为函数f（x）＝sin（cosx）+cosx图像的一条对称轴；
④函数f（x）＝|sinx|+cosx的值域为．
其中所有正确命题的序号为 　 　．
16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为AB的中点，则三棱锥A1﹣AEC的外接球的表面积为 　 　．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{anan+1}的前n项和Tn．
18．（12分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若a+2b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．（12分）为了促进落实“科技助农”服务，某地农业农村局组织基层工作人员参与农业科技知识竞赛，先进行选拔赛．选拔赛中选手需要从题库中随机抽一题答一题，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对或答错3题即终止比赛，答对3题者进入正赛，答错3题者则被淘汰．设选手甲答对每个题的概率均为，且答每个题互不影响．
（1）求选手甲进入正赛的概率；
（2）设选手甲在选拔赛中答题的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是矩形，3BC＝2CC1＝6，D为AB的中点，且．
（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；
（2）求直线CB1与平面A1CD所成角的正弦值．

21．（12分）已知函数．
（1）若g（x）在[1，3]上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若a＞0，求证：f（x）≥2+lna．
22．（12分）已知F为椭圆的右焦点，点在椭圆C上，且PF⊥x轴．
（1）求C的方程；
（2）已知点A（0，1）及椭圆C上M，N两点满足AM⊥AN，过点F作直线MN的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程．

2022-2023学年安徽省卓越县中联盟高三（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数，则＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】先对复数进行化简，然后结合复数的模长公式可求．
【解答】解：＝＝，
所以＝|z|＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数模长公式，属于基础题．
2．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣mx＜0}，B＝{x|lnx＜1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，e] B．[﹣e，e] C．[e，+∞） D．（﹣∞，e]
【分析】先化简两集合，再由B⊆A建立不等式即可得解．
【解答】解：∵B＝（0，e），又A＝{x|x（x﹣m）＜0}，且B⊆A，
∴m≥e，
故选：C．
【点评】本题考查集合的基本运算，属基础题．
3．（5分）已知向量满足，则＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解即可．
【解答】解：由，
则，
又，，
则，
即，
则＝6，
故选：B．
【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
4．（5分）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第11卷中将轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为“直角圆锥”．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（　　）
A． B．3π C． D．
【分析】根据直角圆锥性质求出圆锥高、母线与底面半径关系，根据圆锥体体积与侧面积公式求解．
【解答】解：设圆锥底面半径为r，根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得，
圆锥高h＝r，母线长，
圆锥的侧面积为，解得，
所以圆锥的体积为．
故选：A．
【点评】本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
5．（5分）如图，“天宫空间站”是我国自主建设的大型空间站，其基本结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱三个部分．假设有6名航天员（4男2女）在天宫空间站开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，且两名女航天员不在一个舱内，则不同的安排方案种数为（　　）

A．14 B．18 C．30 D．36
【分析】先求出总的安排方案数，再求出两名女航天员在一个舱内的方案数，两者相减即可．
【解答】解：将6名航天员安排在3个实验舱的方案数为CCC＝30，
其中两名女航天员在一个舱内的方案数为CCC＝12，
所以满足条件的方案数为30﹣12＝18种．
故选：B．
【点评】本题考查了排列组合的应用问题，属于基础题．
6．（5分）已知，且，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式可得sin2α的值，进而利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，
所以两边平方，可得sin2α+cos2α+2sinαcosα＝1+sin2α＝，可得sin2α＝﹣，
又，可得2α∈（π，），
所以cos2α＝﹣＝﹣＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
7．（5分）当圆C：x2﹣2x+y2﹣3＝0截直线l：x﹣my+m﹣2＝0所得的弦长最短时，实数m＝（　　）
A． B．1 C． D．﹣1
【分析】利用配方法将圆的方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，判断出直线l过定点且在圆内，可得当l⊥PC时直线l被圆x2+y2﹣2x﹣3＝0截得的弦长最短，即可得出结论．
【解答】解：由C：x2+y2﹣2x﹣3＝0得（x﹣1）2+y2＝4，
∴圆心坐标是C（1，0），半径是2，
∵直线l：x﹣my+m﹣2＝0过定点P（2，1），且在圆内，
∴当l⊥PC时，直线l被圆x2+y2﹣2x﹣3＝0截得的弦长最短，
∴•＝﹣1，∴m＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查直线过圆内定点时所截得弦长问题，以及配方法的应用，属于基础题．
8．（5分）设正项等比数列{an}的前n项乘积为Tn，已知a5＝1，T3＝2T7，则Tn的（　　）
A．最大值为 32 B．最大值为 1024
C．最小值为 D．最小值为
【分析】可设等比数列{an}的公比为q（q＞0），根据T3＝2T7可得＝a7a6a5a4＝，进一步结合a5＝1可得q2＝，即q＝，从而易知a6＝a5q＜1，所以T5为Tn的最大值．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由T3＝2T7，得＝，所以a7a6a5a4＝，
所以a5q2•a5q•a5•＝，又a5＝1，
所以q2＝，解得q＝或q＝﹣（舍去），
由于an＞0，q＜1，故{an}单调递减，
又a5＝1，所以a6＝a5q＝＜1，
所以Tn（max）＝a1a2a3a4a5＝••••a5＝＝（）10＝32．
故选：A．
【点评】本题考查等比数列的通项公式与等比数列列的性质，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于中档题．
9．（5分）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与E交于A，B两点．若＝3，则l的倾斜角θ＝（　　）
A． B．或 C．或 D．或
【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，过B作BC⊥x轴，交x轴于C，由题设知|AD|＝3|BC|，3|DF|＝|CF|，设B（x1， ），A（x2，），由|AD|＝3|BC|，得x1＝9x2，由此能求出直线L的倾斜角．
【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，过B作BC⊥x轴，交x轴于C，
∵＝3，∴|AD|＝3|BC|，|DF|＝3|CF|，
设B（x1， ），A（x2，），
则由|AD|＝3|BC|，得2x1＝6，解得x1＝9x2，
由3|DF|＝|CF|，得 −x1＝3（x2−），
∴2p＝x1+3x2＝x1，解得x2＝，
∴B（，），
∵F（，0），
∴kAB＝kAF＝＝﹣．
∴直线L的倾斜角为 ．考虑对称性可知，直线的倾斜角为：．
故选：D．

【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质，注意数形结合思想的合理运用．
10．（5分）若双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点P为圆x2+y2＝4与此双曲线的一个公共点，则△PF1F2的面积（　　）
A．有最大值4 B．有最小值2 C．为4﹣m D．为m
【分析】由已知可得PF1⊥PF2，计算可求△PF1F2的面积．
【解答】解：由双曲线方程得F1（﹣2，0），F2（2，0），
F1F2恰为圆x2+y2＝4的直径，所以得PF1⊥PF2，由双曲线的定义知||PF1|﹣|PF2||＝2，
∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝16．
∴2|PF1||PF2|＝（|PF1|2+|PF2|2）﹣（||PF1|﹣|PF2||）2＝16﹣4（4﹣m）＝4m，
∴S＝|PF1|•|PF2|＝m．
故选：D．

【点评】本题考查双曲线的几何性质，以及求三角形的面积，属中档题．
11．（5分）若a＝log515，b＝log49，c＝，则（　　）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．a＜b＜c
【分析】由于，两边取以2为底的对数可比较出b＞c，构造对数函数，再判断函数的单调性，从而可得a与b的大小．
【解答】解：因为55＝3125，153＝3375，
所以55＜153，所以，
因为y＝log5x在（0，+∞）上为增函数，
所以，即，
因为45＝1024，93＝729，
所以45＞93，
所以，
因为y＝log4x在（0，+∞）上为增函数，
所以，所以，即，
，
因为y＝log2x在（0，+∞）上为增函数，且，
所以，
所以，
所以b＞c，
综上，c＜b＜a，
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
12．（5分）若∀x∈（0，+∞），函数f（x）＝ex﹣ax的图象恒在函数g（x）＝ln（ax）﹣x的图象上方（无公共点），则实数a的取值范围是（　　）
A．（0，e） B．（0，2e） C． D．
【分析】将问题转化为ex﹣ax＞ln（ax）﹣x对于∀x∈（0，+∞）恒成立，构造函数h（x）＝x+lnx，根据h（x）单调性得ex＞ax，分离参数得a＜对于∀x∈（0，+∞）恒成立，再构造函数t（x）＝，对t（x）求导，借助t（x）单调性求t（x）最小值，即可得解．
【解答】解：由题知∀x∈（0，+∞），函数f（x）＝ex﹣ax的图象恒在函数g（x）＝ln（ax）﹣x的图象上方，
所以ex﹣ax＞ln（ax）﹣x对于∀x∈（0，+∞）恒成立，
即ex+x＞ln（ax）+ax，即ex+lnex＞ln（ax）+ax对于∀x∈（0，+∞）恒成立，
令h（x）＝x+lnx（x＞0），则h（ex）＞h（ax），
而h′（x）＝1+在（0，+∞）上恒成立，
所以h（x）＝x+lnx在（0，+∞）上单调递增，
所以ex＞ax，所以a＜对于∀x∈（0，+∞）恒成立，
令t（x）＝，则t′（x）＝＝，
所以当x＞1时，t′（x）＞0；
当0＜x＜1时，t′（x）＜0；
所以t（x）＝在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
所以t（x）min＝t（1）＝e，又ax＞0⇒a＞0，
所以0＜a＜e．
故选：A．
【点评】本题考查了转化思想、导数的综合运用及利用分离常数法求最值，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知曲线y＝e1﹣x﹣xlnx在x＝1处的切线与直线mx+y+2＝0垂直，则实数m＝　　．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解m值．
【解答】解：由y＝e1﹣x﹣xlnx，得y′＝﹣e1﹣x﹣lnx﹣1，
∴y′|x＝1＝﹣2，
直线mx+y+2＝0的斜率为﹣m，
∵曲线y＝e1﹣x﹣xlnx在x＝1处的切线与直线mx+y+2＝0垂直，
∴﹣m•（﹣2）＝﹣1，即m＝﹣．
故答案为：．
【点评】本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
14．（5分）已知甲盒装有3个红球，m个白球，乙盒装有3个红球，1个白球，丙盒装有2个红球，2个白球，这些球除颜色以外完全相同．先随机取一个盒子，再从该盒子中随机取一个球，若取得白球的概率是，则m＝　4　．
【分析】利用分类讨论思想，再结合古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】解：①若取甲盒，取得白球的概率为×，
②若取乙盒，取得白球的概率为×＝，
③若取丙盒，取得白球的概率为×＝，
∴取得白球的概率是×++＝，
∴m＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式，考查分类讨论思想的应用，属于基础题．
15．（5分）有下列命题：
①函数y＝tanx在定义域内是增函数；
②函数的最小正周期为3π；
③直线x＝π为函数f（x）＝sin（cosx）+cosx图像的一条对称轴；
④函数f（x）＝|sinx|+cosx的值域为．
其中所有正确命题的序号为 　③④　．
【分析】由题意，利用三角函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：由于函数y＝tanx在定义域内的每一个区间（kπ﹣，kπ+），k∈Z上是增函数，
但在其定义域内，不单调，故①错误；
由于函数＝cos（x+）+的最小正周期为＝6π，故②错误；
令x＝π，可得函数f（x）＝sin（cosx）+cosx＝﹣sin1﹣1，为最小值，可得f（x）图像的一条对称轴为直线x＝π，故③正确；
由于f（x）的最小正周期为2π，π≤当x≤2π时，x+∈[，]，
当x+＝时，函数f（x）＝cosx﹣sinx＝cos（x+）取得最小值为﹣1，
当0≤x≤π时，则当x＝时，f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+）取得最大值为，故函数f（x）的值域为，故④正确，
故答案为：③④．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E为AB的中点，则三棱锥A1﹣AEC的外接球的表面积为 　14π　．
【分析】如图所示，M是AE中点，先找到△AEC的外接圆的圆心O1，再找到三棱锥A1﹣AEC的外接球球心O的位置，求出OA2即得解．
【解答】解：如图所示，M是AE中点，△AEC的外接圆的圆心应该是AC和AE的垂直平分线的交点，
而AC的垂直平分线是直线BD，AE的垂直平分线是直线MO1，
所以BD，MO1的交点O1就是△AEC的外接圆的圆心，
过点O1作底面ABCD的垂线，则三棱锥A1﹣AEC的外接球球心O在垂线上，
设AA1的中点为F，连接OA1，OA，O1A，OF，

因为OA1＝OA，所以OF⊥AA，所以四边形AO1OF是矩形，
所以OO1＝1，
在△ADO1中，，
由余弦定理得，
所以，
所以三棱锥A1﹣AEC的外接球的表面积为，
故答案为：14π．

【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{anan+1}的前n项和Tn．
【分析】（1）由an﹣an+1＝3anan+1令n＝1，即可求出a1，再将an﹣an+1＝3anan+1两边同除anan+1，即可得到，从而得到是等差数列，即可求出{an}的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得．
【解答】解：（1）令n＝1，则a1﹣a2＝3a1a2，即，得a1＝1，
由题知an≠0，由an﹣an+1＝3anan+1，两边同除以anan+1，
得 ，
所以数列是首项为 ，公差为3的等差数列，
故，即．
（2）由（1）及条件，得，
所以＝．
【点评】本题考查了数列的递推关系以及裂项相消求和计算问题，属于中档题．
18．（12分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求C；
（2）若a+2b＝6，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）根据已知利用正弦定理以及三角形为锐角三角形化简即可求解；（2）利用三角形的面积公式求出ab＝4，结合已知求出a，b的值，再根据三角形的形状分析分类讨论即可求解．
【解答】解：（ 1 ）因为2csinA＝，
由正弦定理得 ，
∵sinA≠0，∴，
又∵△ABC为锐角三角形，∴．
（2）因为三角形ABC的面积为，∴ab＝4，
又 a+2b＝6，解得或 ，
当时，△ABC为等边三角形，故其周长为2+2+2＝6，
当时，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝13，即，
此时 ，则 ，
即此时△ABC为钝角三角形，与已知矛盾，
综上△ABC的周长为 6．
【点评】本题考查了正余弦定理的应用，涉及到分类讨论思想以及三角形的面积公式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
19．（12分）为了促进落实“科技助农”服务，某地农业农村局组织基层工作人员参与农业科技知识竞赛，先进行选拔赛．选拔赛中选手需要从题库中随机抽一题答一题，每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对或答错3题即终止比赛，答对3题者进入正赛，答错3题者则被淘汰．设选手甲答对每个题的概率均为，且答每个题互不影响．
（1）求选手甲进入正赛的概率；
（2）设选手甲在选拔赛中答题的个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
【分析】（1）分甲答题总数为3，4，5时，分别求出对应的概率，再相加即可；
（2）当甲答题总数为3时，含三道全对或全错；当答题总数为4时，含前3道中有两道正确一道错误和两道错误一道正确；当答题总数为5时，含前4道中有2道正确，2道错误，求出对应的概率，列出分布列即可求期望．
【解答】解：（1）设“选手甲进人正赛”为事件A，选手甲答对每个题的概率均为，答错每个题的概率均为．
当甲连续答对 3 个题时，进人正赛的概率为；
当甲前 3 个题 2 对 1 错，第 4 题对时，进人正赛的概率为 ；
当甲前 4 个题 2 对 2 错，第 5 题对时，进入正赛的概率为 ．
故 ．
（2）由题可知X的所有可能取值为3，4，5．
则 ，，，
∴X的分布列为：
X
3
4
5
P



则 ．
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和分布列，属于中档题．
20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC1B1是矩形，3BC＝2CC1＝6，D为AB的中点，且．
（1）求证：CD⊥平面ABB1A1；
（2）求直线CB1与平面A1CD所成角的正弦值．

【分析】（1）结合勾股定理证明线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；
（2）利用坐标法求线面夹角正弦值．
【解答】证明：（ 1 ） 由题知，
∵，∴AA1⊥AD，∵CC1∥AA1，CC1⊥BC，∴AA1⊥BC，
又∵AD∩BC＝B，∴AA1⊥平面ABC，
又CD⊂平面ABC，∴CD⊥AA1，
在正三角形ABC中，D为AB的中点，则CD⊥AB，
又AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1；
解：（2）如图，取BC的中点为O，B1C1的中点为Q，由（1）可知，三棱柱的侧面与底面垂直，从而OA，OB，OQ两两垂直．以O为坐标原点，OB，OQ，OA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则，
设平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），则即
令x＝1，则，于是，设直线CB1与平面A1CD所成角为θ，
则．

【点评】本题考查了线面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
21．（12分）已知函数．
（1）若g（x）在[1，3]上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若a＞0，求证：f（x）≥2+lna．
【分析】（1）通过g（x）在1，3]上是增函数可得到在1，3]上恒成立，再通过导数求解x的最小值即可得到答案；
（2）先利用零点存在定理证明存在，使得f′（x0）＝0，然后得到f（x）min＝f（x0），再结合基本不等式即可得到
【解答】解：（ 1），∴，∵g（x）在[1，3]上是增函数，
∴g′（x）≥0在[1，3]上恒成立，可得 在[1，3]上恒成立．
令 t（x）＝xex，则 t′（x）＝ex+xex，
当 x∈[1，3]时，t′（x）＞0，∴t（x）在[1，3]上是增函数，
∴（xex）min＝e．∴，解得 或a＜0，
即实数a的取值范围是 ．
（ 2 ） 证明：，∵a＞0，∴f′（x）在 （0，+∞）上单调递增，
又当 x→0时，f′（x）→﹣∞，当 x→+∞时，f′（x）→+∞，
∴存在x0＞0，使得 ，
且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当 x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在 （0，x0）上单调递减，在 （x0，+∞）上单调递增．
∴f（x）min＝f（x0）．
由 f′（x0）＝0可得 ，即 ．
∴，
当且仅当 x0＝1，即 时等号成立．∴f（x）≥2+lna．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的运算能力，属于难题．
22．（12分）已知F为椭圆的右焦点，点在椭圆C上，且PF⊥x轴．
（1）求C的方程；
（2）已知点A（0，1）及椭圆C上M，N两点满足AM⊥AN，过点F作直线MN的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程．
【分析】（1）由题意可得c及的值，再由a，b，c之间的关系，可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
（2）分直线MN的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线MN的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，由AM⊥AN，∴•＝0，整理可得直线MN过的定点的方程，由题意可得H的轨迹为以EF为直径的圆（坐标原点除外），由题意可得圆心的坐标及半径的值，求出H的轨迹方程．
【解答】解：（ 1 ） 设椭圆C的半焦距为c（c＞0），
∵P（，）在C上，且 PF⊥x轴，
∴c＝，＝，
又∵a2＝b2+c2＝b2+3，
∴a2＝4，b2＝1，
∴C的方程为：+y2＝1；
（2）当直线MN的斜率不存在时，可设MN：x＝t，
则M（t，），N （t，﹣），
∵AM⊥AN，∴•＝0，
∴（t，﹣1）•（t，﹣﹣1）＝0，即t2﹣1++1＝0，
解得 t＝0，此时直线MN为y轴，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，可设MN：y＝kx+m，m≠1，设 M（x1，y1），N（x2，y2），
联立，整理可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0．
则Δ＞0，即64k2m2﹣4（4k2+1）•4（m2﹣1）＞0，可得m2＜1+4k2，
且x1+x2＝，x1x2＝，
则•＝（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）＝x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝（1+k2）x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2＝0，
整理可得（1+k2）•+k（m﹣1）+（m﹣1）2＝0，
化简得：5m2﹣2m﹣3＝0，即 （m﹣1）（5m+3）＝0，
∴m＝1（舍）或 m＝﹣，
当时，直线方程为：y＝kx﹣，
所以直线MN经过定点E（0，﹣），
综上所述，直线MN经过定点 ；
而过点F的直线MN的垂线的垂足H的轨迹为以EF为直径的圆（坐标原点除外），
其中E（0，﹣），F（，0），
∴圆心坐标为 ，半径，
∴圆的方程为（x﹣）2+（y+）2＝（点（0，0）除外），即为点H的轨迹方程．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，直线恒过定点的求法及轨迹方程的求法，属于基础题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/17 19:55:09；用户：山东省北镇中学；邮箱：bzzx001@xyh.com；学号：44838527